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高中数学审核员

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               2018  年高中毕业年级第一次质量预测

                            理科数学试题卷

                                   第Ⅰ卷

一、选择题:共         12 个小题,每小题        5 分,共   60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.设集合   A  x x 1, B  x 2x 16,则  A  B= (    )

A. (1,4)              B. (,1)        C. (4,)         D. (,1)  (4,)

2.若复数   z  (a2  a  2)  (a 1)i 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数       a 的值是(    )

A. 2                 B. 2 或 1        C.2 或 1          D.2

3.下列说法正确的是(    )

A.“若 a 1,则   a2 1”的否命题是“若      a 1,则   a2 1”

B.“若 am2  bm2 ,则  a  b ”的逆命题为真命题


                   x0   x0
C. x0 (0,) ,使 3   4  成立

            1         
D.“若 sin    ,则      ”是真命题
            2         6
         3
4.在 (x    ) 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为                   32,则   x2 的系数为(    )
          x

A.50                  B.70             C.90              D.120

                                          3
5.等比数列a     中,  a  9 ,前  3 项和为   S  3  x2dx ,则公比    q 的值是(    )
            n      3                 3   0
                          1                   1                  1
A.1                   B.              C.1 或            D. 1或 
                          2                   2                  2
                                                               
6.若将函数    f (x)  3sin(2x )(0     ) 图象上的每一个点都向左平移          个单位,得到
                                                               3

 y  g(x) 的图象,若函数      y  g(x) 是奇函数,则函数       y  g(x) 的单调递增区间为(    )
                                                   3
A.[k    ,k   ](k  Z)              B.[k   ,k     ](k  Z)  C.
        4      4                               4       4
      2                                            5
[k     ,k   ](k  Z)               D.[k    ,k    ](k  Z)
       3      6                               12      12
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7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是                  7,则判断框内      m 的取值范围是(    )


A. (30,42]            B. (30,42)

C. (42,56]            D. (42,56)

8.刍薨(   chuhong ),中国古代算术中的一种几何形体,《九章算术》中记载“刍薨者,

下有褒有广,而上有褒无广.刍,草也.薨,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部

只有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶”,如图,为一刍薨的三视图,其中正

视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则搭建它(无底面,不考虑厚度)需要的茅草面

积至少为(    )


A.24                  B. 32 5

C.64                  D. 32 6

9.如图,在△ABC       中,  N 为线段    AC 上靠近   A 的三等分点,点       P 在 BN  上且
      2   2 
 AP=(m    )AB     BC ,则实数    m 的值为(    )
         11      11
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                                         1                 9             5
A.1                                    B.                C.           D.
                                          2                11           11

10.设抛物线    y2  4x 的焦点为   F ,过点    M ( 5,0) 的直线与抛物线相交于         A , B 两点,与

                                                          S
抛物线的准线相交于         C ,  BF  3 ,则ABCF    与A ACF  的面积之比       A BCF  (    )
                                                          SA ACF
   3                     4               5                 6
A.                    B.               C.                D.
   4                     5               6                 7
11.在A  ABC 中,角    A, B,C 的对边分别为     a,b,c ,且 2c cos B  2a  b ,若A ABC 的面积

为 S   3c ,则  ab 的最小值为(    )

A.28                  B.36             C.48              D.56

12.已知函数     f (x)  x3  9x2  29x  30 ,实数 a,b 满足 f (m)  12 , f (n) 18 ,则

 m  n  (    )

A.6                   B.8              C.10              D.12

                         第Ⅱ卷(非选择题,共          90 分)

二、填空题:本题共            4 小题,每题      5 分.

                        x 1,
                        
13.设变量   x, y 满足约束条件    x  y  4  0, 则目标函数   z  2x  y 的最小值为               .
                        
                        x  3y  4  0,

                 2x , x 1
14.已知函数    f (x)                若不等式     f (x)  5  mx 恒成立,则实数    m 的取值
                 ln(x 1),1 x  2,

范围是       .

15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”,那么从长方体八个顶点中任取

四个顶点,则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为          .
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                x2  y2
16.已知双曲线     C :      1 的右焦点为     F ,过点   F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂
                a2  b2
                                  
足为  M  ,交另一条渐近线于         N ,若  7FM    3FN ,则双曲线的渐近线方程为           . 三、

解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.


