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2018版高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修4_4

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                             四 渐开线与摆线

一、基础达标

                            x=cos θ+θsin θ,
1.已知圆的渐开线的参数方程是{             y=sin θ-θcos θ )(θ 为参数),则此渐开线对应的基圆
  的周长是(  )

  A.π                                     B.2π  

  C.3π                                    D.4π

  解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为                                   1,

  所以基圆的周长为        2π,故选    B.

  答案 B

                        x=3cos θ,
2.已知一个圆的参数方程为{           y=3sin θ )(θ 为参数),那么圆的摆线方程中与参数               φ=
  π               3π
                    ,2
  2对应的点    A 与点  B( 2 )之间的距离为(  )
    π
  A.2-1                                   B. 2  

                                             3π
                                               -1
  C. 10                                   D.  2

  解析 根据圆的参数方程可知,圆的半径为                   3,那么它的摆线的参数方程为
                                                           π
                                                       x=3  -1 ,
   x=3(φ-sin φ),                   π                       (2  )
  { y=3(1-cos φ) )(φ 为参数),把     φ=2代入参数方程中可得{            y=3,    )

      3π                 3π    3π
        -3,3               -3-    2+(3-2)2
  即  A( 2    ),∴|AB|=   ( 2     2 )        =  10.

  答案 C

       x=2(t-sin t),
3.摆线{  y=2(1-cos t) )(t 为参数,0≤t<2π)与直线        y=2 的交点的直角坐标是(  )
  A.(π-2,2),(3π+2,2)                      B.(π-3,2),(3π+3,2)

  C.(π,2),(-π,2)                          D.(2π-2,2),(2π+2,2)
                                                        π      3π

  解析 由    2=2(1-cos   t)得  cos t=0.∵t∈[0,2π),∴t1=2,t2=         2 .代入参数方程
  得到对应的交点的坐标为(π-2,2),(3π+2,2).

  答案 A

                            x=cos θ+θsin θ,
4.已知圆的渐开线的参数方程是{             y=sin θ-θcos θ )(θ 为参数),则此渐开线对应的基圆
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                             π
  的直径是________,当参数       θ=4时对应的曲线上的点的坐标为________.
  解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为                                  1,故
                π                          2   2π      2   2π
  直径为   2.把 θ=4代入曲线的参数方程,得             x=  2 + 8 ,y=  2 -  8 ,由此可得对应的
         2   2π  2   2π
          +    ,  -
  坐标为(   2   8   2   8 ).
            2   2π  2   2π
             +    ,  -
  答案 2 (    2   8  2    8 )
                                                              π
5.已知圆的方程为       x2+y2=4,点    P 为其渐开线上一点,对应的参数             φ=2,则点     P 的坐
  标为________.

                                                  x=2(cos φ+φsin φ)
  解析 由题意,圆的半径           r=2,其渐开线的参数方程为{y=2(sin φ-φcos φ))(φ           为参数).
        π
  当 φ=2时,x=π,y=2,故点           P 的坐标为    P(π,2).
  答案 (π,2)

6.给出直径为     6 的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.

  解 以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为                    x 轴,建立直角坐标系.又圆的直径为

                                            x=3cos φ+3φsin φ,
  6,所以半径为      3,所以圆的渐开线的参数方程是{              y=3sin φ-3φcos φ )
  (φ 为参数).

  以圆周上的某一定点为原点,以定直线为                 x 轴,建立直角坐标系,所以摆线的参数方程

     x=3φ-3sin φ,
  为{  y=3-3cos φ )(φ 为参数).
7.已知圆的直径为       2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点                    A、B 对应的参数分别
   π  π
  是3和2,求    A、B 两点的距离.
  解 根据条件可知圆的半径是            1,所以对应的渐开线参数方程是

   x=cos φ+φsin φ,
  { y=sin φ-φcos φ )(φ 为参数),
            π      π
  分别把   φ=3和   φ=2代入,可得       A、B  两点的坐标分别为
   3+  3π 3 3-π     π
         ,           ,1
  A(  6      6  ),B(2  ).
  那么,根据两点之间的距离公式可得               A、B  两点的距离为

