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陕西省西安中学实验班2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

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          2016-2017  学年陕西省西安中学实验班高一(下)期末数学试卷
  

 一、选择题(本大题共          10 小题,每小题      4 分,共   40 分)
 1.已知数列     1,   ,    ,   ,…,        ,…,则    3   是它的(  )
 A.第  22 项 B.第   23 项 C.第  24 项 D.第   28 项

 2.不等式       >1  的解集是(  )

 A.{x|x<﹣2}    B.{x|﹣2<x<1}     C.{x|x<1}     D.{x|x∈R}

 3.△ABC  中,a=     ,b=   ,sinB=   ,则符合条件的三角形有(  )
 A.1 个  B.2 个 C.3  个 D.0  个

 4.关于   x 的不用等式     ax+b>0 的解集为(﹣∞,1),则关于            x 的不等式(bx﹣a)(x+2)>0        的解集
 为(  )

 A.(﹣2,1)      B.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞)           C.(﹣2,﹣1)     D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)

 5.若  a>b>c,则一定成立的不等式是(  )

 A.a|c|>b|c|  B.ab>ac    C.a﹣|c|>b﹣|c| D.

 6.若数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(  )


 A.{lgan}  B.{1+an}   C.        D.

 7.如图,要测量底部不能到达的某铁塔                 AB 的高度,在塔的同一侧选择            C、D  两观测点,且在        C、
D 两点测得塔顶的仰角分别为             45°、30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C、D            两地相距     600m,则铁
 塔 AB 的高度是(  )


 A.120   mB.480m      C.240   m D.600m

 8.已知无穷等差数列{an}中,它的前              n 项和  Sn,且  S7>S6,S7>S8  那么(  )

 A.{an}中  a7 最大   B.{an}中  a3 或 a4 最大
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C.当  n≥8  时,an<0    D.一定有     S3=S11
9.在△ABC   中,角    A、B、C   的对边分别为      a、b、c  且  acosB+acosC=b+c,则△ABC   的形状是(  
)

A.等边三角形       B.锐角三角形       C.钝角三角形       D.直角三角形


10.等差数列{an}的前       n 项和为   Sn,已知                 ,S2m﹣1=38,则  m=(  )
A.9    B.10   C.20   D.38
 

二、填空题(本大题共          5 小题,每小题      4 分,共   20 分)

11.若变量    x,y 满足约束条件                    ,则目标函数      z=x﹣2y 的最大值为          .


12.已知等差数列       an 满足:a3=7,a5+a7=26,令                    ,则数列     bn 的前 n 项和  Tn=      
.

13.设  x,y∈R+且  x+y=2,则    + 的最小值为           .
14.一个等比数列前        n 项和为   48,前   2n 项和为   60,则前   3n 项和为         .
15.给出下列语句:
①若  a,b  为正实数,a≠b,则        a3+b3>a2b+ab2;

②若  a,b,m   为正实数,a<b,则

③若         ,则   a>b;

④当  x∈(0,     )时,sin x+      的最小值为     2   ,其中结论正确的是               .
 

三、解答题(本大题共          4 小题,共    40 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

16.在△ABC   中,角    A,B,C   所对的边分别为       a,b,c,且满足       cos A= ,    • =6.
(1)求△ABC    的面积;
(2)若   b+c=7,求  a 的值.
17.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,
该项目准备购置一块         1800 平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四
周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为                            2 米,如图,设池塘所占总面积为
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 S 平方米.
 (Ⅰ)试用     x 表示  S;
 (Ⅱ)当    x 取何值时,才能使得         S 最大?并求出      S 的最大值.


 18.已知函数     f(x)=x2﹣(a+1)x+1(a∈R).

 (1 若关于    x 的不等式   f(x)<0   的解集是{x|m<x<2},求         a,m  的值;
 (2)设关于     x 的不等式    f(x)≤0   的解集是    A,集合    B={x|0≤x≤1},若     A∩B=∅,求实数      a 的取值
范围.

                                                           *
 19.已知数列{an}的首项        a1=1,前  n 项和为   Sn,且  an+1=2an+1,n∈N .