17.已知等差数列an的前        n 项和为   Sn ,且  a2  a5  25, Sn  55 .


(1)求数列an的通项公式;

               1
(2)设   a b        ,求数列b     的前  n 项和T   .
        n n  3n 1           n            n

18.为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于                   12 月 4 日到  12 月 31 日在主城区实行车

辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行,某甲乙两个单位各有                            200 名员工,为了了解

员工低碳出行的情况,统计了             12 月 5 日到  12 月 14 日共 10 天的低碳出行的人数,画出茎

叶图如下:

(1)若甲单位数据的平均数是             122,求  x ;

(2)现从如图的数据中任取            4 天的数据(甲、乙两单位中各取             3 天),记其中甲、乙两单


位员工低碳出行人数不低于            130 人的天数为1    ,  2 ,令=1   2 ,求  的分布列和期望.


19.如图,在三棱锥       P  ABC 中,平面    PAB   平面  ABC  , AB  6 , BC  2 3 ,

 AC  2 6 ,  D, E 分别为线段    AB, BC 上的点,且     AD   2DB , CE   2EB ,

 PD  AC  .

(1)求证:     PD   平面  ABC  ;
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                                
(2)若   PA 与平面    ABC 所成的角为       ,求平面     PAC 与平面    PDE 所成的锐二面角.
                                4


              x2  y2
20.已知椭圆    C :      1(a  b  0) 的左、右焦点分别为       F , F ,以 F F 为直径的圆与
              a2  b2                                1  2     1 2

直线  ax  2by  3ab  0 相切.

(1)求椭圆     C 的离心率;


(2)如图,过      F1 作直线  l 与椭圆分别交于两点        P,Q ,若APQF2    的周长为    4  2 ,求
  
 F1PAF2Q 的最大值.
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                       1   1
21.已知函数    f (x)  ln x    , a  R 且 a  0 .
                       ax  a

(1)讨论函数       f (x) 的单调性;

           1
(2)当   x [  ,e]时,试判断函数      g(x)  (ln x 1)ex  x  m 的零点个数.
           e


22.在平面直角坐标系        xOy 中,直线    l 过点 (1,0) ,倾斜角为    ,以坐标原点为极点,          x 轴

                                                    8cos
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线                C 的极坐标方程是       =         .
                                                   1 cos2 

(1)写出直线      l 的参数方程和曲线       C 的直角坐标方程;
           
(2)若       ,设直线    l 与曲线  C 交于   A, B 两点,求A   AOB  的面积.
           4

23.设函数   f (x)  x  3 , g(x)  2x 1 .

(1)解不等式       f (x)  g(x) ;

(2)若   2 f (x)  g(x)  ax  4 对任意的实数  x 恒成立,求    a 的取值范围.
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                     2018 年高中毕业年级第一次质量预测

                           理科数学   参考答案

 一、选择题
 题号    1      2      3      4      5      6     7      8      9      10     11     12
 答案    A      D      D      C      C      B     A      B      D      D      C      A

 二、填空题
                         5        12            10
 13.   -1;      14.    0, ;        15.   ;  16.  y   x.
                         2        35            2
 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.


             a2  a5  2a1  5d  25   a1  5,
 17.解析:(1)                       ,求得        an  3n  2.  
             S5  5a3  5a1 10d  55  d  3,

            1           1        1   1     1
 (2) bn                        (          ). 
         an (3n 1) (3n 1)(3n  2) 3 3n 1 3n  2
                 1 1  1  1  1       1      1     1 1    1
 T  b  b b   (                    )  (       ),
  n  1   2    n  3 2  5  5  8      3n 1 3n  2  3 2  3n  2
      1    1       n
T                   .
   n  6  9n  6 2(3n  2)
 18.解析:(1)由题意
 105 107 113115 119 126  (120  x) 132 134 141
                                                 122 ,
                        10
 解得 x  8; 
 (2)随机变量     的所有取值有    0,1,2,3,4.
            2 2                     1 1 2
          C7 C6   7               C7C3C6    91
 p(  0)  2 2   ;             p( 1)  2 2  ;  
          C10C10 45                C10C10  225
           2 2    2 2   1 1 1 1                2 1 1   1 1 2
          C3 C6  C7 C4  C7C3C6C4 1         C3 C6C4  C7C3C4 22
 p(  2)         2 2           ;    p(  3)   2  2         ;
                 C10C10          3                C10C10      225
            2 2
          C3 C4   2
 p(  4)  2 2    ;  的分布列为:
          C10C10 225
            0            1           2            3           4
  P          7           91           1           22           2
            45           225          3          225          225

