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2018年高中数学课时跟踪检测十等比数列的概念及通项公式新人教A版必修5

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高中数学审核员

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          课时跟踪检测(十)  等比数列的概念及通项公式
                               层级一 学业水平达标
    1.2+   3和 2-  3的等比中项是(  )
    A.1                                B.-1
    C.±1                                D.2
    解析:选    C 设   2+  3和 2-  3的等比中项为      G,
    则 G2=(2+   3)(2-  3)=1,
    ∴G=±1.

    2.在首项    a1=1,公比    q=2  的等比数列{an}中,当       an=64 时,项数    n 等于(  )
    A.4                                 B.5
    C.6                                 D.7

                          n-1          n-1        n-1   6
    解析:选    D 因为    an=a1q  ,所以    1×2   =64,即   2   =2  ,得  n-1=6,解得     n=
7.

    3.设等差数列{an}的公差         d 不为 0,a1=9d,若    ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则     k 等于(  )
    A.2                                 B.4
    C.6                                 D.8

    解析:选    B ∵an=(n+8)d,又∵ak2=a1·a2k,
    ∴[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
    解得  k=-2(舍去)或      k=4.

    4.等比数列{an}的公比为         q,且|q|≠1,a1=-1,若       am=a1·a2·a3·a4·a5,则
m 等于(  )
    A.9                                 B.10
    C.11                                D.12

                                              2    3    4      10     10
    解析:选    C ∵a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q      ·a1q  ·a1q =a15·q  =-q   ,am=

   m-1    m-1
a1q  =-q     ,
    ∴-q10=-qm-1,∴10=m-1,∴m=11.

    5.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则            an 等于(  )
    A.(-2)n-1                           B.-(-2n-1)
    C.(-2)n                             D.-(-2)n

                               4
    解析:选    A 设公比为     q,则   a1q =-8a1q,

                        3
    又 a1≠0,q≠0,所以      q =-8,q=-2,

    又 a5>a2,所以    a2<0,a5>0,

                                   n-1
    从而  a1>0,即   a1=1,故   an=(-2)    .
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    6.等比数列{an}中,a1=-2,a3=-8,则            an=________.
            a3           -8
    解析:∵a1=q2,∴q2=-2=4,即           q=±2.

                       n-1           n-1       n
    当 q=-2   时,an=a1q    =-2×(-2)       =(-2)  ;

                     n-1       n-1     n
    当 q=2  时,an=a1q    =-2×2      =-2  .
    答案:(-2)n    或-2n
                                            1                  a8+a9

    7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且               a1,2a3,2a2 成等差数列,则a6+a7=
________.
                    1
                                                       2
    解析:由题设      a1,2a3,2a2 成等差数列可得      a1+2a2=a3,即   q -2q-1=0,所以      q=
       a8+a9  a81+q
 2+1,a6+a7=a61+q=q2=3+2        2.
    答案:3+2     2
    8.已知三个数成等比数列,其积为               512,如果第一个数与第三个数各减去              2,则此时
的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于________.
                                   a
    解析:依题意设原来的三个数依次为q,a,aq.
      a
    ∵q·a·aq=512,∴a=8.
    又∵第一个数与第三个数各减去              2 后的三个数成等差数列,
       a
        -2
    ∴(q   )+(aq-2)=2a,
                                1
    ∴2q2-5q+2=0,∴q=2       或 q=2,
    ∴原来的三个数为        4,8,16 或 16,8,4.
    ∵4+8+16=16+8+4=28,
    ∴原来的三个数的和等于           28.
    答案:28
    9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为                  48,后三个成等比数列,积为            8 000,求
这四个数.
    解:设前三个数分别为          a-d,a,a+d,则有
    (a-d)+a+(a+d)=48,即       a=16.
                    b
    设后三个数分别为q,b,bq,则有
    b
    q·b·bq=b3=8 000,即      b=20,
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    ∴这四个数分别为        m,16,20,n,
                          202
    ∴m=2×16-20=12,n=       16 =25.
    即所求的四个数分别为          12,16,20,25.

    10.已知递增的等比数列{an}满足           a2+a3+a4=28,且    a3+2 是  a2 和 a4 的等差中项,

求  an.