 (1)证明数列{an+1}是等比数列并求数列{an}的通项公式;

 (2)证明:                     .
  
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    2016-2017    学年陕西省西安中学实验班高一(下)期末数学试卷

                                     参考答案与试题解析

 

一、选择题(本大题共          10 小题,每小题      4 分,共   40 分)
1.已知数列     1,   ,    ,   ,…,        ,…,则    3   是它的(  )
A.第  22 项 B.第   23 项 C.第  24 项 D.第   28 项
【考点】81:数列的概念及简单表示法.
【分析】先化简       3  =    ,进而利用通项即可求出答案.

【解答】解:∵3         =   ,令   45=2n﹣1,解得   n=23.∴3    是此数列的第       23 项.

故选  B.
 

2.不等式       >1  的解集是(  )

A.{x|x<﹣2}    B.{x|﹣2<x<1}     C.{x|x<1}     D.{x|x∈R}

【考点】7E:其他不等式的解法.

【分析】移项通分变形可化原不等式为                    >0,即    x+2<0,易得答案.

【解答】解:         >1  可化为      ﹣1>0,

整理可得       >0,即    x+2<0,

解得  x<﹣2,解集为{x|x<﹣2}

故选:A
 

3.△ABC  中,a=     ,b=   ,sinB=   ,则符合条件的三角形有(  )
A.1 个  B.2 个 C.3  个 D.0  个
【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.
【分析】根据      sinB 的值,求得    cosB 的值,进而利用余弦定理建立等式求得                 c 的值,根据     c 的解得个
数来判断符合条件的三角形的个数.
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 【解答】解:∴sinB=         ,

 ∴cosB=±          =±

 ①当  cosB=   时,cosB=           =       =   ,

 ∴整理可得     c2﹣  c+2=0,求得    c=        有两个解,


 ②当  cosB=﹣  时,cosB=            =       =﹣  ,

 整理得   c2+   c+2=0,求得   c=          <0,与    c>0 矛盾.

 综合可知,c=             ,
 即这样的三角形有        2 个.
 故选  B.
  

 4.关于   x 的不用等式     ax+b>0 的解集为(﹣∞,1),则关于            x 的不等式(bx﹣a)(x+2)>0        的解集
 为(  )

 A.(﹣2,1)      B.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞)           C.(﹣2,﹣1)     D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)

 【考点】74:一元二次不等式的解法.

 【分析】根据不等式         ax+b>0 的解集为(﹣∞,1),得出           a<0  且 b=﹣a>0;再把不等式(bx﹣a)

(x+2)>0    化为(x+1)(x+2)>0,求出解集即可.

 【解答】解:∵关于         x 的不等式    ax+b>0 的解集为(﹣∞,1),

 ∴a<0,且    b=﹣a>0;

 ∴关于   x 的不等式(bx﹣a)(x+2)>0        可化为

 (x+1)(x+2)>0,

 解得  x<﹣2 或 x>﹣1;

 ∴不等式(bx﹣a)(x+2)>0        的解集为(﹣∞﹣2)∪(﹣1+∞).

 故选:B.
  
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 5.若  a>b>c,则一定成立的不等式是(  )

 A.a|c|>b|c|  B.ab>ac    C.a﹣|c|>b﹣|c| D.

 【考点】71:不等关系与不等式.
 【分析】利用赋值法,排除错误选项,从而确定正确答案.

 【解答】解:∵a>b>c,

 ∴令  a=1,b=0,c=﹣1,则    A、B、D   都错误,

 故选  C.
  

 6.若数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(  )


 A.{lgan}  B.{1+an}   C.        D.

 【考点】88:等比数列的通项公式.


 【分析】求出               ,在   A 中,        不一定是常数;在        B 中,{1+an}可能有项为       0;在   C 中,


利用等比数列的定义,可知{               }的公比是原来公比的倒数;在              D 中,当   q<0  时,数列{an}存在负

 项,此时       无意义.


