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备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练五线性规划文

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                                       5   线性规划

        一、选择题

                                                x  y  4  0
                                                
1.[2018·柳州高级中学]已知变量            x , y 满足约束条件     2  x  2  ,若 z  2x  y ,则 z 的取值范围是(    
                                                
                                                y 1

)

A.5,6            B.5,6           C.  2,9           D.5,9

                                y  2x  2
                                
2.[2018·和诚高中]实数        x , y 满足 x  y  2  0  ,则 z  x  y 的最大值是(    )
                                
                                x  2

A.2                 B.4                C.6                 D.8

3.[2018·北京一轮]由直线         x  y 1  0 , x  y  5  0 和 x 1所围成的三角形区域(包括边界),用不等式

组可表示为(    )

    x  y 1  0                          x  y 1  0
                                          
A.  x  y  5  0                     B.  x  y  5  0
                                          
    x 1                                  x 1

    x  y 1  0                          x  y 1  0
                                          
C.  x  y  5  0                     D.  x  y  5  0
                                          
    x 1                                  x 1

                                    2x  y  2  0
                                                            2      2
4.[2018·和诚高中]已知实数          x , y 满足 x  2y 1  0 ,则 z  x 1  y 1 的取值范围为(    )
                                    
                                    x  y  2  0

                       4 5               16  
A.                B.      , 10       C.     ,10          D.
    2, 10                                               4,10
                        5                 5  

                                    x  y  4  0
                                                      y 1
5.[2018·咸阳联考]已知实数          x , y 满足 y  3  0 ,则   z     的最大值为(    )
                                                      x 1
                                    x  y  0

                       1                   1
A.1                 B.                 C.                  D.2
                       2                   3

                                          x  y 1  0
                                                                    x  y  2
6.[2018·宜昌一中]若实数         x , y 满足不等式组     x  y 1  0 ,则目标函数    z         的最大值是(    
                                                                      x  3
                                          2x  y  4  0

)
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                         1                  1                 3
A.1                 B.                C.                 D.
                         3                  2                 5

                                      x  y 1  0
                                      
7.[2018·黑龙江模拟]已知实数           x , y 满足 x  3y 1  0 ,若 z  kx  y 的最小值为 5 ,则实数   k 的值为(    
                                      
                                      x 1

)

A.  3              B.3或  5           C.  3或 5          D. 3

                                             x  2y  0
                                             
8.[2018·名校联盟]设       z  2x  y ,其中 x , y 满足 x  y  0 ,若 z 的最小值是    9 ,则  z 的最大值为(    
                                             
                                             0  y  k

)

A.  9              B.9                C.2                 D.6

                                        2x  y 1  0
                                        
9.[2018·莆田九中]设关于         x , y 的不等式组    x  m  0  ,表示的平面区域内存在点            Px0 , y0 ,
                                        
                                        y  m  0


满足   x0  2y0  2 ,求得 m 取值范围是(    )

       4                  2               1                  5 
A.   ,          B.  ,         C.   ,          D.  , 
       3                  3               3                  3 

                                  x  2  0
                                  
10.[2018·皖江八校]已知        x , y 满足  y  2  0 时,  z  ax  bya  b  0的最大值为2,则直线
                                  
                                  x  y  8  0

 ax  by 1  0 过定点(    )

A.  3,1           B. 1,3          C.  1,3           D. 3,1

                              x  2y 1  0
                              
11.[2018·齐鲁名校]在满足条件           x  3y 1  0  的区域内任取一点    M x, y,则点  M x, y满足不等式
                              
                               x  y  7  0

 x 12  y2 1的概率为(    )

    π                   π                     π                  π
A.                  B.                 C.1                D.1
    60                 120                   60                 120

                                  x  0
                                                                                 2
12.[2018·江南十校]已知        x , y 满足  x  2y  3 , z  xy 的最小值、最大值分别为      a , b ,且 x  kx 1  0
                                  
                                  2x  y  3

对  x a,b上恒成立,则     k 的取值范围为(    )
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                                                                 145
A.  2  k  2      B. k  2           C.  k  2          D. k 
                                                                 72

        二、填空题

                                               x  y  2  0
                                               
13.[2018·哈尔滨六中]已知实数           x 、 y 满足约束条件     x  y  4  0  ,若使得目标函数     ax  y 取最大值时有
                                               
                                               2x  y  5  0

唯一最优解     1,3,则实数    a 的取值范围是_______________(答案用区间表示).

14.[2018·衡水金卷]某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型

这三种玩具共30个,生产一个遥控小车模型需10分钟,生产一个遥控飞机模型需12分钟,生产一个遥控火车

模型需8分钟,已知总生产时间不超过320分钟,若生产一个遥控小车模型可获利160元,生产一个遥控飞机模

型可获利180元,生产一个遥控火车模型可获利120元,该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大,则最

大利润是__________元.

