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遂宁市高中2018届一诊考试理科试题和答案

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               遂宁市高中               2018    届一诊考试

                         数学(理科)试题

    本试卷分第     I 卷(选择题)和第        II 卷(非选择题)两部分。总分            150 分。考试时间
120 分钟。

                        第Ⅰ卷(选择题,满分             60 分)

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用           0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴
  是否正确。

2.选择题使用   2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用           0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应
  框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后,将答题卡收回。


一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,共  60 分。在每个小题给出的四个选项中,
    只有一个是符合题目要求的。


1.已知集合     A  {x  3  x  6}, B  {x 2  x  7} ,则 AI (CR B) 

   A. (2,6)       B. (2,7)        C. (3,2]       D. (3,2)

2.已知复数     z  a  i (a  R) ,若 z  z  4 ,则复数 z 的共轭复数    z 

   A. 2  i      B. 2  i           C. 2  i        D. 2  i

      1     1
3.“  ( )a  ( )b ”是“  log a  log b ”的
      3     3           2       2
   A. 充分不必要条件                        B. 充要条件

   C. 必要不充分条件                    D. 既不充分也不必要条件

                                   2
4.已知随机变量        服从正态分布      N(,  ) ,若 P(  2)  P(  6)  0.15 ,则
 P(2    4) 等于

   A. 0.3       B. 0.35          C. 0.5         D. 0.7
                     2 2                     
5.已知    满足  cos       ,则  cos    cos     
                      3           4       4    

       7             25                7               25
   A.             B.              C.             D. 
      18             18               18               18

6.执行如图所示的程序,若输入的               x  3 ,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

   则输出的所有      x 的值的和为

   A.243    

   B.363    

   C.729    

   D.1092

7.要排出某理科班一天中语文、数学、物理、

   英语、生物、化学        6 堂课的课程表,要求

   语文课排在上午(前        4 节),生物课排在下午

   (后 2 节),不同排法种数为

   A.144         B.192           C.360        D.720

8.若  a  0,b  0, 且函数  f (x)  4x3  ax2  2bx  2 在 x  2 处有极值,则 ab 的最大值
   等于

   A.121          B.144           C.72            D.80

            a
9.已知数列      n 的前  n 项和为  Sn ,若  a1 为函数  f (x)  3 sin x  cos x (x  R) 的最大

                         a1
             an  anSn1   anSn         a
   值,且满足                 2       ,则数列     n 的前 2018 项之积   A2018 

                     1
    A.1          B.  2            C. 1          D.2

               x2   y2
10.若双曲线     C :       1(  a  0 , b  0 )的一条渐近线被圆      x2  y2  4x  0 所截
               a2   b2
得的弦长为     2,则双曲线     C 的离心率为

                                                   2  3
    A.2         B.   3           C.  2          D. 
                                                     3

                                          2  2     uuur   uuur  uuur
11.已知   O 为△ABC   的外心,A    为锐角且    sin A      ,若  AO   AB   AC ,则
                                           3
   的最大值为

       1            1              2              3
    A.           B.             C.             D.
       3            2              3              4

12.定义在    R 上的函数    f (x) 满足 f (x)  f (x) ,且对任意的不相等的实数         x1 ,

                  f (x1)  f (x2 )
    x2 [0,) 有               0 成立,若关于     x 的不等式
                     x1  x2
     f (2mx  ln x  3)  2 f (3)  f (2mx  ln x  3) 在 x [1,3]上恒成立,则实数 m 的
    取值范围
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        1    ln 6                      1     ln 6
   A.[    ,1    ]                   B.[ ,2    ]      
       2e     6                        e      3

       1     ln 3                       1    ln 3
   C.[  ,2     ]                   D.[   ,1    ]
       e      3                        2e     6


                       第Ⅱ卷(非选择题,满分              90 分)

注意事项:

    1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。

    2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。


    本卷包括必考题和选考题两部分。第                13 题至第  21 题为必考题,每个试题考生都作答;
第  22、23 题为选考题,考生根据要求作答。


二、填空题:本大题共          4 个小题,每小题       5 分,共  20 分。

                       2x  3y  3  0
                       
13.设  x , y 满足约束条件2x      3y  3  0 ,则目标函数z    2x  y 的最小值是   ▲   .
                       
                       y  3  0

               1
14.二项式    (2x   )6 的展开式中常数项为   ▲   . (用数字表达)
               x

15.已知点    A,B  的坐标分别为(-1,0),(1,0)。直线          AM,BM  相交于点    M,且它们的斜率
    之和是   2,则点    M 的轨迹方程为   ▲   .