 【解答】解:∵数列{an}是等比数列,∴                         ,


 在 A 中,         =           =              不一定是常数,故        A 不一定是等比数列;

 在 B 中,{1+an}可能有项为       0,故  B 不一定是等比数列;

 在 C 中,利用等比数列的定义,可知{                }的公比是原来公比的倒数,故              C 一定是等比数列;


 在 D 中,当   q<0  时,数列{an}存在负项,此时              无意义,故      D 不符合题意.
 故选:C.
  

 7.如图,要测量底部不能到达的某铁塔                 AB 的高度,在塔的同一侧选择            C、D  两观测点,且在        C、
D 两点测得塔顶的仰角分别为             45°、30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C、D            两地相距     600m,则铁
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
 塔 AB 的高度是(  )


 A.120   mB.480m      C.240   m D.600m
 【考点】HU:解三角形的实际应用.
 【分析】设出      AB=x,则   BC,BD  均可用   x 表达,进而在△BCD       中,由余弦定理和         BD,BC  的值列方
程求得    x,即  AB 的长.
 【解答】解:设       AB=x,则   BC=x,BD=   x,

 在△BCD  中,由余弦定理知         cos120°            =             =﹣ ,

 求得  x=600 米,
 故铁塔的高度为       600 米.
 故选  D.
  

 8.已知无穷等差数列{an}中,它的前              n 项和  Sn,且  S7>S6,S7>S8  那么(  )

 A.{an}中  a7 最大   B.{an}中  a3 或 a4 最大

 C.当  n≥8  时,an<0    D.一定有     S3=S11
 【考点】85:等差数列的前           n 项和.

 【分析】由     S7>S6,知   a7>0,由   S7>S8,知   a8<0,从而    d<0,由此得到当       n≥8  时,an<0.

 【解答】解:∵无穷等差数列{an}中,它的前                  n 项和  Sn,且  S7>S6,S7>S8,

 ∴由  S7>S6,知   a7=S7﹣S6>0,

 由 S7>S8,知   a8=S8﹣S7<0,

 ∴d=a8﹣a7<0,

 ∴当  n≥8  时,an<0.
 故选:C.
  

 9.在△ABC   中,角    A、B、C   的对边分别为      a、b、c  且  acosB+acosC=b+c,则△ABC   的形状是(  
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
 )

 A.等边三角形       B.锐角三角形       C.钝角三角形       D.直角三角形
 【考点】GZ:三角形的形状判断.
 【分析】可利用余弦定理将            cosB 与 cosC 化为边的关系,

 【解答】解法      1:∵                  ,                 ,

 ∴acosB+acosC=            +            =                               =


 =                                  =b+c,∵b+c>0,

 ∴a2﹣b2﹣c2+2bc=2bc,

 ∴a2=b2+c2,

 故选  D.
 解法  2:由   acosB+acosC=b+c 可知,∠B,∠C     不可能为钝角,过点         C 向  AB 作垂线,垂足为       D,则

acosB=BD≤BA=c,同理     acosC≤b,

 ∴acosB+acosC≤b+c,

 又∵acosB+acosC=b+c,

 ∴acosB=c,acosC=b,∴∠A=90°;

 故选  D.
  


 10.等差数列{an}的前       n 项和为   Sn,已知                 ,S2m﹣1=38,则  m=(  )
 A.9    B.10   C.20   D.38
 【考点】85:等差数列的前           n 项和.

 【分析】根据等差数列的性质可知,第                 m﹣1 项与第   m+1 项的和等于第       m 项的  2 倍,代入

          2
 am﹣1+am+1﹣am =0 中,即可求出第    m 项的值,然后利用等差数列的前               n 项和的公式表示出前         2m﹣1 项的

 和,利用等差数列的性质化为关于第                m 项的关系式,把第         m 项的值代入即可求出         m 的值.
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【解答】解:根据等差数列的性质可得:am﹣1+am+1=2am,

            2
则 am﹣1+am+1﹣am =am(2﹣am)=0,

解得:am=0   或  am=2,


又 S2m﹣1=                =(2m﹣1)am,

若 am=0,显然(2m﹣1)am=38      不成立,故应有       am=2

此时  S2m﹣1=(2m﹣1)am=4m﹣2=38,解得    m=10

故选  B.
 

