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2019版高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4_2

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                          选修    4­2 矩阵与变换
                       第 1 课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法
                   1  2      3
    1. 已知矩阵    A=[2  -1],B=[1]满足   AX=B,求矩阵      X.
              a     1  2  a   3   a+2b=3,
    解:设   X=[b],由[2   -1][b]=[1]得{2a-b=1,)
         a=1,         1
    解得{b=1,)所以     X=[1].
    2.   已知变换矩阵      A:平面上的点      P(2,-1),Q(-1,2)分别变换成点           P1(3,-4),
Q1(0,5),求变换矩阵       A.
                            a b
    解:设所求的变换矩阵          A=[c d],依题意,可得
     a b  2     3    a b  -1    0
    [c d] [-1]=[-4]及[c d] [ 2 ]=[5],
        2a-b=3,         a=2,
       2c-d=-4,         b=1,
       -a+2b=0,        c=-1,
      {-  +  =  ,)    { =  , )
    即    c 2d  5  解得    d 2
                           2 1
    所以所求的变换矩阵         A=[-1  2].
                2  -1       4  -1
    3. 已知  M=[-4    3 ],N=[-3   1 ],求二阶矩阵      X,使  MX=N.
              x y
    解:设   X=[z  w],
             2  -1  x y    4  -1
    由题意有[-4      3 ][z w]=[-3  1 ],
                                             9
                                          x=  ,
                         2x-z=4,             2
                        2y-w=-1,         y=-1,
                      -4x+3z=-3,          z=5,
                      { -  +   =  , )   {  =-   )
    根据矩阵乘法法则有            4y  3w  1  解得   w    1.
           9
            -1
           2
    ∴ X=[5  -1].
                                         1 a
    4.  曲线   x2+4xy+2y2=1  在二阶矩阵     M=[b  1]的作用下变换为曲线        x2-2y2=1,求实
数  a,b 的值.
    解:设   P(x,y)为曲线    x2-2y2=1  上任意一点,P′(x′,y′)为曲线             x2+4xy+2y2=
                       1 a x′   x     x=x′+ay′,
1    上与  P 对应的点,则[b      1][y′]=[y],即{y=bx′+y′,)代入  x2-2y2=1  得(x′+ay′)2-
2(bx′+y′)2=1,整理得(1-2b2)x′2+(2a-4b)x′y′+(a2-2)y′2=1,
                                   1-2b2=1,
                                   2a-4b=4,       a=2,
    又 x′2+4x′y′+2y′2=1,所以{         a2-2=2,  )解得{  b=0. )
    5. (2017·扬州中学期初)已知点          M(3, -1)绕原点按逆时针旋转          90°后,在矩阵      A=
 a 0
[2 b]对应的变换作用下,得到点           N(3,5),求   a,b  的值.
                0 -1   3    1
    解:由题意,[1       0 ][-1]=[3],
       a 0 1   3         a=3,
    又[2 b][3]=[5],所以{2+3b=5,)
         a=3,
    解得{  b=1. )
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                                   1 0
                    2
    6.  已知曲线    C: y =2x 在矩阵    M=[0 2]对应的变换作用下得到曲线           C1,C1 在矩阵   N=
 0 -1

[1  0 ]对应的变换作用下得到曲线           C2,求曲线    C2 的方程.
                       0 -1  1 0   0 -2
    解:设   A=NM,则    A=[1  0 ][0 2]=[1 0 ],设  P′(x′,y′)是曲线       C 上任一点,在
                                                   x    0 -2 x′   -2y′

