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湖南省湘东五校联考2016-2017学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

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     2016-2017  学年湖南省湘东五校联考高二(下)期末数学试卷(文科)
 

一、选择题(共       12 小题,每小题      5 分,满分    60 分)
1.已知集合     A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则       B 的子集个数为(  )
A.3    B.4    C.7    D.8

2.已知复数     z 满足(2﹣i)z=5,则     在复平面内对应的点位于(  )

A.第一象限        B.第二象限        C.第三象限        D.第四象限
3.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,
竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的                                 a,b  分别为   3,2,则
输出的   n=(  )


A.2    B.3    C.4    D.5

4.已知数列{an}为等比数列,且            a3=﹣4,a7=﹣16,则 a5=(  )

A.8    B.﹣8   C.64   D.﹣64

5.设  a,b∈R,则“       <0”是“a<b”的(  )条件.

A.充分而不必要         B.必要而不充分
C.充要      D.既不充分也不必要

6.已知函数     y=f(x)的图象关于       y 轴对称,当     x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,若         a=f(﹣3),b=f(

 ),c=f(2),则      a,b,c  的大小关系是(  )
A.a>b>c   B.b>a>c    C.c>a>b   D.a>c>b
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 7.若  α∈(    ,π),则     3cos2α=cos(   +α),则   sin2α 的值为(  )

 A.     B.﹣    C.     D.﹣

 8.若直线        =1(a>0,b>0)过点(1,1),则             a+b 的最小值等于(  )
 A.2    B.3    C.4    D.5

 9.f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω>0)的图象如图所示,为得到                    g(x)=﹣Asin(ωx+     )的图象,可

 以将  f(x)的图象(  )


 A.向右平移        个单位长度         B.向右平移        个单位长度

 C.向左平移        个单位长度         D.向左平移        个单位长度

 10.如图,三棱锥       P﹣ABC 中,PB⊥BA,PC⊥CA,且       PC=2CA=2,则三棱锥      P﹣ABC 的外接球表面积为(  
 )


 A.3π   B.5π   C.12π  D.20π


 11.已知   F1,F2 分别是双曲线                          的左、右焦点,过         F2 与双曲线的一条渐近线

平行的直线交另一条渐近线于点               M,若∠F1MF2    为锐角,则双曲线离心率的取值范围是(  )
 A.            B.(    ,+∞)      C.(1,2)       D.(2,+∞)


 12.已知函数     f(x)=                  (a>0  且  a≠1)的图象上关于        y 轴对称的点至少有        3 对,

 则实数   a 的范围是(  )
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 A.(0,      )  B.(    ,1)    C.(    ,1)    D.(0,      )
  

 二、填空题(每题        5 分,共   20 分)

 13.已知    =(1,﹣1),    =(﹣1,2),则(2       + )•  =      .


 14.已知实数     x,y 满足线性约束条件                   ,若  x﹣2y≥m  恒成立,则实数       m 的取值范围是            
 .

 15.已知△ABC    的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,且     a=b,sin2B=2sinAsinC 则 cosB=     .

 16.已知   F 是抛物线    x2=4y 的焦点,P   是抛物线上的一个动点,且             A 的坐标为(0,﹣1),则

     的最小值等于            .
  

 三、解答题(17      题、18   题、19  题、20   题、21  题各   12 分,选做题     10 分,共   70 分)1*

                                                    *
 17.已知数列{an}的前       n 项的和为    Sn,且  Sn+   an=1(n∈N  )

 (1)求{an}的通项公式;


 (2)设   bn=﹣log3(1﹣Sn),设  Cn=                    ,求数列{Cn}的前      n 项的和   Tn.
 18.随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰.今年新春伊始,宜城各医院产科就已经是一
 片忙碌,至今热度不减.卫生部门进行调查统计,期间发现各医院的新生儿中,不少都是“二孩”;
 在市第一医院,共有         40 个猴宝宝降生,其中         20 个是“二孩”宝宝;市妇幼保健院共有               30 个猴宝宝降
生,其中     10 个是“二孩”宝宝.
 (I)从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取                          7 个宝宝做健康咨询.
 ①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个?

