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[首发]重庆市中山外国语学校2019届高三暑期补课效果检测数学(文)试题(PDF版)

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              重庆市中山外国语学校                    2019   届暑期补课效果检测
                                        文科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共          12 小题,每小题     5 分,共   60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

1.  是   的共轭复数.      若           −       (  为虚数单位),则                (     )

A. z  z             B.z +− z =− 2,(z z)i = 2 C. −      z =         D.  −

2.已1 +知i集合          −    1   i    ,             − 1,+则i  ∪     (    )   1   i

A.          A = {x|(x B.2)(x−+∞1) < 0} B = {x|y = 1C. x}− ∞ A B =     D.  − ∞   ∪      ∞

3.函R 数              的部(分图,象1]为                   (    ,2)                (    ,1]  (2, + )
             sinx+|sinx|
        f(x) =  x


A.                                             B.


C.                                              D.

4.已知平面向量         满足              ,  与  的夹角为        °,若          ⊥  ,则实数       的值为(       )

A.             a,b aB.= 3, b = 2 a b 1C2.0   (a+mb) a   D.m
                          3
5.从1  3 双不同的鞋子中任取        22只,则取出的      2 只不能成双的2概率为(            )            3

A.                     B.                       C.                         D.
   4                      3                        8                          7
   5                      5                        15                        15


                                   【文科数学】第     1页,总   6页
6.已知双曲线                          ,四点              ,               中恰有三点在双曲线上,则该
              2 − 2                                    −
             x   y
              2  2                     1     2       3       4
双曲线的离心率a      为(b = 1 )a > 0,b > 0    P 4,2 ,P 2,0  P    4,3 ,P 4,3

A.                     B.                        C.                         D.
    5                    5                          7                         7
7.Δ2     中,角     、  、  的对2 边分别为     ,  ,  ,若        2      ,三角形面积为           ,2      °,则

   ( ABC)       A  B  C            a  b  c    a + b + c = 20             10 3  A = 60

aA.=7                  B. 8                      C. 5                       D. 6

8.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该书完善了珠算口诀,确立了算盘用法,

完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示的程序框

图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题,执行该程序框图,若输入的                                a 值为  5,则输出的值为(          )


A. 19                  B. 35                        C. 67                    D. 198

9.已知三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球的半径为(                             )


        6                     6                          6                          6
A.  3+4  3+  6        B.  6+2  3+  6            C.  2+3  3+2  6            D.  4+3 3+2   6

10.已知函数                  ≥    的图象与过原点的直线恰有四个交点,设四个交点中横坐标最大值为θ,

            f x =  cosx x   0


                                   【文科数学】第     2页,总   6页
     θ    θ
则            (    )
      θ2
   1+   sin2
A. −        =          B. −                      C. 0                       D. 2

     2                     1         x2   y2            x2   y2
                                                                   
                                      2    2  1          2    2  1(a  m   0)
11.有一凸透镜其剖面图(如图)是由椭圆                 a    b    和双曲线     m    n              的实线部分组成,

已知两曲线有共同焦点          M、N;A、B    分别在左右两部分实线上运动,则                    周长的最小值为:        (     )


                                                                                  
A.  2a  m              B.  a  m               C. 2b   n                 D. 2a  m

12.已知二次函数                        ≤     ,定义                 −  ≤   ≤   ≤   ,               −
                       2
  ≤   ≤   ≤   ,f其(x中) = ax + bx表(示b 2中a的)较大者f,1(x) = max表f(示t) 1中的t较小x者,1下列f2(命x)题=正m确in的f(是t)

1A. 若t  −x  1     ,则max −a,b    a,b            mBin. a若,b − a,b   ,则    −

C. 若f1(   1) = f1−(1),则 f( −1) > f(1)           D. 若f2(  1) = f2−(1),则 f( −1) > f(1)

     f2(1) = f1( 1)   f1( 1) < f1(1)                 f2(1) = f1( 1)   f2( 1) > f2(1)


