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2016年高考数学理真题分类汇编:数列 Word版含解析[

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高中数学审核员

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                  2016   年高考数学理试题分类汇编
                                     数列
一、选择题

1、(2016   年上海高考)已知无穷等比数列an             的公比为    q ,前  n 项和为  Sn ,且  lim Sn  S .
                                                                     n

                             
下列条件中,使得        2Sn  Sn N 恒成立的是(          )


(A)   a1  0,0.6  q  0.7      (B) a1  0,0.7  q  0.6


(C)   a1  0,0.7  q  0.8      (D) a1  0,0.8  q  0.7

【答案】B
                                     {a }                           a  =
2、(2016   年全国    I 高考)已知等差数列           n 前  9 项的和为    27, a10 =8 ,则  100

        (A)100             (B)99              (C)98           (D)97

【答案】C

3、(2016   年全国   III 高考)定义“规范      01 数列”{an}如下:{an}共有      2m 项,其中    m 项为  0,

    m 项为  1,且对任意     k  2m , a1,a2 ,,ak 中 0 的个数不少于    1 的个数.若    m=4,则不同
    的“规范    01 数列”共有
    (A)18  个        (B)16  个       (C)14   个       (D)12  个
【答案】C

4、(2016   年浙江高考)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且

                                *
 An An1  An1 An2 , An  An2 ,n N ,

                                *
 Bn Bn1  Bn1Bn2 , Bn  Bn2 ,n N ,( P  Q表示点P与不Q重合      ).


若  dn  An Bn ,S为n △的A面n B积n B,n1则


                          2
A.{Sn  } 是等差数列       B.{Sn }是等差数列   

                          2
C.{dn } 是等差数列       D.{dn  }是等差数列
【答案】A
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二、填空题

1、(2016   年北京高考)已知{an}为等差数列,             Sn 为其前   n 项和,若   a1  6 , a3  a5  0 ,


则  S6 = _______..

【答案】6


2、(2016   年上海高考)无穷数列an         由 k 个不同的数组成,        Sn 为an 的前 n 项和.若对任

        
意  n N  , Sn 2,3,则  k 的最大值为________.

【答案】4


3、(2016   年全国   I 高考)设等比数列{an}满足         a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2×××an 的最大值为              .
【答案】    64
                                                                   *
4、(2016   年浙江高考)设数列{an}的前         n 项和为   Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N ,则   a1=     

,S5=     .
【答案】1      121
 

三、解答题

1、(2016   年北京高考)      设数列    A: a1  , a2  ,… aN  ( N  ).如果对小于 n ( 2  n  N )的每个


正整数   k 都有  ak    < an    ,则称   n 是数列   A 的一个“G    时刻”.记“   G(A) 是数列    A 的所有

“G  时刻”组成的集合.

(1)对数列     A:-2,2,-1,1,3,写出        G(A) 的所有元素;


(2)证明:若数列        A 中存在   an 使得  an > a1 ,则 G(A)    ;


(3)证明:若数列        A 满足  an - an1  ≤1(n=2,3, …,N),则 G(A) 的元素个数不小于    aN  - a1 .
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如果  G    ,取  m   min G ,则对任何1      k  m ,a  a  a  .
      i          i       i                  i k    ni  mi


从而  mi G(A)  且 mi  ni1 .


又因为   np 是 G(A) 中的最大元素,所以         Gp   .


 、(       年山东高考)已知数列                     的前    项和       2  ,     是等差数列,且
2    2016                    an            n     Sn=3n +8n  bn 


 an  bn  bn1.  
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    (Ⅰ)求数列          的通项公式;
                bn 

                (a  1)n1
    (Ⅱ)令          n        求数列       的前    项和
            cn        n .       cn    n     Tn.
                 (bn  2)

                                        2
【解析】(Ⅰ)因为数列an的前           n 项和  Sn  3n  8n ,


  所以  a1 11 ,当  n  2 时,

                   2            2
   an  Sn  Sn1  3n  8n  3(n 1)  8(n 1)  6n  5 ,


  又 an  6n  5 对 n 1也成立,所以     an  6n  5 .


  又因为bn是等差数列,设公差为             d ,则  an  bn  bn1  2bn  d .