                                   2x  y  0
                                                                            
15.[2018·吉安一中]若点        Px, y满足  2x  3y  4  0  ,点 A3,1, O 为坐标原点,则   OAOP 的最大值为
                                   
                                   y  0

__________.

16.[2018·宜昌一中]已知函数          f x x2  ax  b ,若 a , b 都是从区间0,3内任取的实数,则不等式

 f 2 0 成立的概率是__________.
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                                    答案与解析

        一、选择题

1.【答案】A

                              x  y  4  0
                              
【解析】变量       x , y 满足约束条件     2  x  2  ,不等式组表示的平面区域如图所示,
                              
                              y 1


当直线    z  2x  y 过点 A 时, z 取得最小值,

   x  2
由       ,可得   A2,1时,在   y 轴上截距最大,此时         z 取得最小值    5 .
   y 1

当直线    z  2x  y 过点 C 时, z 取得最大值,

   x  2
由             ,可得   C 2,2时,因为   C 不在可行域内,所以        z  2x  y 的最大值小于    4  2  6 ,
   x  y  4  0

则  z 的取值范围是5,6,故答案为A.

2.【答案】B

【解析】依题意画出可行域如图中阴影部分所示,


令  m  y  x ,则 m 为直线  l : y  x  m 在 y 轴上的截距,由图知在点      A2,6处 m 取最大值4,在      C 2,0处取最
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小值   2 ,所以  m2,4,所以    z 的最大值是4.故选B.

3.【答案】A

【解析】作出对应的三角形区域,


则区域在直线       x 1  0 的右侧,满足   x 1,在  x  y 1  0 的上方,满足   x  y 1  0 ,

                                                      x  y 1  0
                                                      
在  x  y  5  0 的下方,满足  x  y  5  0 ,故对应的不等式组为     x  y  5  0 ,故选A.
                                                      
                                                      x 1

4.【答案】C

                    2x  y  2  0
                    
【解析】画出不等式组          x  2y 1  0 表示的可行域,如图阴影部分所示.
                    
                    x  y  2  0


由题意得,目标函数         z  x 12  y 12 ,可看作可行域内的点    x, y与 P1,1的距离的平方.

结合图形可得,点        P1,1到直线   x  2y 1  0 的距离的平方,

                                                             2
                                                           
                                                    1 2 1     16
就是可行域内的点与         P1,1的距离的平方的最小值,且为                         ,
                                                          2   5
                                                    1 2 
点  P1,1到 C 0,2距离的平方,就是可行域内的点与             P1,1的距离的平方的最大值,为1           32 10 ,


            2       2            16   
所以   z  x 1  y 1 的取值范围为    ,10 .故选C.
                                  5   

5.【答案】A

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图,
                          中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台


 z 的几何意义是区域内的点到定点             P1,1的斜率,

由图象知当直线过        B1,3时,直线斜率最大,此时直线斜率为1,

      y 1
则  z     的最大值为1,故选A.
      x 1
6.【答案】B

                    x  y 1  0
                    
【解析】画出约束条件          x  y 1  0 表示的可行域,如图,
                    
                    2x  y  4  0


   x  y 1  0    x  0                x  y  2          y  5
由           ,可得        ,即  P0,1,将  z        变形为    z 1    ,
   x  y 1  0    y 1                   x  3            x  3

 y  5
     表示可行域内的点与         A3,5连线的斜率,
 x  3
                                  0 1 2  1            1
由图知    k 最小,    z 最大,最大值为      z          ,故答案为       .故选B.
        PA                         0  3   3             3
7.【答案】D

          x  y 1  0
          
【解析】由     x  3y 1  0 作出可行域如图:
          
          x 1
                          中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台

     x 1                       x  3y 1  0
联立            ,解得    A1,2,联立             ,解得   B2,1,
     x  y 1  0               x  y 1  0

化  z  kx  y 为 y  kx  z ,

由图可知,当      k  0 时,直线过    A 时在  y 轴上的截距最大,       z 有最小值为     k  2  5 ,即 k  3 ,

当  k  0 时,直线过   B 时在  y 轴上的截距最大,        z 有最小值为    2k 1  5 ,即 k  3 ,

综上所述,实数       k 的值为   3,故选D.

8.【答案】B

【解析】满足条件的点          x, y的可行域如图,


平移直线     z  2x  y ,由图可知,目标函数       z  2x  y 在点 2k,k 处取到最小值   9 ,

即  4k  k  9 ,解得 k  3 ,

平移直线     z  2x  y ,目标函数在   k,k ,即 3,3,处取到最大值      2 3  3  9 ,故选B.