         3+  3π  π    3 3-π
               -  2+       -1  2
  |AB|=  (  6    2)  (  6     )
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    1
  =6  (13-6 3)π2-6π-36  3+72.
  即 A、B  两点之间的距离为
  1
  6 (13-6 3)π2-6π-36  3+72.
二、能力提升

8.如图,ABCD   是边长为     1 的正方形,曲线      AEFGH…叫做“正方形的渐

  开线”,其中A︵E、E︵F、F︵G、G︵H…的圆心依次按             B、C、D、A   循环,

  它们依次相连接,则曲线          AEFGH 的长是(  )

  A.3π                                    B.4π

  C.5π                                    D.6π
                                           1              π
  解析 根据渐开线的定义可知,A︵E是半径为                 1 的4圆周长,长度为2,继续旋转可得E︵F是
            1                                1             3π
  半径为   2 的4圆周长,长度为        π;F︵G是半径为     3 的4圆周长,长度为        2 ;G︵H是半径为
      1
  4 的4圆周长,长度为        2π.所以曲线     AEFGH 的长是  5π.
  答案 C

                          x=2φ-2sin φ,
9.已知一个圆的平摆线方程是{            y=2-2cos φ  )(φ 为参数),求该圆的周长,并写出平摆
  线上最高点的坐标.

  解 由平摆线方程知,圆的半径为              2,

  则圆的周长为      4π.当  φ=π    时,y  有最大值    4,

  平摆线具有周期性,周期为            2π.

  ∴平摆线上最高点的坐标为(π+2kπ,4)(k∈Z).

                x=6(cos φ+φsin φ),
10.渐开线方程为{      y=6(sin φ-φcos φ) )(φ 为参数)的基圆的圆心在原点,把基圆的横坐
  标伸长为原来的       2 倍得到曲线    C,求曲线     C 的方程,及焦点坐标.

  解 由渐开线方程可知基圆的半径为               6,则圆的方程为       x2+y2=36.

  把横坐标伸长到原来的          2 倍,
             x2            x2  y2
  得到椭圆方程      4 +y2=36,即114+36=1,
  对应的焦点坐标为(6        3,0)和(-6    3,0).

11.如图,若点     Q 在半径   AP 上(或在半径     AP 的延长线上),当车轮
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                                           r       3r
  滚动时,点     Q 的轨迹称为变幅平摆线,取|AQ|=2或|AQ|=             2 ,请推出    Q 的轨迹的参数
  方程.

  解 设   Q(x,y)、P(x0,y0),若    A(rθ,r),

     x0=r(θ-sin θ),        r
  则{y0=r(1-cos θ).)当|AQ|=2时,
     x0=2x-rθ,       x0=r(θ-sin θ),
  有{ y0=2y-r,  ) 代入{y0=r(1-cos θ).)
                                 1
                          x=r θ-  sin θ ,
                             (   2   )
                                 1
                         { y=r 1- cos θ )
  ∴点  Q 的轨迹的参数方程为             (  2    ) (θ 为参数).
                    rθ+2x
                x0=      ,
                      3
        3r          r+2y        x0=r(θ-sin θ),
                 y0=     ,
               {          )       = ( -     )
  当 AQ= 2 时,有         3    代入{y0    r 1 cos θ .)
                           3
                    x=r θ-  sin θ ,
                        (  2   )
                           3
                   { y=r 1- cos θ )
  ∴点  Q 的轨迹方程为          (  2    ) (θ 为参数).
三、探究与创新

                     x=2+tcos α,
12.已知一个参数方程是{y=2+tsin α,)如果把            t 当成参数,它表示的图形是直线             l(设斜
  率存在),如果把       α 当成参数(t>0),它表示半径为            t 的圆.

  (1)请写出直线和圆的普通方程;

  (2)如果把圆平移到圆心在(0,t),求出圆对应的摆线的参数方程.

  解 (1)如果把     t 看成参数,可得直线的普通方程为:y-2=tan                  α(x-2),即    y=xtan 

  α-2tan    α+2,如果把      α 看成参数且      t>0 时,它表示半径为        t 的圆,其普通方程为

  (x-2)2+(y-2)2=t2.

  (2)由于圆的圆心在(0,t),圆的半径为              t,所以对应的摆线的参数方程为

   x=t(φ-sin φ),
  { y=t(1-cos φ) )(φ 为参数).
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