二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。、

13.已知曲线             在点   处的切线为           ,则点     的坐标为__________.
                   x
                  e
             f x = x    P    ≤      y = ax     P
14.设      满足约束条件            ≥−   ,则      −   的最小值为__________.
                       x +−2y≤ 1
       x,y            2x + y    1    z = x y
15.在△ABC    中,角   A,B,xC 所y对的0边分别是      a,b,c,BC   边上的高与     BC 边长相等,则             的最大值
                                                                                  2
                                                                           b   c  a
是_____.                                                                     c + b + bc

16.在三棱锥     S  ABC 中,   ABC  是边长为     3 的等边三角形,       SA   3, SB  2 3 ,二面角   S  AB C

的大小为     120°,则此三棱锥的外接球的表面积为__________.


三、解答题:共        70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                      17~21 题为必考题,每个试题考

生都必须作答。第        22、23  为选考题。考生根据要求作答。


                                   【文科数学】第     3页,总   6页
(一)必考题:共        60 分。

17.已知等差数列          中,                   .

(1)设          ,求an证:数a列1  = 2,a是2 等+ a比4 数=列16;
             an
(2)求bn    = 2  的前    项和.   bn

        an + bn    n


18.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记

住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的.

根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了                                       50 名魔方爱好

者进行调查,得到的情况如下表所示:

             喜欢盲拧           不喜欢盲拧            总计

男            22               ▲              30

女              ▲            12               ▲

总计             ▲              ▲              50

                          表 1

并邀请这     30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示:

成功完成时间(分钟)            [0,10)  [10,20)   [20,30)  [30,40]

人数                    10      10        5        5

                          表 2

(1)将表     1 补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过                  0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?

(2)根据表      2 中的数据,求这      30 名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值

代替);

附参考公式及数据:                    −       ,其中                  .
                                2
                   2       n(ad bc)
                  K  = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n = a + b + c + d


                                   【文科数学】第     4页,总   6页
             0.10    0.05   0.025   0.010  0.005   0.001

  −     ∞    2.706   3.841  5.024   6.635  7.879   10.828

 (  1, +  )


19.如图,在四棱锥          −      中,底面         是菱形,∠             ∘ ,Δ     为等边三角形,        是线段

上的一点,且           平S面 ABC.D         ABCD           BAD = 60     SAB               G       SB

             SD//    GAC


(1)求证:       为    的中点;

(2)若     为G   的S中B 点,连接      ,   ,   ,   ,平面       ⊥平面        ,       ,求三棱锥      −     的体

积.      F   SC            GA  GC   FA  FG      SAB       ABCD   AB = 2          F  AGC


             x 2  y 2                                                       3
                                                                     
              2    2  1(a  b   0)                                      e
20.已知椭圆      a    b              的左右顶点分别为        A(2,0), B(2,0) ,离心率       2 .

(1)求椭圆的方程;

                      2   2
(2)若点    C 为曲线   E : x  y   4 上任一点(    C 点不同于    A, B ),直线  AC  与直线   x  2 交于点  R ,D  为

线段   RB 的中点,试判断直线         CD 与曲线   E 的位置关系,并证明你的结论.


21.设函数     f(x)=lnx-x+1.

(1)讨论   f(x)的单调性;

(2)证明:当     x∈(1,+∞)时,1<       - .
                              x 1
                               lnx


                                   【文科数学】第     5页,总   6页
(二)选考题:共        10 分。请考生在第       22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.选修    4-4:坐标系与参数方程

                                            α      α
在直角坐标系       xOy 中,曲线   C 的参数方程为                      (α为参数).
                                             α −   α
                                      x = sin  + cos
 (Ⅰ)求曲线       C 的普通方程;                 y = sin  cos

                                                                   π
 (Ⅱ)在以      O 为极点,x   正半轴为极轴的极坐标系中,直线               l 方程为    ρ       − θ        ,已知直线     l
                                                                           1
与曲线    C 相交于   A、B 两点,求|AB|.                                2  sin( 4   ) + 2 = 0


23.选修    4-5:不等式选讲

已知函数                      −  .