二、填空题(本大题共          5 小题,每小题      4 分,共   20 分)

11.若变量    x,y 满足约束条件                    ,则目标函数      z=x﹣2y 的最大值为 15 .

【考点】7C:简单线性规划.

【分析】画出约束条件表示的平面区域,根据图形求出目标函数                            z=x﹣2y 过点 B 时取得最大值.


【解答】解:画出约束条件                   表示的平面区域,如图所示;


由       解得  B(3,﹣6);
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则目标函数     z=x﹣2y 过点 B 时,

z 取得最大值为     zmax=3﹣2×(﹣6)=15.

故答案为:15.
 


12.已知等差数列       an 满足:a3=7,a5+a7=26,令                    ,则数列     bn 的前 n 项和  Tn= 

       .
【考点】8E:数列的求和;84:等差数列的通项公式.
【分析】根据所给的等差数列的三个连续奇数项,得到数列的公差,写出数列的通项,构造新数列,
整理出可以应用裂项求和的形式,得到结果.

【解答】解:∵等差数列           an 满足:a3=7,a5+a7=26,

∴a3+a5+a7=33,

∴a5=11

∴d=     =2

∴an=2n+1,

∴

∴4

=                    =

∴

故答案为:
 

13.设  x,y∈R+且  x+y=2,则    + 的最小值为              .
【考点】7F:基本不等式.
【分析】利用“乘       1 法”和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x,y∈R+且         x+y=2,
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∴  +  =             =                            =         ,当且仅当           =      时取

等号.

∴  +  的最小值为           .

故答案为:           .
 

14.一个等比数列前        n 项和为   48,前   2n 项和为   60,则前   3n 项和为 63 .
【考点】8G:等比数列的性质.

【分析】由题意可得         Sn=48,S2n=60,又  Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 仍成等比数列,代值计算可得.

【解答】解:由题意可得           Sn=48,S2n=60,

又 Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 仍成等比数列,

          2
∴(S2n﹣Sn) =Sn(S3n﹣S2n),

                      2
代入数据可得∴(60﹣48)         =48(S3n﹣60),

解得前   3n 项和  S3n=63
故答案为:63
 

15.给出下列语句:
①若  a,b  为正实数,a≠b,则        a3+b3>a2b+ab2;

②若  a,b,m   为正实数,a<b,则

③若         ,则   a>b;

④当  x∈(0,     )时,sin x+      的最小值为     2   ,其中结论正确的是 ①③ .
【考点】R3:不等式的基本性质.

                                3  3   2   2          2
【分析】①,若       a,b∈R+,a≠b,∵a      +b ﹣(a b+ab )=(a﹣b)  (a+b)>0;

②,若   a,b,m∈R+,a<b,作差判断即可;
③不等式中     c≠0,不等式的两边同乘以           c2,判断结论即可;

④,当   x∈(0,     )时,sinx∈(0.1),结合不等式的性质判断即可.
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【解答】解:对于①,若           a,b∈R+,a≠b,

∵a3+b3﹣(a2b+ab2)=(a﹣b)2(a+b)>0,

故 a3+b3>a2b+ab2 正确;

对于②,若     a,b,m∈R+,a<b,

则    ﹣ =       >0,

则    >   故错;

对于③,若            ,则   a>b,故正确;

对于④,当     x∈(0,     )时,

若 sin x+   的最小值为      2  ,
则 sinx=  ,显然不成立,故错误,
故答案为:①③.
 

三、解答题(本大题共          4 小题,共    40 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

16.在△ABC   中,角    A,B,C   所对的边分别为       a,b,c,且满足       cos A= ,    • =6.
(1)求△ABC    的面积;
(2)若   b+c=7,求  a 的值.
【考点】HT:三角形中的几何计算.

【分析】(1)先求出         sin  A=  ,再由     •  =|  |•|  |•cos   A= bc=6,求出    bc=10,由此能求出

△ABC 的面积.

(2)由   bc=10,b+c=7,利用余弦定理能求出           a 的值.