          7     91     1     22      2    7
 E()  0  1     2   3    4    
         45     225    3     225    225   5

 19.(1)证明:连接     DE ,由题意知    AD  4, BD  2,
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  AC 2  BC 2  AB2 ,ACB  90.
           2  3   3
 cosABC          .
            6     3
CD2    22 12  2 2 2 3 cosABC  8.
CD    2 2.
CD2   AD2  AC 2 ,则 CD  AB ,
 又因为  平平  PAB  平平  ABC  ,所以  CD  平平  PAB,CD    PD,
 因为 PD   AC , AC,CD  都在平面   ABC  内,
 所以 PD   平面 ABC   ;
 (2)由(1)知    PD,CD, AB 两两互相垂直,建立如图所示的直角坐标系               D  xyz ,


                        
 且 PA 与平面  ABC 所成的角为      ,有  PD  4 ,
                         4

 则 A(0,4,0),C(2 2,0,0), B(0,2,0), P(0,0,4)

 ∴ CB  (2 2,2,0), AC  (2 2,4,0), PA  (0,4,4)

 因为 AD   2DB,CE  2EB, DE // AC,
 由(1)知   AC  BC, PD  平面  ABC ,∴  CB  平面  DEP

 ∴ CB  (2 2,2,0) 为平面 DEP 的一个法向量.

                                 n  AC,
                    
 设平面  PAC 的法向量为    n  x, y, z,则 
                                 n  PA,

   2 2x  4 y  0
 ∴             ,令 z 1,则  x   2, y  1 ,
    4 y  4z  0

 ∴ n  ( 2,1,1) 为平面 PAC 的一个法向量.

                 4  2    3
 ∴ cos  n,CB           .
                4  12    2
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                                    3
故平面  PAC 与平面  PDE 的锐二面角的余弦值为         ,
                                   2
所以平面   PAC 与平面  PDE 的锐二面角为   30

                   3ab
20.解析:(1)由题意             c ,即 3a2b2  c2 (a2  4b2 )  (a2  b2 )(a2  4b2 ).
                  a 2  4b2

                 2
所以  a 2  2b2 ,e 
                 2

(2)因为三角形    PQF2 的周长为  4  2 ,所以 4a  4 2,a  2,

                      x 2
由(1)知   b2 1,椭圆方程为      y 2 1 ,且焦点 F (1,0), F (1,0) ,
                      2               1      2
                                             2         2
①若直线   l 斜率不存在,则可得    l  x 轴,方程为 x  1, P(1, ),Q(1, ) ,
                                             2        2
          2            2               7
F P  (2, ), F Q  (2, ) ,故 F2 P  F2Q  . 
  2      2    2       2                2
②若直线   l 斜率存在,设直线   l 的方程为  y  k(x 1) ,

  y  k(x 1),
由           消去   得    2   2    2    2     ,
   2   2       y  (2k 1)x  4k x  2k  2  0
  x  2y  2

                             4k 2      2k 2  2
设 P(x , y ),Q(x , y ) ,则 x  x   , x x   . 
     1 1    2  2     1  2   2k 2 1 1 2 2k 2 1


F2 P  F2Q  (x1 1, y1)(x2 1, y2 )  (x1 1)(x2 1)  y1 y2 ,

            2         2           2
则 F2 P  F2Q  (k 1)x1x2  (k 1)(x1  x2 )  k 1.

