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人教A版 必修1 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1.2 指数函数

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高中数学审核员

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§2.1.2指数函数及其性质(1)
问题  引入

   问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂成
   2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分
   裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数
   关系式是什么?
研究
分裂


次数      1次     2次    3次     4次       x次
                            ……


                                     y  2 x


细胞
        2个    4个     8个    16 个

总数       1     2      3     4        x
        2     2      2     2        2
问题  引入
   问题2、《庄子·天下篇》中写道:“一尺
   之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出
   截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关
   系式?
研究
 截取
 次数                      1次                   2次                  3次                   4次                          x次


                                                                                                                    1
                                                                                                           y     (    ) x
                                                                                                                    2


 木棰

                        1                    1                   1                   1                           1  x
                         尺                     尺                  尺                    尺                        (  ) 尺
 剩余                     2                    4                   8                  16                           2
提炼


                                                                               x                                    1
                                                                     y     2                           y       (      ) x
                                                                                                                    2


                                                                                                                                                                                    ?
                       设问1:以上两个函数有何共同特征


                          (1)x与y构成函数关系式,是指数的形式。


                      (2)底数是常数;


                       (3)自变量x在指数位置.


                      定义:

                        一般地,函数y                                                                                                                                                                                         a              x         (a                                              0,a                                                       1)叫做指数
                       函数,其中x是自变量,函数的定义域是
                          R。
例题

 (口答)判断下列函数是不是指         数函数,为什么?

 ①                    ⑤
      2              √      x
    yx                  y  

√ ②                   ⑥
      x
    y  8                     2
                         y  5 2 x 1
√
 ③              (    1        且     a    1        )
                 a 
                  2
                      ⑦
 ④                       yx x
   y ( 4) x
                      ⑧
                         y 10x
例题
              已知指数函数
                                             f       x            ax         a     0,           a         1
     的图像经过点                                      求                                             的值.
                                    2, 9 ,             f    0、、         f   1          f       3
    分析:指数函数的图象经过点                                                                              ,
    有                                   ,                                     3, 9 
                 f   29 
    即                               ,解得                                                               想一
                                                      a        3              a         0且          a        1
               a 2  9                                                                                  想
    于是有
                        fx       3 x                    思考:确定一个指数函数
     所以:                                                   需要什么条件?


                                                                                                                                                                                                                                                1
     f0                                   30                      1     ,      f          1                      3     1                3      ,      f                   3                      3         3                                  .
                                                                                                                                                                                                                                             27
                     2        x
变式练习:1、函数       y (a 3a 3)a 是指数函
         数,则有a的值是多少?


 解:             2      是指数函数x
         y  (a  3a  3)a


         a 2  3a  3  1


         a  1或 a  2


       又   a  0且 a  1
                      a  2
设问2:得到函数的图象一般用什么方法?
      列表、描点、连线作图


                                x
    在同一直角坐标系画出              , 1
                     y  2 x y  
                              2
的图象,
并思考:两个函数的图象有什么关系?
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 8

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 7                                                                                                                                                            fx =                                                                                                                                              2                               x

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 6


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 5


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 4
                          gx =                                                                                                                                                              0.5                                                                              x
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 3


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 2


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1


x    y            问:如果已知                 f() x a x   的图像

                                                    x
                能否直接画出                          1   的图像
-2   4                                   fx()  
                                                a
-1   2

0    1
                                                                       x    y
1   0.5
                两个函数图像关于y轴对称                                           -2  0.25
2   0.25
                                                                       -1  0.5
                                             -6                        0    1                                                                                               -4                                                                                                                           -2                                                                                                                                                                                                                                                            2                                                                                                                             4                                                                                                                             6
                                                                       1    2
                          P1点                   P点
                                                                       2    4
认识
      指数函数在底数                及        这两种
归纳                   01a      a  1
      情况下的图象和性质:


          01a                  a  1
            x    y                y
          y=a                          y=ax
          (01)
  图             (0,1)
                       y=1 y=1
  象                                (0,1)
               0       x          0        x
       (1)定义域:R

  性    (2)值域:(0,+∞)
  质
       (3)过点(0,1)即x=0时,y=1
       (4)在R上是减函数         (4)在R上是增函数
课
堂
提
升


                                        判断                                                                 大小
                                                             a,    b,     c,    d

                解:

                                             c                          d                           1                         a                           b                           0
          应用

                 2、比较下列各题中两个值的大小:


                    1                            1.72.5                                                   ,1.7                                      3         ;                   2                         0.8                                      0.1                  ,         0.8                                        0.2                  ;
                    3                               1.81.6                                                 ,          2.3                             1.6                                4                       1.7                                0.3                  ,         0.9                                3.1                 ;

                                                                                                                                                                                                                                                1
                                                                                                                                                                                                                                                3
                                                                                         0.2                                                                    0.7                             2
2.5     31        1.72.5 ,1.75 3 ; 2 0.8 0.1 , 0.8 0.1 0.2 1.5 ;         0.2                                  ,1.3                                                            ,        
1 1.7 ,1.7 ;      2          0.8                        ,    0.8                         ;                                                                                                   3
                 3 1.81.6 , 2.3 1.6 4 1.7 0.3 , 0.9 3.1 ;
3 1.81.6 , 2.3 1.6   4         1.7            0.3      ,    0.9            3.1     ;
                                           1
                                     2   3   1
                   5 1.50.2 ,1.3 0.7 ,
                                           3
0.2         0.7           23
5 1.5 ,1.3          ,    
                           3