 ②若从   7 个宝宝中抽取两个宝宝进行体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率;
 (Ⅱ)根据以上数据,能否有             85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关?
 附:                          0.4    0.25     0.15    0.10 
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           2
        P(k >k0)

            k0              0.708   1.323   2.072    2.706

 19.如图,在四棱锥        P﹣ABCD 中,底面    ABCD 为梯形,AD∥BC,AB=BC=CD=1,DA=2,DP⊥平面

 ABP,O,M   分别是    AD,PB  的中点.
 (Ⅰ)求证:PD∥平面         OCM;
 (Ⅱ)若    AP 与平面   PBD 所成的角为      60°,求线段    PB 的长.


 20.已知椭圆     E:                 =1 的离心率为       ,点   F1,F2 是椭圆   E 的左、右焦点,过        F1 的直

 线与椭圆    E 交于  A,B  两点,且△F2AB     的周长为     8.
 (1)求椭圆     E 的标准方程;
 (2)动点    M 在椭圆    E 上,动点    N 在直线   l:y=2     上,若    OM⊥ON,探究原点        O 到直    线 MN  的
距离是否为定值,并说明理由.

 21.已知   f(x)=lnx﹣ax+1,其中    a 为常实数.

 (1)讨论函数      f(x)的单调性;
 (2)当   a=1 时,求证:f(x)≤0;

 (3)当   n≥2,且    n∈N*时,求证:                                                 <2.
  

 四、解答题(共       1 小题,满分     10 分)
 22.在直角坐标系       xOy 中,直线    l 过点  M(3,4),其倾斜角为          45°,圆  C 的参数方程为

                                            .再以原点为极点,以          x 正半轴为极轴建立极坐

 标系,并使得它与直角坐标系             xoy 有相同的长度单位.
 (1)求圆    C 的极坐标方程;
 (2)设圆    C 与直线   l 交于点   A、B,求|MA|•|MB|的值.
  
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五、解答题(共       1 小题,满分     0 分)

23.已知函数     f(x)=|x﹣a|+|x+2|

(1)当   a=3 时,求不等式      f(x)≥7   的解集;
(2)若   f(x)≤x+4   的解集包含[1,2],求实数          a 的取值范围.
 
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2016-2017    学年湖南省湘东五校联考高二(下)期末数学试卷(文科)

                                     参考答案与试题解析

 

一、选择题(共       12 小题,每小题      5 分,满分    60 分)
1.已知集合     A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则       B 的子集个数为(  )
A.3    B.4    C.7    D.8
【考点】15:集合的表示法.
【分析】先求出集合         B 中的元素,从而求出其子集的个数.
【解答】解:由题意可知,

集合  B={z|z=x+y,x∈A,y∈A}={0,1,2},
则 B 的子集个数为:23=8       个,
故选:D.
 

2.已知复数     z 满足(2﹣i)z=5,则      在复平面内对应的点位于(  )

A.第一象限        B.第二象限        C.第三象限        D.第四象限
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、几何意义即可得出.

【解答】解:复数        z 满足(2﹣i)z=5,

∴(2+i)(2﹣i)z=5(2+i),

∴z=2+i,

  =2﹣i,

则   在复平面内对应的点(2,﹣1)位于第四象限.

故选:D.
 

3.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,
竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的                                 a,b  分别为   3,2,则
输出的   n=(  )
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 A.2    B.3    C.4    D.5
 【考点】EF:程序框图.
 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量                                    S 的值,模拟程
 序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.

 【解答】解:当       n=1 时,a=3+     =   ,b=4,满足进行循环的条件,

 当 n=2 时,a=     +   =     ,b=8,不满足进行循环的条件,
 故输出的    n 值为  2,
 故选:A.
  

 4.已知数列{an}为等比数列,且            a3=﹣4,a7=﹣16,则 a5=(  )

 A.8    B.﹣8   C.64   D.﹣64

 【考点】88:等比数列的通项公式.

                                                                2
 【分析】由等比数列通项公式知                    =a3•a7,且                  =﹣4q <0,由此能求出      a5 的
值.

 【解答】解:∵数列{an}为等比数列,且                a3=﹣4,a7=﹣16,

                                                       2
 ∴       =a3•a7=(﹣4)•(﹣16)=64,且                     =﹣4q <0,

 ∴a5=﹣8.

 故选:B.
  
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5.设  a,b∈R,则“          <0”是“a<b”的(  )条件.