  当 n 1时,   2b1 11 d ;当  n  2 时, 2b2 17  d ,

                                         a  d
  解得  d  3 ,所以数列b     的通项公式为      b   n     3n 1.
                       n              n    2

           (a 1)n1  (6n  6)n1
(Ⅱ)由         n                             n1 ,
      cn         n          n  (3n  3)  2
           (bn  2)    (3n  3)

                2     3      4               n1
    于是Tn    6 2  9 2 12 2  (3n  3)  2 ,
两边同乘以2,得

                 3     4            n1          n2
        2Tn  6 2  9 2  (3n)  2  (3n  3)  2 ,
两式相减,得

              2     3     4         n1          n2
    Tn  6 2  3 2  3 2  3 2  (3n  3)  2

                3 22 (1 2n )
         3 22            (3n  3)  2n2
                    1 2

                     2     n           n2       n2
        Tn  12  3 2 (1 2 )  (3n  3)  2  3n  2 .


                                                            *
3、(2016   年上海高考)若无穷数列{an}满足:只要               a p  aq ( p,q  N ) ,必有 a p1  aq1 ,


则称{an}具有性质      P .


(1)若{an}具有性质       P ,且  a1  1,a2  2,a4  3,a5  2 , a6  a7  a8  21,求 a3 ;


(2)若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,                            b1  c5  1,
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 b5  c1  81, an  bn  cn 判断{an}是否具有性质   P ,并说明理由;

                                               *
(3)设{bn}是无穷数列,已知           an1  bn  sin an (n  N ) .求证:“对任意 a1,{an}都具有性


质  P ”的充要条件为“{bn}是常数列”.

【解析】


试题分析:(1)根据已知条件,得到                a6  a7  a8  a3  3 2 ,结合 a6  a7  a8  21求

解.
                                      1
(2)根据b     的公差为    20 ,c  的公比为      ,写出通项公式,从而可得
           n                n         3

                       5n
 an  bn  cn  20n 19  3 .
                                   304
通过计算    a   a  82 , a  48 , a     ,  a  a ,即知a    不具有性质      .
         1   5        2        6    3     2   6        n
(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明. 


试题解析:(1)因为         a5  a2 ,所以  a6  a3 , a7  a4  3 , a8  a5  2 .


于是  a6  a7  a8  a3  3 2 ,又因为 a6  a7  a8  21,解得 a3 16 .
                                   1
(2)b   的公差为     20 ,c 的公比为      ,
       n                n          3

                                          n1
                                       1 
所以                           ,                 5n .
    bn 1 20n 1 20n 19   cn  81     3
                                       3 

                       5n
 an  bn  cn  20n 19  3 .
                             304
 a  a  82 ,但 a   48 , a      , a  a ,
  1   5          2        6   3     2   6

所以an不具有性质         .

(3)[证]充分性:


当bn为常数列时,        an1  b1  sin an .


对任意给定的      a1 ,只要  ap  aq ,则由  b1  sin ap  b1  sin aq ,必有 ap1  aq1 .

充分性得证.

必要性:

                                             
用反证法证明.假设bn不是常数列,则存在                  k   ,
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使得  b1  b2    bk  b ,而 bk 1  b .


下面证明存在满足        an1  bn  sin an 的an,使得 a1  a2    ak 1 ,但 ak 2  ak 1 .

设  f x x  sin x  b ,取 m  ,使得 m  b ,则

 f m  m  b  0 , f m  m  b  0 ,故存在 c 使得  f c 0 .


取  a1  c ,因为 an1  b  sin an (1 n  k ),所以 a2  b  sin c  c  a1 ,


依此类推,得      a1  a2    ak 1  c .


但  ak 2  bk 1  sin ak 1  bk 1  sin c  b  sin c ,即 ak 2  ak 1 .


所以an不具有性质         ,矛盾.

必要性得证.


综上,“对任意       a1 ,an都具有性质      ”的充要条件为“bn是常数列”.


4、(2016   年四川高考)已知数列{         an    }的首项为    1, Sn    为数列{   an    }的前  n 项和,

                              *
 Sn1  qSn 1 ,其中  q>0, n N   .


(I)若   2a2 ,a3 ,a2  2  成等差数列,求   an 的通项公式;

               y2                         5                         4n  3n
  设双曲线      2        的离心率为        ,且         ,证明:
(ii)       x   2 1           en     e2            e1  e2   en  n1
               an                         3                           3    .

                  n- 1
【答案】(Ⅰ)       an =q ;(Ⅱ)详见解析.


解析:(Ⅰ)由已知,          Sn+ 1 = qSn + 1, Sn+ 2 = qSn+ 1 + 1,  两式相减得到 an+ 2 = qan+ 1,n ³ 1.


又由   S2 = qS1 + 1得到 a2 = qa1 ,故 an+ 1 = qan 对所有 n ³ 1都成立.