【解答】解:(1)∵在△ABC           中,角    A,B,C   所对的边分别为       a,b,c,且满足      cos A= ,

∴A∈(0,π),sin A=            =  ,

∵   •  =|  |•|  |•cos A= bc=6,

∴bc=10,
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∴△ABC  的面积为:        bcsin A= ×10×  =4.
(2)由(1)知      bc=10,

b+c=7,

∴a=                =                    =             =   .
 

17.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,
该项目准备购置一块         1800 平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四
周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为                            2 米,如图,设池塘所占总面积为
S 平方米.
(Ⅰ)试用     x 表示  S;
(Ⅱ)当    x 取何值时,才能使得         S 最大?并求出      S 的最大值.


【考点】5D:函数模型的选择与应用.
【分析】(1)由已知该项目占地为               1800 平方米的矩形地块,我们可得             xy=1800,结合图形及

x=3a+6,由此我们易将池塘所占面积             S 表示为变量     x 的函数.

(2)要求    S 的最大值,根据       xy=1800,直接使用基本不等式,即可求最大值.

【解答】解:(1)由题可得:xy=1800,则               x=a+2a+6=3a+6,即  a=

∴S=(y﹣4)a+(y﹣6)×2a=(3y﹣16)a=1832﹣6x﹣       y=1832﹣ (16x+      )(x>0).

(2)∵16x+        ≥1440,当且仅当       16x=     ,即   x=45m 时,取等号,

∴x=45m 时,S   取得最大值     1352,此时    y=40.

 

18.已知函数     f(x)=x2﹣(a+1)x+1(a∈R).

(1 若关于    x 的不等式   f(x)<0   的解集是{x|m<x<2},求         a,m  的值;
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 (2)设关于     x 的不等式    f(x)≤0   的解集是    A,集合    B={x|0≤x≤1},若     A∩B=∅,求实数      a 的取值
范围.

 【考点】3W:二次函数的性质.
 【分析】(1)应用一元二次不等式和方程的关系结合根与系数的关系得到关于                                  a,m  的方程组,求
 出 a,m  的值即可;

 (2)问题转化为       a+1<x+  对于   x∈(0,1]恒成立(当        x=0 时,1>0  恒成立);求出        a 的范围即
 可.

 【解答】解:(1)∵关于           x 的不等式    f(x)<0   的解集是{x|m<x<2},

 ∴对应方程     x2﹣(m+1)x+1=0  的两个实数根为       m、2,

 由根与系数的关系,得                  ,解得   a=  ,m=   ;

 (2)∵关于     x 的不等式    f(x)≤0   的解集是     A,
 集合  B={x|0≤x≤1},当     A∩B=φ  时,即不等式      f(x)>0   对  x∈B 恒成立;

 即 x∈[0,1]时,x2﹣(a+1)x+1>0     恒成立,

 ∴a+1<x+   对于  x∈(0,1]恒成立(当        x=0 时,1>0   恒成立);

 ∵当  x∈(0,1]时,

 ∴a+1<2,即    a<1,∴实数     a 的取值范围是{a|a<1}.

  

                                                           *
 19.已知数列{an}的首项        a1=1,前  n 项和为   Sn,且  an+1=2an+1,n∈N .

 (1)证明数列{an+1}是等比数列并求数列{an}的通项公式;

 (2)证明:                     .

 【考点】8K:数列与不等式的综合;88:等比数列的通项公式.

 【分析】(1)由       an+1=2an+1,得 an+1+1=2(an+1),由   a1=1,得   a1+1=2,由此能证明数列{an+1}是

 首项为   2,公比为     2 的等比数列,从而能求出数列{an}的通项公式.

 (2)由                           ,利用放缩法和等比数列前            n 项和公式能证明

                 .
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【解答】解:(1)∵an+1=2an+1,

∴an+1+1=2(an+1),


又 a1=1,a1+1=2,         =2,

∴数列{an+1}是首项为       2,公比为    2 的等比数列.

       n                          n
∴an+1=2 ,∴数列{an}的通项公式         an=2 ﹣1,

证明:(2)∵                              ,


∴                                                                   ,

∴                 .

 
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2017   年  8 月   7 日
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