A.充分而不必要         B.必要而不充分
C.充要      D.既不充分也不必要
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.

【解答】解:由              <0 得  a≠0 且        <0,即    a≠0 且  a﹣b<0,

则 a≠0 且  a<b,则   a<b  成立,即充分性成立,
反之不成立,

则“        <0”是“a<b”的充分不必要条件,

故选:A.
 

6.已知函数     y=f(x)的图象关于       y 轴对称,当     x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,若         a=f(﹣3),b=f(

   ),c=f(2),则      a,b,c  的大小关系是(  )
A.a>b>c   B.b>a>c    C.c>a>b   D.a>c>b
【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.

【分析】根据题意,分析可得函数               f(x)为偶函数,进而可得           a=f(﹣3)=f(3),由对数函数的性质

可得  f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,分析可得                   f(    )<f(2)<f(3),即可得答案.
【解答】解:根据题意,函数             y=f(x)的图象关于       y 轴对称,则函数       f(x)为偶函数,

则有  a=f(﹣3)=f(3),

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则         f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,

又由     <2<3,则有     f(    )<f(2)<f(3),
即 a>c>b,
故选:D.
 

7.若  α∈(       ,π),则    3cos2α=cos(      +α),则   sin2α 的值为(  )
                        中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

A.        B.﹣        C.        D.﹣

【考点】GP:两角和与差的余弦函数;GS:二倍角的正弦.
【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式,两角和的余弦函数公式化简可得                                  3(cosα+sinα)

(cosα﹣sinα)=      (cosα﹣sinα),由范围     α∈(      ,π),可得:cosα﹣sinα≠0,从而可求

cosα+sinα=    ,两边平方,利用同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式即可计算得
解.

【解答】解:∵3cos2α=cos(            +α),

∴3(cosα+sinα)(cosα﹣sinα)=        (cosα﹣sinα),

∵α∈(       ,π),可得:cosα﹣sinα≠0,

∴cosα+sinα=     ,

∴两边平方可得:1+sin2α=            ,解得:sin2α=﹣        .

故选:D.
 

8.若直线            =1(a>0,b>0)过点(1,1),则             a+b 的最小值等于(  )
A.2    B.3    C.4    D.5
【考点】7G:基本不等式在最值问题中的应用.

【分析】将(1,1)代入直线得:                    +   =1,从而   a+b=(     +   )(a+b),利用基本不等式
求出即可.

【解答】解:∵直线                 =1(a>0,b>0)过点(1,1),

∴    +   =1(a>0,b>0),

所以  a+b=(    +   )(a+b)=2+       +   ≥2+2            =4,

当且仅当       =   即 a=b=2 时取等号,
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∴a+b 最小值是     4,

故选:C.
 

9.f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω>0)的图象如图所示,为得到                    g(x)=﹣Asin(ωx+        )的图象,

可以将   f(x)的图象(  )


A.向右平移            个单位长度        B.向右平移            个单位长度

C.向左平移            个单位长度        D.向左平移            个单位长度
【考点】HJ:函数       y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由函数的最值求出            A,由周期求出       ω,由五点法作图求出          φ 的值,可得函数       f(x)的解析
式.再根据函数       y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.

【解答】解:由题意可得           A=1,     T=   •       =       ﹣     ,解得   ω=2,

∴f(x)=Acos(ωx+φ)=cos(2x+φ).

再由五点法作图可得          2×      +φ=     ,∴φ=﹣       ,

∴f(x)=cos(2x﹣       )=cos2(x﹣      ),

g(x)=﹣sin(2x+      )=cos(2x+       +     )=cos2(x+       ),

而      ﹣(﹣     )=        ,

故将  f(x)的图象向左平移                个单位长度,即可得到函数            g(x)的图象,
故选:D.
 

10.如图,三棱锥       P﹣ABC 中,PB⊥BA,PC⊥CA,且       PC=2CA=2,则三棱锥      P﹣ABC 的外接球表面积为(  
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)


A.3π   B.5π   C.12π  D.20π
【考点】LG:球的体积和表面积;L7:简单空间图形的三视图.

【分析】由已知得        PA 是三棱锥    P﹣ABC 的外接球的直径,由此能求出三棱锥                P﹣ABC 的外接球的表面
积.