(1)当     f(x)−= |时x +,m求|不+等|2式x 1| ≤ 的解集;

(2)若    m =≤1        的解集包f(x含)   2 ,求    的取值范围.
                               3
        f(x)  |2x + 1|         4 ,2    m


                                   【文科数学】第     6页,总   6页
                              参考答案

一、选择题:本题共         12 小题,每小题      5 分,共  60 分

1-5:CDADA                6-10:CACBA                11、12:AC

二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。

13.      .               14.-2.                15.                   16.21
       2
       e
三、解2答, 2题:共   70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算2步2骤。第                  17~21 题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第             22、23 为选考题。考生根据要求作答。

17.

(1)设      的公差为      ,

由       an   ,可得d                       ,即               .

又a2 + a4,=可1得6    .a1 + d + a1 + 3d = 16     2a1 + 4d = 16

   1
故a  = 2      −d = 3       −  ⋅        −

   n   1
依题a 意=,a + n  1− d,=因2为+ n 1    3 = 3(n常数1 ).
                             3n+−2
             3n 1     bn+1  2      3
         n                   3n 1
故    是首b 项=为2 4,公比     bn =的2等比=数2列.

    n
(2b)    的前    项和为    q = 8
                    n a1+an n 3n+1
       n              2       2
      a      n   −     −  −=⋅
    的前   项和为                      ⋅      −
                 −       3n−1 3
               b1 bnq 4 2    2  1    3n+2  4
 bn     n       1 q =    1 8  = 7   2      7
故         的前    项和为           ⋅      −  .
                     n 3n+1  1    3n+2 4
    n   n
18.a + b      n         2  + 7  2      7

(1)依题意,补充完整的表            1 如下:

                  喜欢盲拧               不喜欢盲拧                总计

男                 22                 8                    30

女                 8                  12                   20

总计                30                 20                   50


由表中数据计算得          的观测值为          ×(  ×  − × )     ≈
                                   ×  ×  ×   2
                 2             50   22 12 8 8   50
所以能在犯错误的概K        率不超过      k =的前30提2下0 认30为2是0 否=喜欢9 盲拧5.5与5性6 >别5有.0关24。

                          0.025
(2)依题意,所求平均时间为              ×      ×      ×      ×             (分钟)
                               1      1      1      1  20     50
19.                        5   3 +15  3 +25  6 +35  6 = 3 +10= 3

(1)证明:如图,连接             交    于点    ,则    为    的中点,连接         ,

∵     平面      ,平面    BD ∩平AC面     E    ,E  B⊂D平面     ,    GE

∴SD//    ,而GAC 为    的SD中B点,∴   G为AC = 的GE中点SD.    SBD

  SD//GE     E   BD           G   SB


(2)解:∵      ,  分别为      ,   的中点,

∴          F  G       SC  SB
       三棱锥  −       三棱锥   −       三棱锥  −               三棱锥  −        三棱锥  −
                  1            1                     1            1
      V     F AGC = 2 V  S AGC = 2 V  C AGS        = 4 V    C ABS = 4 V  S ABC
              .
    四棱锥   −
  1
         S ABCD
取= 8 V 的中点   ,连接      ,

∵ΔAB    为等边H  三角形S,H∴     ⊥    ,

又平面SAB    ⊥平面        ,平SH面   AB ∩平面             ,   ⊂平面       ,

∴    ⊥S平AB面     ,ABCD       SAB       ABCD = AB   SH       SAB

  SH       ABCD                        ∘
而         ,  菱形        ⋅   ⋅   ⋅              ,
                          1
   SH =  3  S   ABCD = 2  2  2   2sin60  = 2 3
∴               ⋅          ⋅        ⋅     ⋅       ,
   四棱锥  −           菱形
               1                  1
  V     S ABCD = 3 S   ABCD  SH = 3   2 3     3 = 2
∴                            .
   三棱锥  −        四棱锥  −
              1              1
        F AGC        S ABCD
20.V        = 8 V          = 4

                     c    3
                  e   
由题意可得     a  2 ,    a    2 ,    ∴  c   3 .