                 3
16.设函数     f x  x2  2ax(a  0) 与 g x a2lnx  b 有公共点,且在公共点处的切线
                 2
    方程相同,则实数        b 的最大值为   ▲   .

三、解答题:本大题共          70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分       12 分)
                                                
                                                          n
    已知数列an的前      n 项和为   Sn ,向量  a  (S n ,2) , b  (1,1 2 ) 满足条件 a ⊥ b


    (1)求数列an的通项公式;
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                n
    (2)设   cn    ,求数列cn    的前  n 项和Tn  .
               an

                                      ▲


18.(本小题满分       12 分)

                                 
     已知函数     f (x)  4sin x cos x   ,在 ABC 中,角 A ,  B ,  C 的对边分别为     a ,
                                6 
b , c

                 
    (1)当   x  0,   时,求函数      f x的取值范围;
                2 

    (2)若对任意的       x  R 都有  f x f A, c  2b  4 ,点 D 是边  BC 的中点,求
 uuur
 AD  的值.

                                      ▲


19.(本小题满分       12 分)

     1993 年,国际数学教育委员会(ICMI)专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会,
会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,
从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取                50 名同学(男    30 女 20),给所有同学几何和代数各
一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表:(单位:人)

                             几何题            代数题            总计

              男同学              22              8            30

              女同学              8              12            20

               总计              30             20            50

    (1)能否据此判断有         97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

    (2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在                           5~7 分钟,女生乙每
次解答一道几何题所用的时间在              6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答
完的概率;

    (3)现从选择几何题的          8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记
甲、乙两女生中被抽到的人数为              X ,求  X  的分布列及数学期望        E X .

    附表及公式

         P(k 2  k) 0.15    0.10    0.05   0.025  0.010  0.005 0.001
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            k       2.072   2.706   3.841  5.024  6.635  7.879 10.828

                 nad  bc2
     k 2 
          a  bc  d a  cb  d 

                                      ▲


20.(本小题满分       12 分)

           x2  y2                        1
    设椭圆          1(a  b  0) 的离心率  e   ,左焦点为     F ,右顶点为     A ,过点
          a2   b2                        2
                                                           3
 F 的直线交椭圆于       E, H 两点,若直线     EH  垂直于   x 轴时,有    EH  
                                                           2

    (1)求椭圆的方程;

    (2)设直线     l : x  1 上两点  P , Q 关于  x 轴对称,直线     AP  与椭圆相交于点       B (
                                                          6
 B 异于点   A ),直线    BQ 与 x 轴相交于点     D .若△APD    的面积为       ,求直线     AP 的方程.
                                                         2

                                      ▲


21.(本小题满分       12 分)

                             p
     已知函数     f (x)  e x  px   2ln x
                             x

    (1)若   p  2 ,求曲线    y  f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线;

    (2)若函数     F(x)  f (x)  e x 在其定义域内为增函数,求正实数           p 的取值范围;

                          2e
    (3)设函数     g(x)  e x   ,若在[1,e]  上至少存在一点       x ,使得   f (x )  g(x ) 成
                           x                          0         0       0
立,求实数      p 的取值范围.

                                      ▲


    请考生在第     22、23  两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。


22.(本小题满分       10 分)选修    4—4:坐标系与参数方程
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                                  3
                         x  1    t
    已知直线    l 的参数方程为              2  (t 为参数),以坐标原点为极点,           x 轴的正半
                                   1
                          y   3   t
                                 2
                                                    2
轴为极轴建立极坐标系,圆            C 的极坐标方程为         4cos(    ) .
                                                     3

    (1)求圆    C 的直角坐标方程;

                                           2
    (2)若   P(x, y) 是直线  l 与圆面    4cos(    ) 的公共点,求       3x  y 的取值范围.
                                            3

                                      ▲


23.(本小题满分       10 分)

     已知函数     f (x)  1 x  a  2a  x

    (1)若    f 1 3 ,求实数  a 的取值范围;

               2
    (2)若   a   , x  R  ,  判断 f (x) 与1的大小关系并证明.
               3


                                      ▲


               遂宁市高中               2018    届一诊考试

            数学(理科)试题参考答案及评分意见

一、选择题(12×5=60       分)

   题号     1     2     3    4     5    6     7     8    9    10    11    12

   答案     C     B     C    B     A    D     B     C    A     A    D     D

二、填空题(45=20       分)

                                                                   1
    13.-15        14.-160        15. x 2  xy 1  0(x  1)     16.
                                                                  2e2

三、解答题:本大题共          6 小题,共    70 分.
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17.(本小题满分       12 分)