所以,数列{an}     是首项为    1,公比为    q 的等比数列.

        n- 1
从而  an =q  .

                                               2
由  2a2,a,3 a2 +2 成等比数列,可得     2a3 =3a2 + 2 ,即 2q =3q + 2, ,则 (2q +1)(q - 2) = 0 ,

由已知,   q > 0 ,故 q=2 .
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          n- 1   *
所以  an = 2  (n Î N ) .

                         n- 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,          an = q .

               y2
所以双曲线      2        的离心率               2       2(n- 1)
          x -   2 = 1        en = 1+ an =  1+ q      .
              an

              5        4
由  q = 1+ q2 =  解得  q =  .
              3        3

因为1+q2(k- 1) > q2(k- 1) ,所以 1+q2(k- 1) > qk-(1 k)Î N* .

                                 qn - 1
于是  e + e + ×××+ e > 1+q + ×××+ qn- 1 = ,
     1   2      n                 q - 1

                 4n - 3n
故  e + e + ×××+ e >    .
   1   2      3    3n- 1


5、(2016   年天津高考)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为                       d ,对任意的


      n  N,bn 是 an 和 an1 的等比中项.

                 2    2      *
      (Ⅰ)设 cn  bn1  bn ,n N ,求证:cn是等差数列;

                       2n                        n
                             n                     1    1
       Ⅱ 设                      2      * ,求证:             .
      (  )  a1  d,Tn  1 bn ,n N                  2
                       k 1                     k 1 Tk 2d

                 2   2
【解析】⑴     Cn  bn1  bn  an1an2  anan1  2d  an1

                                 2
        Cn1  Cn  2d(an2  an1 )  2d 为定值.

        ∴Cn 为等差数列
              2n                               n(n 1)
        ⑵           k 2                                 2         2      (  )
          Tn  (1) bk  C1  C3    C2n1  nC1   4d  nC1  2d n(n 1) *
              k 1                               2
                   2   2                               2
        由已知   C1  b2  b1  a2a3  a1a2  2d  a2  2d(a1  d)  4d
                2                   2
        将 C1  4d 代入(*)式得Tn       2d n(n 1)

           n 1    1  n   1
        ∴      
                  2 
           k 1 Tk 2d k 1 k(k 1)
           1
             ,得证
          2d 2

6、(2016   年全国   II 高考)  Sn 为等差数列an的前      n 项和,且    a1 =1,S7  28.记 bn =lg an ,

其中x表示不超过        x 的最大整数,如0.9=0,lg99=1      .


    (Ⅰ)求    b1,b,11 b101 ;
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    (Ⅱ)求数列bn的前        1 000 项和.

        ⑴设 
【解析】          an 的公差为    d , S7  7a4  28 ,


                        a4  a1
        ∴  a4  4 ,∴ d      1,∴    an  a1  (n 1)d  n .
                          3


        ∴  b1  lg a1  lg1 0 , b11  lg a11  lg111 , b101  lg a101  lg101  2 .


        ⑵ 记bn   的前   n 项和为Tn    ,则T1000  b1  b2    b1000


         lg a1  lg a2    lg a1000 .

            ≤
        当  0  lg an 1时, n 1,,,2  9 ;

           ≤
        当1    lg an  2 时, n 10,,,11  99 ;

            ≤
        当  2  lg an  3 时, n 100,,,101  999 ;


        当  lg an  3 时, n 1000 .


        ∴T1000  0 9 1 90  2 900  31 1893.


7、(2016   年全国   III 高考)已知数列{an}的前       n 项和  Sn 1 an ,其中     0 .

    (I)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
                 31
    (II)若   S      ,求   .
             5   32
【解析】
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8、(2016   年浙江高考)
                   a
设数列a    满足   a   n1 1, n   .
        n       n   2

(  )证明:          n1       ,       ;
  I        an  2  a1  2  n  

                n
             3 
(  )若            ,       ,证明:          ,       .
  II    an      n            an  2  n 
             2 
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(II)任取  n  ,由(I)知,对于任意    m  n ,


 an  am   an  an1   an1 an2   am1 am 
  n  m   n  n1    n1  n2     m1  m 
 2   2    2   2    2    2        2   2  
   1   1       1
        
  2n  2n1    2m1
   1
    ,
  2n1
故

      1   am  n
 an   n1  m 2
      2   2 

              m
   1   1   3   n
   n1  m    2
  2   2   2  

        m
      3  n
  2    2 .
      4 
从而对于任意    m  n ,均有


                                                            
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