代入韦达定理可得
               2k 2  2       4k 2        7k 2 1 7    9
F P  F Q  (k 2 1)  (k 2 1)( )  k 2 1            ,
 2   2         2k 2 1       2k 2 1      2k 2 1 2 2(2k 2 1)
                         7
由 k 2  0 可得 F P  F Q (1, ) ,结合当 k 不存在时的情况,得
            2   2        2
              7
 F P  F Q (1, ],
  2   2       2
                  7
所以  F P  F Q 最大值是 .
     2   2        2
                 ax 1
21.解析:(1)   f (x)   ,(x  0)
                  ax2
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 当 a  0 时, f (x)  0 恒成立,所以函数  f x是 0,上的单调递增函数;

                  ax 1         1
 当 a  0 时, f x    0 ,得 x   ,
                  ax2           a
        ax 1             1
 f (x)      0 ,得 0  x  ,
        ax 2              a
                 1                1
 函数单调递增区间为       ( ,) ,减区间为   (0, ).
                 a                a

 综上所述,当    a  0 时,函数  f x增区间为   0,. .

                           1                1
 当 a  0 时,函数单调递增区间为      (  ,) ,减区间为   (0, ).  
                           a                a
           1
 (2)∵  x [ ,e],函数  g(x)  (ln x 1)e x  x  m 的零点,
           e
 即方程  (ln x 1)e x  x  m 的根.

                x            1       x
 令 hx lnx 1e  x , hx   lnx 1e 1.  
                             x      
                                        1     1
 由(1)知当   a 1时,             f x lnx  1在[  ,1) 递减,在1,e上递增,∴
                                        x     e

 f x f 1 0 .

   1                1
 ∴   lnx 1 0 在 x [ ,e]上恒成立.
   x                e

          1       x
 ∴ hx   lnx 1e 1 0 1  0 ,
          x      
                          1
 ∴ hx lnx 1ex  x 在 x [ ,e]上单调递增.
                          e
             1    1  1
 ∴                  e   ,
   hx   h   2e    h(x)max  e
      min    e       e
             1 1                         1  1
 所以当  m  2ee  或 m  e 时,没有零点,当     2ee   m  e 时有一个零点. 
               e                            e

                       x 1 t cos,
 22.(1)直线 l 的参数方程为:               (t为参数).
                       y  t sin

      8cos
         ,  sin2   8cos,  2 sin2   8 cos, 即y2  8x.
      sin2 
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                                        2
                                 x 1    t,
                                      2
 (2)当     时,直线   l 的参数方程为:               (t为参数),
           4                           2
                                 y    t
                                    2

      2        2
 代入 y   8x 可得 t 8 2t 16  0,


 设A、两B点对应的参数分别为则t1,t2         ,  t1  t1  8 2, t1At2  16

                      2
  AB  t1  t2  (t1  t2 )  4t1At2  8 3.

                                 2
 又点O到直线的A距B离        d 1sin      ,
                             4   2
         1        1         2
S        AB  d  8 3     2 6.
   AOB  2        2        2
 23.(本小题满分    10 分)
 解: (1)由已知,可得      x  3  2x 1 ,
 即 x  3 2  2x 1 2 .
 则有:3x2   10x 8  0,
       2
 x   或x   4.
       3
                           2
 故所求不等式的解集为:(,           )  (4,).
                           3
                                             
                                             4x  5, x  3,
                                             
                                                      1
 (2)由已知,设h(x)     2 f (x)  g(x)  2 x  3  2x 1  7,3  x  ,
                                                      2
                                                      1
                                              4x  5, x  .
                                                     2
 当x时,3只需恒成立即4x    5  ax  4   , ax  4x  9,
                   4x  9     9
 x  3  0  a          4  恒成立.
                      x        x          
          9
a   (4  ) ,a  1,
          x max
          1
 当时 3,只x 需恒成立即恒7成  a立x. 4   ,  ax  3  0
          2
      3a  3  0
                a  1
 只需1          ,     ,1 a  6.
       a  3  0 a  6
     2
      1
 当x时,只需恒成立4x即    5  ax  4   ,  ax  4x 1.
      2
      1            4x 1    1
 x    0,   a        4  恒成立. 
      2              x      x
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       1
4       4 ,且无限趋近于          4,
       x
a    4.
综上,     a 的取值范围是         (1,4].
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