两次变换作用下,在曲线           C2 上的对应点为     P(x,   y),则    [y]=[1 0 ][y′]=[ x′ ],  即
               x′=y,
 x=-2y′,           1
              y′=-  x.
{ y=x′,  )∴ {      2 )
    又点  P′(x′,y′)在曲线       C: y2=2x 上,
         1                            1
        - x
       (   )2                           2
    ∴    2   =2y,即曲线     C2 的方程为   y=8x .
                                        a 0
    7.    设曲线   2x2+2xy+y2=1  在矩阵    A=[b 1](a>0)对应的变换作用下得到的曲线为
x2+y2=1.求实数     a,b 的值.
    解:设曲线     2x2+2xy+y2=1   上任一点    P(x,y)在矩阵    A 对应变换作用下得到点
P′(x′,y′),则
     a 0 x    ax     x′
    [b 1][y]=[bx+y]=[y′],
          ax=x′,
    所以{bx+y=y′.)
    因为  x′2+y′2=1,所以(ax)2+(bx+y)2=1,即(a2+b2)x2+2bxy+y2=1,
         a2+b2=2,       a=1,
    所以{    2b=2.  )解得{  b=1. )
                                 5 0
    8. 求圆  C:x2+y2=1   在矩阵   A=[0  2]对应的变换作用下所得的曲线的方程.
                                                                    5 0 x1

    解:设圆    C 上任一点(x1,y1)在矩阵       A 对应的变换作用下得到点(x,y),则[0             2][y1]=
 x        x      y                                x2  y2
                         2  2
[y],则  x1=5,y1=2,代入     x +y =1  得所求曲线的方程为25+         4 =1.
                               1
                             1
                    1 0        2
    9.  已知矩阵     A=[0 2],B=[0  1].若矩阵   AB 对应的变换把直线       l:x+y-2=0    变为直
线  l′,求直线     l′的方程.
                         1
                       1
              1 0        2
    解:∵ A=[0    2],B=[0  1],
                 1     1
               1     1
           1 0   2     2
    ∴ AB=[0  2][0 1]=[0 2].
    在直线   l′上任取一点      P(x,y),设它是由       l 上的点  P0(x0,y0)经矩阵   AB 所对应的变
换作用所得,∵ 点        P0(x0,y0)在直线   l:x+y-2=0    上,∴ x0+y0-2=0 ①.
                      1
                    1
         x0   x       2 x0   x
    又 AB[y0]=[y],即[0  2][y0]=[y],
                             1
                       x0=x-  y,
            1                4
        x0+ y0=x,
            2               1
                         y0= y
            =  ,      {         )
    ∴ {   2y0 y   )∴        2     ②.
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                   1   1
    将②代入①得      x-4y+2y-2=0,即      4x+y-8=0,
    ∴ 直线   l′的方程为      4x+y-8=0.
                                                      1 2
    10.   在平面直角坐标系        xOy 中,设点    P(x,3)在矩阵    M=[3 4]对应的变换作用下得到
                      x
点  Q(y-4,y+2),求     M2[y].
                1 2 x   y-4
    解:依题意,[3      4][3]=[y+2],
        x+6=y-4,         x=0,
    即{3x+12=y+2,)解得{y=10,)
        1 2 1 2    7 10
    M2=[3 4][3 4]=[15 22],
           x   7  10 0    100
    所以  M2[y]=[15 22][10]=[220].
                                                   1 0
                          2   2
    11.      已知曲线     C1:x +y =1,对它先作矩阵        A=[0  2]对应的变换,再作矩阵         B=
 0 m                        x2
                                 2
[1 0 ]对应的变换,得到曲线         C2: 4 +y =1,求实数     m 的值.
            0 m  1 0   0 2m

    解:BA=[1    0 ][0 2]=[1 0 ],设 P(x0,y0)是曲线   C1 上的任一点,它在矩阵        BA 变换作
用下变成点     P′(x′,y′),
                                            x0=y′,
       x′  0 2m  x0   2my0     x′=2my0,         1
                                           y0=   x′.
                                  =  ,    {        )
    则[y′]=[1  0 ][y0]=[ x0 ],则{ y′  x0  )即     2m   又点  P 在曲线   C1 上,则
      x′2
y′2+4m2=1,所以      m2=1,所以    m=±1.