                             n1
【解析】(1)∵       a ⊥ b ,∴ Sn  2   2 ,                            …………2  分

                                       n
            当 n  2 时, an  Sn  Sn1  2 ,

           当      时,            满足上式,∴           n             …………6    分
             n  1    a1  S1  2           an  2              
                n
      (2)  c  
            n  2n

                1   2       n 1  n          1
           T        L           两边同乘      ,
            n  21   22      2n1  2n         2

             1      1   2       n 1   n
           得   T        L            ,两式相减得:        …………8          分
             2  n  22   23       2n   2n1
           1     1   1      1    n      n  2
             T       L          1      ,
           2  n  2   22    2n   2n1     2n1

                   n  2
          T   2      n N  .                              …………12    分
             n      2n        

18.(本小题满分       12 分)

【解析】(1)       f x 2sin2 x  2 3sinxcosx                3sin2x  cos2x 1 
          
 2sin  2x   1,
         6 

                                                                  …………2    分

                                    5                1  
            当 x  0,   时,    2x       ,    ,  sin  2x      ,1 ,
                   2         6    6  6           6    2 

            所以  f x0,3;                                    …………6     分

     (2)由对任意的       x  R 都有  f x f A得:

                                     
          2A        2k ,k  Z  A    k   k  Z .
               6   2                   3

           又 Q A(0, )

                
            A                                                 …………8   分
                3

             uuur  1 uuur uuur   uuur 2 1 uuur 2 uuur uuur uuur 2
           Q AD     AB   AC   AD      AB    2AB AC  AC      
                   2                  4                     
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           1                     1
             c2  b2  2cbcosA c2  b2  cb 7 ,            …………10  分
           4                     4
               uuur
          所以   AD    7 .                                        …………12  分


19.(本小题满分       12 分)

【解析】(1)由表中数据得            K 2 的观测值

                 50(2212  88)2    50
            K 2                         5.556  5.024
                   30 2030  20     9

            所以根据统计有       97.5%和空间能力与性别有关.           …………3             分

       (2)设甲,乙解答一道几何题的事件分别为                  x, y 分钟,则基本事件满足的区域为


            5  x  7
                    ,如图所示   
            6  y  8

           设事件   A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为                   x  y

                                  1
                                    11
                                           1                          1
           由几何概型,得        PA  2         ,即乙比甲先解答完的概率为
                                   2 2    8                          8

                                                                  …………7    分

                                                                     2
      (3)由题可知在选择做几何题的              8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有               C8  28 种,
                                             2
          其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有                C6 15 种;恰有一人被抽到有
            1  1                      2
          C2 C6 12 ;两人都被抽到有       C2 1种.

                                         15             12   3
         X 可能取值为      0,1,2, PX   0   ,  PX  1       ,
                                         28             28   7
            1
 PX   2
            28

         X 的分布列为

          X                  0                 1                  2
          P                 15                 3                  1
                            28                 7                 28
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                   15    3      1  1
       所以 E x 0   1   2     .                     …………12 分
                   28    7     28  2


20 本小题满分   12 分)

                                  1                      3   2b2  3
【解析】(1)设     F(c,0)(c  0) ,因为 e  所以有  a  2c ,又由 EH    得       ,
                                  2                      2    a   2

                                  3                      4y 2
          且 a2  b2  c2 ,得 a 1,b2  ,因此椭圆的方程为:     x2     1…4 分
                                  4                       3

    (2)设直线    AP 的方程为   x  my 1(m  0) ,与直线 l 的方程 x  1 联立,可得点
              2           2                  4y2
        P(1,  ) ,故 Q(1, ) .将 x  my 1与 x2   1 联立,消去   x ,整理得
              m          m                    3
        (3m2  4)y2  6my  0 ,                                   …………6 分

                         6m
        解得  y  0 ,或 y       .
                       3m2  4

        由点  B 异于点  A ,

               3m2  4  6m           2
       可得点   B(        ,      ) .由 Q(1, ) ,可得直线  BQ 的方程为
                3m2  4 3m2  4        m

          6m    2        3m2  4       2
        (        )(x 1)  (     1)(y  )  0 ,令 y  0 ,
        3m2  4  m         3m2  4      m

              2  3m2      2  3m2
       解得  x        ,故  D(       ,0) .                        …………9 分
              3m2  2      3m2  2

                    2  3m2  6m2
       所以|  AD |1              .
                   3m2  2  3m2  2

                            6    1    6m2    2     6
       又因为△APD     的面积为       ,故                 ,
                           2     2  3m2  2 | m | 2