【解答】解:∵三棱锥          P﹣ABC 中,PB⊥BA,PC⊥CA,且       PC=2,CA=1,AC⊥BC,

∴PA 是三棱锥     P﹣ABC 的外接球的直径,

PA=     ,半径为:          ,

∴三棱锥    P﹣ABC 的外接球的表面积为:

S=4                    =5π.
故选:B.


 


11.已知   F1,F2 分别是双曲线                                               的左、右焦点,过

F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点                       M,若∠F1MF2    为锐角,则双曲线离心率
的取值范围是(  )

A.                   B.(       ,+∞)   C.(1,2)       D.(2,+∞)
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 【考点】KC:双曲线的简单性质.

 【分析】可得      M,F1,F2  的坐标,进而可得               ,         的坐标,由                     >0,
结合   abc 的关系可得关于       ac 的不等式,结合离心率的定义可得范围.


 【解答】解:联立                            ,解得                 ,


 ∴M(     ,         ),F1(﹣c,0),F2(c,0),

 ∴        =(        ,      ),          =(    ,      ),

 由题意可得                     >0,即                        >0,

 化简可得    b2>3a2,即   c2﹣a2>3a2,

 故可得   c2>4a2,c>2a,可得     e=    >2
 故选  D
  


 12.已知函数     f(x)=                                  (a>0   且 a≠1)的图象上关于         y 轴对称

 的点至少有     3 对,则实数     a 的范围是(  )

 A.(0,        )   B.(        ,1)    C.(       ,1)    D.(0,         )
 【考点】3L:函数奇偶性的性质.

 【分析】求出函数        f(x)=sin(       x)﹣1,(x<0)关于       y 轴对称的解析式,利用数形结合即可得

 到结论.

 【解答】解:若       x>0,则﹣x<0,∵x<0       时,f(x)=sin(        x)﹣1,

 ∴f(﹣x)=sin(﹣      x)﹣1=﹣sin(     x)﹣1,
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则若  f(x)=sin(       x)﹣1,(x<0)关于       y 轴对称,

则 f(﹣x)=﹣sin(      x)﹣1=f(x),即    y=﹣sin(     x)﹣1,x>0,

设 g(x)=﹣sin(       x)﹣1,x>0,作出函数       g(x)的图象,


要使  y=﹣sin(     x)﹣1,x>0  与  f(x)=logax,x>0   的图象至少有      3 个交点,如图,

则 0<a<1  且满足    g(5)<f(5),


                        ﹣2
即﹣2<loga5,即   loga5>logaa ,则 5<       ,解得   0<a<        ,

故选:A.


 

二、填空题(每题        5 分,共   20 分)

13.已知     =(1,﹣1),      =(﹣1,2),则(2        +  )•   = ﹣1 .

【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可.

【解答】解:         =(1,﹣1),     =(﹣1,2),则     2   +  =(1,0)

(2   +  )•    =﹣1+0=﹣1.

故答案为:﹣1.
 


14.已知实数     x,y 满足线性约束条件                             ,若   x﹣2y≥m 恒成立,则实数       m  的取
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值范围是 (﹣∞,﹣6] .

【考点】7C:简单线性规划.
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的意义,转化求解目标函数的最小值,求出                                        m 的范
围即可.


【解答】解:实数        x,y 满足线性约束条件                             的可行域如图:

若 x﹣2y≥m 恒成立,则      m 小于等于    x﹣2y 的最小值.

平移直线    x﹣2y=0 可知:直线经过可行域的          B 时,目标函数取得最小值,由                          可得

B(2,4),

则 x﹣2y 的最小值为:2﹣8=﹣6,可得       m≤﹣6.

给答案为:(﹣∞,﹣6].


 

15.已知△ABC    的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,且         a=b,sin2B=2sinAsinC 则 cosB=     
.

【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】由正弦定理得          b2=2ac,从而   a=b=2c,由此利用余弦定理能求出            cosB.
【解答】解:∵△ABC        的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,且     a=b,sin2B=2sinAsinC,
∴由正弦定理得       b2=2ac,

∴a=b=2c,
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∴cosB=                    =       =     =     =    .

故答案为:        .
 