           分析:                          (1)(2)利用指数函数的单调性.
                                        (3)                      找中间量是关键.
                                                                                                                   5


                                                                                                                4.5


                                                                                                                   4


                                                                                                                3.5


                                                                                                                   3
                                                                                                                                           x
                                                         fx =                                               1.72.5


                                                                                                                   2


                                                                                                                1.5
应用

                                                                                                                   1
   (1)            <
          1.72.5   1.73
     解:     ∵函数              在R上是增函数,
                    y  1.7 x
              而指数2.5<3.                                                                                         0.5


                    2.5  <
            ∴               3
                  1.7     1.7


                                              -2                                 -1                                                                       1                                  2                                   3                                   4                                   5                                  6


                                                                                                               -0.5
                                                                                                                                                                                                          1.8


                                                                                                                                                                                                          1.6
                                                                                                                                                                                     x
                                                                                                  fx =                                               0.8                                                1.4


                                                                                                                                                                                                          1.2


                                                                                                                                                                                                             1


                                                                                                                                                                                                          0.8


                                                                                                                                                                                                          0.6


应用                                                                                                                                                                                                        0.4
  (2)           <
        0.80.1   0.80.2

     解:    ∵函数            在R上是减函数,
                  y  0.8 x
             而指数-0.1>-0.2                                                                                                                                                                                 0.2


            ∴      0.1      0.2
               0.8      0.8


                                                    -1.5                                                 -1                                               -0.5                                                                                                   0.5                                                  1


                                                                                                                                                                                                         -0.2
                                                                                                                                3.2

                                                                               3.2
                                                                                                                                   3

                                                                                  3
                                                                                                                                2.8

                                                                               2.8
                                                                                                                                2.6

                                                                               2.6
                                                                                                                                2.4

                                                                               2.4
                                                                                                                                2.2

                                                                               2.2
                                                                                                                                   2

                                                                                  2
                                                                                                                                1.8                                                                                                                    x
                                                                               1.8                                                                                         fx =                                           0.9
                                                                                                                                1.6
                                                                               1.6                               x
                                     fx =                                           1.7                                       1.4
                                                                               1.4

                                                                                                                                1.2
                                                                               1.2

                                                                                                                                   1
                                                                                  1

应用                                                                                                                              0.8
                                                                               0.8
 (3)
       1.70.3    0.93.1                                                                                                         0.6
  解:根据指数函数的性质,得:                                                               0.6

                           且                                                                                                    0.4
       1.7  0.3  1.7 0  1    0.9 3.1   0.9 0   1                           0.4
      从而有
               1.7 0.3  0.9 3.1                                                                                                0.2
                                                                               0.2


                         -2                        -1.5 -0.5                   -1                        -0.5 0.5                          1                   0.5  1.5                    1     2                   1.5  2.5                    2    3                    2.5  3.5                         4

                                                                              -0.2                                             -0.2


                                                                              -0.4                                             -0.4
          应用

                 比较下列各题中两个值的大小:


                    1                            1.72.5                                                   ,1.7                                      3         ;                   2                         0.8                                      0.1                  ,         0.8                                        0.2                  ;
                    3                               1.81.6                                                 ,          2.3                             1.6                                4                       1.7                                0.3                  ,         0.9                                3.1                 ;

                                                                                                                                                                                                                                                1
                                                                                                                                                                                                                                                3
                                                                                         0.2                                                                    0.7                             2
2.5     31        1.72.5 ,1.75 3 ; 2 0.8 0.1 , 0.8 0.1 0.2 1.5 ;         0.2                                  ,1.3                                                            ,        
1 1.7 ,1.7 ;      2          0.8                        ,    0.8                         ;                                                                                                   3
                 3 1.81.6 , 2.3 1.6 4 1.7 0.3 , 0.9 3.1 ;
3 1.81.6 , 2.3 1.6   4         1.7            0.3      ,    0.9            3.1     ;
                                           1
                                     2   3   1
                   5 1.50.2 ,1.3 0.7 ,
                                           3
0.2         0.7           23
5 1.5 ,1.3          ,    
                           方法总结:3
                           对同底数幂大小的比较用的是指数函数的
          单调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数
          函数的两个函数值;对不同底数幂的大小的比
          较可以与中间值进行比较.
练习

 1.下列函数中一定是指数函数的是(                )


         x 1
    A.y  2       B.y  x 3


        x
    Cy.2        D.y  3  2 x


 2.已知              0.7             0.9             0.8
        a    0.8      , b   0.8      , c   1.2     ,
  则       的大小关系是____________________. 
     a, b, c
 点滴收获:
 1. 本节课学习了那些知识?        指数函数的定义

                       指数函数的图象及性质

2.如何记忆函数的性质?         数形结合的方法记忆
                            y
                  1
                y  ( ) x
                  2
 3.记住两个基本图形:                     y  2 x

                            2
                           1
                                    y=1

                       -2 -1 o 1 2 x
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