                 第  2 课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
                   x   x′  x+2y
    1. 已知变换    T:[y]→[y′]=[  y  ],试写出变换      T 对应的矩阵    A,并求出其逆矩阵        A-1. 

              x   x′   1 2 x        1 2
    解:由   T:[y]→[y′]=[0 1][y],得 A=[0  1].
                                                           a+2c=1,
                                                           b+2d=0,
            a b           1 2 a b   a+2c b+2d    1 0         c=0,
       -1             -1                                  {   =  ,  )
    设 A  =[c  d],则  AA  =[0 1][c d]=[ c    d  ]=[0 1],所以     d  1   解得
  a=1,
 b=-2,
  c=0,
{  =    )
  d  1.
              1 -2
    所以  A-1=[0   1 ].
                                        1  a
    2.  (2017·苏北四市期末)已知矩阵           A=[-1  b]的一个特征值为       2,其对应的一个特征
           2
向量为   α=[1].求实数     a,b 的值.
                               1  a 2    2      2+a     4
    解:由条件知,Aα=2α,即[-1             b][1]=2[1],即[-2+b]=[2],
          2+a=4,         a=2,
    所以{-2+b=2,) 解得{      b=4. )
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                                                            a 1
    3.  (2017·扬州期末)已知       a,b∈R,若点     M(1,-2)在矩阵      A=[b 4]对应的变换作用
下得到点    N(2,-7),求矩阵      A 的特征值.
                a 1  1     2       a-2=2,        a=4,
    解:由题意得[b      4][-2]=[-7],即{b-8=-7,)解得{b=1,)
            4 1                                 λ-4  -1
    所以  A=[1  4],所以矩阵     A 的特征多项式为      f(λ)=|  -1  λ-4|=λ2-8λ+15.
    令 f(λ)=0,解得      λ=5  或 λ=3,即矩阵      A 的特征值为     5 和 3.
                       a b                                                1

    4. 已知二阶矩阵      A=[c d],矩阵   A 属于特征值     λ1=-1   的一个特征向量为        α1=[-1],
                                      3

属于特征值     λ2=4  的一个特征向量为        α2=[2],求矩阵     A.
    解:由特征值、特征向量定义可知,Aα1=λ1α1,
       a b 1          1
    即[c d][-1]=-1×[-1],
       a-b=-1,            3a+2b=12,
    得{  c-d=1.  )同理可得{    3c+2d=8.  )
         a=2,
         b=3,
         c=2,             2 3
        { =   )
    解得   d  1. 因此矩阵    A=[2 1].
                                       1
                                         0
                   3 0                 3
    5. 已知矩阵    A=[2  a],A 的逆矩阵    A-1=[b 1],求  A 的特征值.
                              1
                                0
                1 0       3 0 3     1 0
    解:∵AA-1=[0    1] , ∴ [2 a][b 1]=[0 1],
       2              a=1,
        +ab=0,
       3                 2
                     b=-  ,
    则{   a=1,  )解得{      3  )
           3 0                        λ-3   0
    ∴ A=[2  1] ,A 的特征多项式      f(λ)=|  -2  λ-1|=(λ-3)(λ-1).
    令 f(λ)=0,解得      λ=3  或 λ=1.
    ∴ A 的特征值为      3 和 1.
                    a 2                                         1
    6.  已知矩阵    A=[b 1].若矩阵   A 属于特征值     3 的一个特征向量为       α=[1],求该矩阵的
另一个特征值.
             a 2 1    1     a+2=3,
    解:因为[b    1][1]=3[1],则{b+1=3,)
         a=1,         1 2
    解得{b=2,)所以     A=[2 1].
              λ-1  -2
    由 f(λ)=|  -2  λ-1|=(λ-1)2-4=0,
    所以(λ+1)(λ-3)=0,解得          λ1=-1,λ2=3.
    所以另一个特征值是-1.
                                a b

    7.     已知  a,b∈R,矩阵     A=[1  4],若矩阵   A 属于特征值     1 的一个特征向量为        α1=
  3                                    1

[-1],属于特征值      5 的一个特征向量为        α2=[1].求矩阵    A,并写出    A 的逆矩阵.
                                                  3

    解:由矩阵     A 属于特征值     1 的一个特征向量为       α1=[-1],
       a b  3     3
    得[1 4][-1]=[-1],
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    ∴ 3a-b=3.①
                                             1