16.已知   F 是抛物线    x2=4y 的焦点,P   是抛物线上的一个动点,且             A 的坐标为(0,﹣1),则

    的最小值等于               .
【考点】K8:抛物线的简单性质.

【分析】过点      P 作 PM 垂直于准线,M       为垂足,则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,则                          =

         =sin∠PAM,∠PAM    为锐角,当      PA 和抛物线相切时                最小;利用直线的斜率公式、

导数的几何意义求得切点的坐标,从而求得                            的最小值.
【解答】解:由题意可得,抛物线               x2=4y 的焦点  F(0,1),

准线方程为     y=﹣1.

过点  P 作 PM 垂直于准线,M       为垂足,
则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,

则          =         =sin∠PAM,∠PAM    为锐角;

所以当∠PAM     最小时,             最小,

即当  PA 和抛物线相切时,                 最小.

设切点   P(2      ,a),由    y=   x2 的导数为    y′=  x,

则 PA 的斜率为    k=   •2     =     =        ,
求得  a=1,可得   P(2,1),

∴|PM|=2,|PA|=2       ,

∴sin∠PAM=           =      ,

则          的最小值等于           .

故答案为:          .
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 三、解答题(17      题、18   题、19  题、20   题、21  题各   12 分,选做题     10 分,共   70 分)1*

                                                    *
 17.已知数列{an}的前       n 项的和为    Sn,且  Sn+   an=1(n∈N  )

 (1)求{an}的通项公式;


 (2)设   bn=﹣log3(1﹣Sn),设  Cn=                    ,求数列{Cn}的前      n 项的和   Tn.
 【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.

                                               *
 【分析】(1)运用数列的递推式:a1=S1,n≥2,n∈N                  ,an=Sn﹣Sn﹣1,结合等比数列的定义和通项公式
即可得到所求通项;


                        n                           n
 (2)Sn=1﹣    an=1﹣(   )  ,bn=﹣log3(1﹣Sn)=﹣log3(   ) =n,Cn=                     =

                     =     ﹣              ,
 由数列的求和方法:裂项相消求和,化简整理即可得到所求和.

                                   *
 【解答】解:(1)Sn+          an=1①(n∈N   )

 可得  a1=S1,


 即有  a1+   a1=1,可得   a1=   ,


             *
 当 n≥2,n∈N   ,即有    Sn﹣1+  an﹣1=1,②


 an=Sn﹣Sn﹣1,


 ①﹣②可得   Sn﹣Sn﹣1+ an﹣  an﹣1=0,
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 即有  an=   an﹣1,


        n﹣1           n﹣1         n     *
 则 an=a1q =   •(    )   =2•(    )  ,n∈N  ;


 (2)Sn+    an=1


                       n
 可得  Sn=1﹣  an=1﹣(   )  ,


                          n
 bn=﹣log3(1﹣Sn)=﹣log3(  ) =n,


 Cn=                   =                     =     ﹣             ,
 前 n 项的和


 Tn=     ﹣    +      ﹣     +     ﹣     +…+              ﹣             +      ﹣


 ═      +     ﹣              ﹣             =   ﹣             ﹣              .
  

 18.随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰.今年新春伊始,宜城各医院产科就已经是一
 片忙碌,至今热度不减.卫生部门进行调查统计,期间发现各医院的新生儿中,不少都是“二孩”;
 在市第一医院,共有         40 个猴宝宝降生,其中         20 个是“二孩”宝宝;市妇幼保健院共有               30 个猴宝宝降
生,其中     10 个是“二孩”宝宝.
 (I)从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取                          7 个宝宝做健康咨询.
 ①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个?

 ②若从   7 个宝宝中抽取两个宝宝进行体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率;
 (Ⅱ)根据以上数据,能否有             85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关?
 附:                          0.4    0.25     0.15    0.10 
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           2
        P(k >k0)

            k0              0.708   1.323   2.072    2.706
 【考点】BK:线性回归方程.
 【分析】(I)根据分层抽样原理计算,使用组合数公式计算概率;
 (II)计算   K2,与  2.072 比较大小得出结论.

 【解答】解:(Ⅰ)①7×                                     =2.
 ②在抽取    7 个宝宝中,出生在市第一医院的二孩宝宝由                   2 人,出生在市妇幼保健院的二孩宝宝有
 1 人.