                                          6             6
       整理得   3m2  2 6 | m | 2  0 ,解得| m | ,所以 m    .
                                         3             3

       所以,直线     AP 的方程为   3x  6y  3  0 ,或 3x  6y  3  0 .………12 分


21.(本小题满分     12 分)
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                            p
【解析】已知函数      f (x)  e x  px   2ln x .
                            x

                                  2
     (1)当  p  2 时, f (x)  e x  2x   2ln x , f (1)  e ,
                                  x

                      2  2
         f (x)  ex  2   , f (1)  e  2 ,
                     x2  x

        则切线为:    y  e  (e  2)(x 1) ,即 (e  2)x  y  2  0 .   …………3 分

                              p                  p   2  px2  2x  p
                      x                  
         F(x)  f (x)  e  px   2ln x F (x)  p  2     2
     (2)                      x      ,           x   x      x

         由 F(x) 定义域  (0,) 内为增函数,所以     F(x)  0 在 (0,) 上恒成立,

                                  2x
         所以  px 2  2x  p  0 即 p  ,对任意    x  0 恒成立,
                                x 2 1

                  2x              2x2  2  4x2 2  2x2
         设 h(x)     (x  0),h(x)          
                 x2 1              (x2 1)2  (x2 1)2

         易知,   h(x) 在 0,1上单调递增,在   1,上单调递减,


         则 h(x) max  h(1)  1,所以 p  h(1)  1,即 p [1,) .  …………7 分

                                    p  2e
     (3)设函数(x)     f (x)  g(x)  px   2ln x , x [1,e] ,
                                      x

         则原问题     在[1,e] 上至少存在一点    x0 ,


         使得(x0  )  0  (x)max  0(x [1,e]) .

                   p  2e 2  px2  2x  ( p  2e)
         (x)  p                        ,          …………8  分
                    x2    x         x2

                            2x  2e
         10 当 p  0 时,(x)        0 ,则(x) 在 x [1,e] 上单调递增,
                              x2

         (x)max  (e)  4  0 ,舍;

                                 1  2e
         20 当 p  0 时,(x)  p(x  )   2ln x ,
                                 x   x

                         1     2e
         ∵ x [1,e] ,∴ x   0 ,   0 , ln x  0 ,则(x)  0 ,舍;
                         x      x

                            p(x2 1)  2(e  x)
         30 当 p  0 时,(x)                0 ,
                                   x2
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                                                           p
           则(x)  在 x [1,e] 上单调递增,(x)        (e)  pe    4  0 ,
                                            max            e

                      4e
           整理得   p       ,                                 …………11    分
                     e2 1

                       4e
           综上,   p (     ,) .                            …………12    分
                     e2 1


    请考生在第     22、23、二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分       10 分)

                                             2
【解析】(1)∵圆        C 的极坐标方程为         4cos(    ) ,
                                              3

                             2         3       1
            ∴  2  4 cos(   )  4(   sin   cos ) ,
                              3         2       2

            又∵   2  x2  y 2 , x   cos , y   sin ,        …………5 分

            ∴ x2  y 2  2 3y  2x ,

            ∴圆  C 的普通方程为      x2  y 2  2x  2 3y  0 ;

       (2)设   z   3x  y ,

            故圆  C 的方程   x2  y 2  2x  2 3y  0  (x 1)2  (y  3)2  4 ,

            ∴圆  C 的圆心是    (1, 3) ,半径是    2 ,

                       3
              x  1    t
            将          2  代入  z   3x  y 得 z  t ,
                        1
               y   3  t
                      2

           又∵直线    l 过 C(1, 3) ,圆 C 的半径是    2 ,

           ∴  2  t  2 ,∴  2  t  2 ,即 3x  y 的取值范围是[2,2].……10      分


23.(本小题满分       10 分)

【解析】(1)因为        f 1 3 ,所以  a  1 2a  3.  

                                                     2        2
            ① 当  a  0 时,得  a  1 2a 3 ,解得 a   ,所以       a  0 ; 
                                                     3        3
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                1                                             1
     ② 当  0  a  时,得   a  1 2a 3 ,解得 a  2 ,所以  0  a  ;
                 2                                            2

             1                             4       1      4
     ③ 当  a   时,得   a  1 2a 3 ,解得 a   ,所以      a  ;  
             2                             3       2      3

                                 2 4 
    综上所述,实数       a 的取值范围是       ,   .                   …………5   分
                                 3 3 

                        2
(2)   f (x)  1 ,因为 a   , x  R ,
                        3

  所以   f (x)  1 x  a  2a  x  (1 x  a)  (2a  x)  1 3a  3a 1  1

                                                          …………10    分
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