    由矩阵   A 属于特征值     5 的一个特征向量为        α2=[1],
       a b 1    1
    得[1 4][1]=5[1],
    ∴ a+b=5.②
                   a=2,       2 3
    联立①②,解得{b=3,)即         A=[1 4].
                       4    3
                          -
                       5    5
                        1  2
                      -
                  -1  [      ]
    ∴ A 的逆矩阵     A  =   5  5 .
          2          a 2
    8. 设[3]是矩阵   M=[3  2]的一个特征向量.
    (1) 求实数   a 的值;
    (2) 求矩阵   M 的特征值.
               2
     解:(1) 设[3]是矩阵     M 属于特征值     λ 的一个特征向量,
       a 2 2     2     2a+6=2λ,       λ=4,
    则[3 2][3]=λ[3],故{   12=3λ,  )解得{  a=1. )∴ a=1.
                  λ-1  -2

    (2) 令 f(λ)=|  -3  λ-2|=(λ-1)(λ-2)-6=0,解得 λ1=4,λ2=-1.
                    2 1
    9. 已知矩阵    A=[-1  3]将直线   l:x+y-1=0    变换成直线      l′.
    (1) 求直线   l′的方程;
    (2)   判断矩阵    A 是否可逆.若可逆,求出矩阵            A 的逆矩阵    A-1;若不可逆,请说明理
由.
                                                       2  1

    解:(1)    在直线   l 上任取一点     P(x0,y0),设它在矩阵      A=[-1  3]对应的变换作用下变
为  Q(x,y).
         2 1 x0   x
    ∵ [-1  3][y0]=[y],
                           3x-y
                        x0=     ,
                             7
         x=2x0+y0,          x+2y
                        y0=     .
         =-   +    ,   {         )
    ∴ {y    x0  3y0 )即        7
    ∵ 点  P(x0,y0)在直线    l:x+y-1=0    上,
       3x-y   x+2y
    ∴    7  +  7  -1=0,
    即直线   l′的方程为      4x+y-7=0.
                    2  1
    (2) ∵ det(A)=|-1   3|=7≠0,
    ∴ 矩阵   A 可逆.
            a c            1 0
    设 A-1=[b  d],∴ AA-1=[0   1],
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                        3
                     a=  ,
                        7
                        1
                     b=  ,
                        7
                         1
      2a+b=1,        c=-  ,
      2c+d=0,            7
     -a+3b=0,           2
                     d=  ,
    {- +   =  ,)    {      )
       c 3d  1  解得      7
            3   1
              -
            7   7
            1  2
        -1  [    ]
    ∴ A   = 7  7  .
                                                      1 2
    10.   在平面直角坐标系        xOy 中,设点    P(x,5)在矩阵    M=[3 4]对应的变换作用下得到
                    x
点  Q(y-2,y),求    M-1[y].
                1 2 x   y-2
    解:依题意,[3      4][5]=[ y ],
       x+10=y-2,        x=-4,
    即{  3x+20=y,  )解得{   y=8, )
    由逆矩阵公式知,
                             -2   1
                              3    1
            1 2                  -
    矩阵  M=[3  4]的逆矩阵    M-1=[ 2    2],
                -2   1
                 3    1 -
            x       -     4    16
    所以  M-1[y]=[ 2    2][ 8 ]=[-10].
                                          1
    11.    (2017·南通、泰州期末)已知向量[-1]是矩阵               A 属于特征值-1     的一个特征向
量.在平面直角坐标系          xOy 中,点   P(1,1)在矩阵    A 对应的变换作用下变为         P′(3,3),求
矩阵   A.
              a b
    解:设   A=[c d],
             1
    因为向量[-1]是矩阵       A 的属于特征值-1       的一个特征向量,
         a b  1          1    -1
    所以[c d][-1]=(-1)[-1]=[    1 ].
         a-b=-1,
    所以{   c-d=1.  )
    因为点   P(1,1)在矩阵    A 对应的变换作用下变为          P′(3,3),
         a b 1   3
    所以[c d][1]=[3],
                      a=1,
                      b=2,
         a+b=3,       c=2,
          + =  ,     { =  ,)
    所以{c    d 3 )解得   d  1
            1 2
    所以  A=[2 1]. 
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