 从 7 个宝宝中随机抽取        2 个的可能事件共有            =21 个,其中两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”

的基本事件有                  =2 个.

 ∴两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率                    P=     .
 (Ⅱ)列联表如下:
               一孩         二孩        合计

  第一医院          20         20        40
 妇幼保健院          20         10        30
  合     计       40         30        70

                                                                                      ,
 故没有   85%的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关.
  

 19.如图,在四棱锥        P﹣ABCD 中,底面    ABCD 为梯形,AD∥BC,AB=BC=CD=1,DA=2,DP⊥平面

 ABP,O,M   分别是    AD,PB  的中点.
 (Ⅰ)求证:PD∥平面         OCM;
 (Ⅱ)若    AP 与平面   PBD 所成的角为      60°,求线段    PB 的长.


 【考点】LS:直线与平面平行的判定;MI:直线与平面所成的角.
 【分析】(Ⅰ)连接         BD 交 OC 与  N,连接    MN.证明    MN∥PD.然后证明        PD∥平面    OCM.
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
 (Ⅱ)通过计算证明         AB⊥BD.AB⊥PD.推出        AB⊥平面   BDP,说明∠APB     为  AP 与平面   PBD 所成的
角,然后求解即可.

 【解答】(本小题满分          15 分)
 解:(Ⅰ)连接       BD 交 OC 与  N,连接    MN.
 因为  O 为 AD 的中点,AD=2,
 所以  OA=OD=1=BC.
 又因为   AD∥BC,
 所以四边形     OBCD 为平行四边形,…
 所以  N 为 BD 的中点,因为       M 为 PB 的中点,
 所以  MN∥PD.…
 又因为   MN⊂平面    OCM,PD⊄平面     OCM,
 所以  PD∥平面    OCM.…
 (Ⅱ)由四边形       OBCD 为平行四边形,知         OB=CD=1,
 所以△AOB    为等边三角形,所以∠A=60°,…

 所以                                                ,即  AB2+BD2=AD2,即   AB⊥BD.
 因为  DP⊥平面    ABP,所以    AB⊥PD.
 又因为   BD∩PD=D,所以     AB⊥平面    BDP,…
 所以∠APB   为  AP 与平面   PBD 所成的角,即∠APB=60°,…

 所以              .  …


  


 20.已知椭圆     E:                 =1 的离心率为       ,点   F1,F2 是椭圆   E 的左、右焦点,过        F1 的直

 线与椭圆    E 交于  A,B  两点,且△F2AB     的周长为     8.
 (1)求椭圆     E 的标准方程;
 (2)动点    M 在椭圆    E 上,动点    N 在直线   l:y=2     上,若    OM⊥ON,探究原点        O 到直    线 MN  的
距离是否为定值,并说明理由.
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 【考点】K4:椭圆的简单性质.
 【分析】(1)根据题意列出方程组求出                 a、b  的值,写出椭圆       E 的标准方程;
 (2)①直线     ON 的斜率不存在,计算原点            O 到直线   MN 的距离    d 的值;②直线      ON 的斜率存在,设
 出直线   OM、ON   的方程,求出点        M、N,计算|MN|2、|OM|2、|ON|2,求出原点              O 到直线   MN  的距
 离 d,即可得出结论.


 【解答】解:(1)椭圆          E:               =1 的离心率为       ,且△F2AB    的周长为    8,


 所以                      ,

 解得  a=2,b=      ,…

 所以椭圆    E 的标准方程为           +     =1;…

 (2)①若直线      ON 的斜率不存在,
 则|OM|=2      ,|ON|=2,|MN|=4,

 所以原点    O 到直线   MN  的距离为    d=                    =    ;…
 ②若直线    ON 的斜率存在,
 设直线   OM  方程为   y=kx,

 代入       +     =1,解得    x2=           ,


 y2=           ;…

 则直线   ON 的方程为     y=﹣  x,代入   y=2     ,

 解得  N(﹣2      k,2     );…

 所以|MN|2=|OM|2+|ON|2=(                +            )+(12k2+12)


=                     ;
 设原点   O 到直线   MN  的距离为    d,
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则|MN|•d=|OM|•|ON|,

得 d2=                        =3,
所以  d=     ;…
综上,原点     O 到直线   MN  的距离为定值           .…
 

21.已知   f(x)=lnx﹣ax+1,其中    a 为常实数.