9.【答案】B

                      2x  y 1  0
                      
【解析】先根据约束条件           x  m  0  ,画出可行域,
                      
                      y  m  0


要使可行域存在,必有          m  2m 1,平面区域内存在点         Px0 , y0 ,满足 x0  2y0  2 ,

                       1                                          1
等价于可行域包含直线          y   x 1上的点,只要边界点        m,1 2m在直线    y  x 1的上方,
                       2                                          2
                   1
且  m,m在直线    y  x 1下方,
                   2
                          中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台
            
            m  2m 1
            
                     1                 2                    2 
故得不等式组      1 2m   m 1,解之得    m    , m 取值范围是      ,  ,故选B.
                     2                 3                    3 
                 1
             m    m 1
                2

10.【答案】A

                                     a   z  a    
【解析】由      z  ax  bya  b  0,得 y   x     1 ,画出可行域,如图所示,
                                     b   b  b    


由数形结合可知,在点          B6,2处取得最大值,       6a  2b  2 ,即: 3a  b 1,直线 ax  by 1  0 过定点 3,1.

故选A.

11.【答案】B

【解析】作平面区域,如图所示,


                                                   
 A1,0, B5,2, C 10,3, AB  4,2 , AC  9,3, AB  2 5 , AC  3 10 ,
                
               AB  AC     36  6    2              π
所以   cosBAC                ,所以   BAC    .
               AB  AC   2 5  3 10  2              4

              1           1              2
可行域的面积为         AB  AC sin BAC   2 5  3 10  15 ,
               2                   2             2
                                                    π
          π                              π               π
BAC     ,所以落在圆内的阴影部分面积为                 ,易知   P  8    ,故选B.
          4                              8          15  120

12.【答案】B
                          中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台

            x  0
            
【解析】作出      x  2y  3 表示的平面区域(如图所示),
            
            2x  y  3


显然   z  xy 的最小值为0,


                                               3 x    1 2  3
当点   x, y在线段  x  2y  30  x 1上时, z  xy  x     x  x 1 ;
                                               2 2    2    2

                                                                9
当点   x, y在线段 2x  y  30  x 1上时, z  xy  x3  2x 2x2  3x  ;
                                                                8
            9
即  a  0 , b  ;
            8

当  x  0 时,不等式   x2  kx 1 1  0 恒成立,


    2                9                  1    9
若  x  kx 1  0 对 x 0,  上恒成立,则  k  x  在 0,  上恒成立,
                     8                  x    8

      1                    9                 1 
又  x  在 0,1单调递减,在     1,  上单调递增,即       x     2 ,即 k  2 .
      x                    8                 x min

        二、填空题

13.【答案】     ,1

                    x  y  2  0
                    
【解析】作出不等式组          x  y  4  0  表示的可行域,如图所示,
                    
                    2x  y  5  0


令  z  ax  y ,则可得 y  ax  z ,
                          中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台
当  z 最大时,直线的纵截距最大,画出直线                y  ax  z 将 a 变化,

结合图象得到当       a 1时,直线经过      1,3时纵截距最大,

a   1,故答案为     ,1.

14.【答案】5000

                                         10x 12y  830  x  y 320
                                         
【解析】依题得,实数          x , y 满足线性约束条件       30  x  y  0           ,
                                             ,
                                         x  0 y  0

                                             x  2y  40
                                             
目标函数为      z 160x 180y 12030  x  y,化简得 x  y  30 , z  40x  60y  3600 ,
                                             
                                             x  0,y  0

            x  2y  40
            
作出不等式组      x  y  30 ,表示的可行域(如图所示):
            
            x  0,y  0


              2
作直线    l : y   x  60 ,将直线 l 向右上方平移过点       P 时,直线在    y 轴上的截距最大,
       0      3              0

   x  2y  40  x  20
由           ,得       ,所以    P20,10,
   x  y  30   y 10


此时   zmax  40 20  6010  3600  5000 (元),故答案为5000.

15.【答案】5
             
【解析】因为      OAOP   3x  y ,所以设  z  3x  y ,则 z 的几何意义为动直线       y  3x  z 在 y 轴上的截距,

            2x  y  0
            
作出约束条件      2x  3y  4  0  所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
            
            y  0
                          中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                             2x  y  0
当动直线     y  3x  z 经过点 C 时, z 取得最大值.由                  ,解得    A1,2,
                                             2x  3y  4  0
                      
则  zmax  31 2  5 ,即 OAOP 的最大值为5.

             7
16.【答案】
            12
【解析】


 a,b所在区域是边长为3的正方形,

正方形面积为      32  9 , f 2 4  2a  b  0 ,

满足   f 2 4  2a  b  0 的区域是梯形,

                            1            1   5     21
       ,       ,       ,        ,                        ,
 A2,0  B3,0  C 3,3 D  ,3  S梯形ABCD  1    3 
                            2            2   2     4

                                               21
                                                    7           7
由几何概型概率公式可得不等式              f 2 0 成立的概率是     4    ,故答案为       .
                                                9  12           12
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