    解:设等比数列{an}的公比为          q.依题意,知      2(a3+2)=a2+a4,

    ∴a2+a3+a4=3a3+4=28,

    ∴a3=8,a2+a4=20,
      8                        1
    ∴q+8q=20,解得      q=2 或  q=2(舍去).
          a3
                       n
    又 a1=q2=2,∴an=2     .

                               层级二 应试能力达标
                                               2a1+a2

    1.设  a1,a2,a3,a4  成等比数列,其公比为          2,则2a3+a4的值为(  )
      1                                  1
    A.4                                B.2
      1
    C.8                                 D.1
                       2a1+a2     1   1
    解析:选    A 原式=q22a1+a2=q2=4.
                                1

    2.在等比数列{an}中,已知          a1=3,a5=3,则    a3=(  )
    A.1                                 B.3
    C.±1                                D.±3
                                                              1
                          4          4        2            2
    解析:选    A 由   a5=a1·q =3,所以     q =9,得   q =3,a3=a1·q   =3×3=1.

    3.设  a1=2,数列{1+2an}是公比为        3 的等比数列,则       a6 等于(  )
    A.607.5                             B.608
    C.607                               D.159

                                   n-1
    解析:选    C ∵1+2an=(1+2a1)×3        ,
                         5 × 243-1
                 5
    ∴1+2a6=5×3    ,∴a6=      2    =607.
    4.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行
数成等比数列,而且每一行的公比都相等,
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                                        1
                                        4
                                        1  1
                                        2,4
                                        3  3  3
                                        4,8,16
                                        …

                                  *
    记第  i 行第  j 列的数为    aij(i,j∈N  ),则  a53 的值为(  )
      1                                 1
    A.16                               B.8
      5                                 5
    C.16                               D.4
                               1       1                     1         1  5

    解析:选    C 第一列构成首项为4,公差为4的等差数列,所以                    a51=4+(5-1)×4=4.
又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第                                5 行构成首项
  5        1                    5  1    5
                                   ( )2
为4,公比为2的等比数列,所以             a53=4× 2  =16.

    5.若数列{an}的前      n 项和为   Sn,且  an=2Sn-3,则{an}的通项公式是________.

    解析:由    an=2Sn-3  得 an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得        an-an-1=2an(n≥2),
                        an

    ∴an=-an-1(n≥2),an-1=-1(n≥2).

    故{an}是公比为-1      的等比数列,

                                               n-1
    令 n=1  得 a1=2a1-3,∴a1=3,故      an=3·(-1)     .

                     n-1
    答案:an=3·(-1)

    6.在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,若将            a1,a4,a5  都加上同一个数,所得的三个
数依次成等比数列,则所加的这个数为________.

    解析:设等差数列{an}的公差为           d,所求的数为       m,则Error!∴d=2,∴a4=8,a5=

                                            2                        2
10,∵a1+m,a4+m,a5+m      成等比数列,∴(a4+m)        =(a1+m)(a5+m),即(8+m)     =(2+
m)(10+m),解得    m=-11.
    答案:-11

    7.已知数列{an}的前       n 项和  Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.

    证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1.

    ∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.
            1

    ∴an+1=2an.

    又∵S1=2-a1,

    ∴a1=1≠0.
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              1

    又由  an+1=2an 知 an≠0,
      an+1  1
    ∴  an  =2.

    ∴数列{an}是等比数列.


    8.已知数列{an}是各项为正数的等比数列,且                 a2=9,a4=81.

    (1)求数列{an}的通项公式        an;

    (2)若 bn=log3an,求证:数列{bn}是等差数列.

    解:(1)求数列{an}的公比为         q,
                         a4  81
                      2
    ∵a2=9,a4=81.则    q =a2=  9 =9,

    又∵an>0,∴q>0,∴q=3,

                    n-2      n-2  n      *
    故通项公式     an=a2q   =9×3    =3  ,n∈N  .

                          n                  n
    (2)证明:由(1) 知     an=3 ,∴bn=log3an=log33   =n,

                                      *
    ∴bn+1-bn=(n+1)-n=1(常数),n∈N         ,故数列{bn}是一个公差等于          1 的等差数
列.
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