(1)讨论函数      f(x)的单调性;
(2)当   a=1 时,求证:f(x)≤0;

(3)当   n≥2,且    n∈N*时,求证:                                                 <2.

【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)根据函数的单调性求出            f(x)的最大值,从而证明结论;

(3)根据    lnn<n﹣1 通过赋值,得到       S=   +      +     +…+         ,求出      S,错位相减证明
结论即可.

【解答】解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),

f′(x)=    ﹣a,

a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,

a>0 时,令   f′(x)=0,解得:x=        ,

故 f(x)在(0,        )递增,在(         ,+∞)递减;
(2)a=1  时,由(1)f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,

故 f(x)max=f(1)=0,故     f(x)≤0;

(3)由(2)得:n≥2        且  n∈N*时,lnn<n﹣1,

于是         +       +       +…+         <    +      +     +…+         ,
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令 S=   +     +      +…+         ①,

则    S=     +     +…+         +        ②,

错位相减得:S=2﹣             ,则   S<2,

故                                            <     +     +     +…+         <2.
 

四、解答题(共       1 小题,满分     10 分)
22.在直角坐标系       xOy 中,直线    l 过点  M(3,4),其倾斜角为          45°,圆  C 的参数方程为

                                           .再以原点为极点,以          x 正半轴为极轴建立极坐

标系,并使得它与直角坐标系             xoy 有相同的长度单位.
(1)求圆    C 的极坐标方程;
(2)设圆    C 与直线   l 交于点   A、B,求|MA|•|MB|的值.
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(1)利用        cos2θ+sin2θ=1 消去参数可得圆的直角坐标方程式,由极坐标与直角坐标互化公
式代入化简即可得出.


(2)直线    l 的参数方程                               ,(t  为参数),代入圆方程得:

         +9=0,利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出.

【解答】解:(1)消去参数可得圆的直角坐标方程式为                        x2+(y﹣2)2=4,

由极坐标与直角坐标互化公式得(ρcosθ)2+(ρsinθ﹣2)2=4                化简得   ρ=4sinθ,


(2)直线    l 的参数方程                               ,(t  为参数).


即                                      代入圆方程得:                         +9=0,
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设 A、B  对应的参数分别为        t1、t2,则                       ,t1t2=9,

于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9.
 

五、解答题(共       1 小题,满分     0 分)

23.已知函数     f(x)=|x﹣a|+|x+2|

(1)当   a=3 时,求不等式      f(x)≥7   的解集;
(2)若   f(x)≤x+4   的解集包含[1,2],求实数          a 的取值范围.
【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(1)由题意利用绝对值的意义,求得不等式                       f(x)≥7   的解集.

(2)原命题等价于﹣2≤a﹣x≤2         在[1,2]上恒成立,即            x﹣2≤a≤x+2 在[1,2]上恒成立,由此求得

a 的范围.

【解答】解:(1)当         a=3 时,f(x)≥7⇔|x﹣3|+|x+2|≥7.

由绝对值的几何意义得,f(x)表示数轴上的                  x 对应点到    3、﹣2 对应点的距离之和,

而 4 和﹣3 对应点到    3、﹣2 对应点的距离之和正好等于            7,

故不等式|x﹣3|+|x+2|≥7     的解集为{x|x≤﹣3    或  x≥4}.

(2)f(x)≤x+4    的解集包含[1,2],⇔f(x)≤x+4           在[1,2]上恒成立,

⇔|x﹣a|+|x+2|≤x+4 在[1,2]上恒成立,⇔当          1≤x≤2  时,|x﹣a|+|x+2|≤x+4   恒成立,

⇔当  1≤x≤2  时,|x﹣a|+x+2≤x+4   恒成立,⇔当       1≤x≤2  时,|x﹣a|≤2   恒成立,

⇔当  1≤x≤2  时,﹣2≤x﹣a≤2    恒成立,⇔当       1≤x≤2  时,﹣2≤a﹣x≤2,⇔x﹣2≤a≤x+2       在[1,2]上恒成
立,

⇔2﹣2≤a≤1+2,⇔0≤a≤3,

故 a 的取值范围是      a∈[0,3].
 
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2017   年  8 月   7 日
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