    2   2   2
∴ b   a  c   1,

                x2
                    y2  1
所以椭圆的方程为         4        .

(2)解法一:曲线        E 是以  O(0,0) 为圆心,半径为       2 的圆.
设 C(m,n) ,点   R 的坐标为    (2,t) ,
                            
∵  A、C、R   三点共线,         ∴ AC  // AR ,
               
而  AC  (m  2,n) , AR  (4,t) ,则 4n  t(m  2) ,

       4n
  t 
∴     m  2 ,

                   4n                     2n
              (2,     )               (2,     )
∴点  R 的坐标为       m  2 ,点   D 的坐标为       m  2 ,

                          2n
                      n 
                                 (m  2)n  2n   mn
                        m  2              
                  k                  2           2
∴直线   CD  的斜率为         m  2        m   4     m   4 ,

    2   2          2        2
而 m   n   4 ,∴ m   4  n ,

      mn      m
          
  k      2
∴     n      n ,

                          m
                  y  n   (x  m)
∴直线   CD  的方程为             n       ,化简得    mx  ny  4  0 ,

                                4       4
                        d                 2  r
                               2   2
∴圆心   O 到直线   CD  的距离        m   n      4       ,

所以直线    CD  与曲线   E 相切.

                      mn     m
                          
                  k     2
解法二:同解法一得             n      n ,

        n
      
  kOC               
又       m ,故  k  kOC   1,即  CD   OC  ,

所以直线    CD  与圆  E 相切.

21.

(1)函数    f(x)=lnx-x+1   的导数           − ,
                               '    1
由        ,可得            ;     f x,=可x得 1    ,
   '                      '
即有f xf(>x)0的增区间0为< x <,1 减f区x间<为0    ∞ x.> 1

                   0,1           1, +
(2)当     ∈      ∞  时,由(1)可得       f(x)=lnx-x+1   在      ∞ 递减,

可得     x    1, + ,即有          − .                   1, +

故有:f  x1< <-f 1. = 0   lnx < x 1
         x 1
22.      lnx

(1)由已知        θ         θ    − ,由     θ       θ    ,消
                  x+y        x y     2       2
           sin  =  2 ,cos  = 2     sin  + cos   = 1
去θ得:普通方程为                  −      ,化简得
                      2      2
                   x+y    x y             2   2
                π  2   +   2   = 1       x  + y = 2
(2)由      ρsin(  -θ)+  =0 知ρ     θ −   θ         ,
                      1                     1
        2       4     2      (cos    sin ) + 2 = 0
化为普通方程为         −        ,
                    1
              x  y + 2 = 0
所以圆心到直线        的距离         ,由垂径定理
                          2                   30
23.           l       h = 4            AB  =  2

(1)当       −  时,          −       −   ,

①当    ≥m  =时,1    f(x) =− |x≤1|,+解|2得x 1≤| ≤ ;
                                           4
    x   1     f(x) = 3x 2   2      1   x   3
②当          时,         ≤   ,解得           ;
    1                            1
    2 < x < 1   f(x) = x  2      2 < x < 1
③当    ≤  时,         −   ≤   ,解得     ≤   ≤  ;
        1                                 1
    x   2    f(x) = 2 3x   2      0   x   2
综上可知,原不等式的解集为                ≤   ≤   .
                                    4
                          x|0   x   3
(2)由题意可知           ≤        在     上恒成立,
                               3
               f(x)  |2x + 1|  4 ,2
当   ∈     时,                    −                −  ≤                ,
       3
       4
从而x 可得  ,2    f≤(x) =,|即x +− m≤| + |2x ≤1| =,|x−+ m− | +≤2x ≤1 −|2,x + 1| = 2x + 1

且  −  − |x + m| − 2,  − 2   x + m,  2   2  x   m    2  x
                11
  (  2  x)max = 4  (2  x)min = 0
因此     ∈  −    .
           11
    m       4 ,0
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