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2018年高中数学课时跟踪检测三解三角形的实际应用举例新人教A版必修5

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           课时跟踪检测(三)  解三角形的实际应用举例
                               层级一 学业水平达标
    1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得                     AC 的长度为    4  m,∠A=30°,
则其跨度    AB 的长为(  )
    A.12 m                             B.8 m
    C.3  3 m                          D.4  3 m
    解析:选    D 由题意知,∠A=∠B=30°,
    所以∠C=180°-30°-30°=120°,
                  AB    AC
    由正弦定理得,sin C=sin B,
          AC·sin C 4·sin 120°
    即 AB=   sin B =  sin 30° =4 3.
    2.一艘船自西向东匀速航行,上午               10 时到达一座灯塔      P 的南偏西    75°距塔   68     n 
mile 的 M 处,下午    2 时到达这座灯塔的东南方向的            N 处,则这只船的航行速度为(  )
      17 6
    A. 2   n mile/h                   B.34  6 n mile/h
      17 2
    C. 2   n mile/h                   D.34  2 n mile/h
                                     PM      MN
    解析:选    A 如图所示,在△PMN        中,sin 45°=sin 120°,


          68 × 3            MN   17 6
    ∴MN=     2  =34  6,∴v=   4 =   2  n mile/h.
    3.如图,D,C,B     三点在地面同一直线上,DC=a,从              C,D 两点测得    A 点仰角分别是
β,α(α<β),则       A 点离地面的高度       AB 等于(  )
      asin α·sin β
    A.sinβ-α
      asin α·sin β
    B.cosα-β
      asin α·cos β
    C.sinβ-α
      acos α·sin β
    D.cosα-β
                                             x                x
    解析:选    A 设   AB=x,则在    Rt△ABC 中,CB=tan β,所以     BD=a+tan β,又因为在
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                           a
                 x               x     x                1    1
                                                          -
Rt△ABD 中,BD=tan α,所以     BD=a+tan β=tan α,从中求得      x=tan α tan β
       atan αtan β    asin αsin β   asin αsin β
    =tan β-tan α=sin βcos α-sin αcos β=sinβ-α,故选 A.
    4.设甲、乙两幢楼相距          20  m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为             60°,从甲楼顶望乙楼顶
的俯角为    30°,则甲、乙两幢楼的高分别是(  )
               40 3
    A.20  3 m,  3   m                  B.10  3 m,20 3 m
                                         15 3    20 3
    C.10(  3-  2)m,20 3 m               D. 2  m,   3  m

    解析:选    A 由题意,知      h 甲=20tan 60°=20    3(m),
                                40 3

    h 乙=20tan 60°-20tan 30°=      3 (m).
    5.甲船在岛     B 的正南   A 处,AB=10 km,甲船以      4 km/h 的速度向正北航行,同时乙船
自岛   B 出发以  6   km/h 的速度向北偏东      60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们
的航行时间是(  )
      150                                15
    A. 7  min                           B. 7  h
    C.21.5 min                         D.2.15 h
    解析:选    A 由题意可作出如图所示的示意图,设两船航行                     t 小时后,
甲船位于    C 点,乙船位于      D 点,如图.则      BC=10-4t,BD=6t,∠CBD=
120°,此时两船间的距离最近,根据余弦定理得                   CD2=BC2+BD2-
2BC·BDcos  ∠CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100,所以
      5
当  t=14时,CD2  取得最小值,即两船间的距离最近,所以它们的航行时间
  150
是  7  min,故选   A.
    6.某人从    A 处出发,沿北偏东        60°行走   3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走          2 km 到
C 处,则   A,C 两地的距离为________km.
    解析:如图所示,由题意可知             AB=3  3,BC=2,∠ABC=150°.
    由余弦定理,得
    AC2=27+4-2×3    3×2×cos 150°=49,AC=7.
    则 A,C  两地的距离为      7 km.
    答案:7
    7.坡度为    45°的斜坡长为      100 m,现在要把坡度改为         30°,则坡底要伸长________m.
    解析:
    如图,BD=100,∠BDA=45°,∠BCA=30°,
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    设 CD=x,所以(x+DA)·tan 30°=DA·tan 45°,
                              2
    又 DA=BD·cos 45°=100×     2 =50  2,
                          50 2 × 1
           DA·tan 45°        3
    所以  x=   tan 30° -DA=    3  -50  2
    =50(  6-  2)m.
    答案:50(    6-  2)
    8.一蜘蛛沿东北方向爬行           x  cm 捕捉到一只小虫,然后向右转            105°,爬行    10  cm 捕
捉到另一只小虫,这时它向右转              135°爬行回它的出发点,那么            x=________cm.
    解析:如图所示,设蜘蛛原来在              O 点,先爬行到     A 点,再爬行到
B 点,易知在△AOB      中,AB=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,
    则∠AOB=60°,由正弦定理知:
       AB·sin∠ABO  10 × sin 45° 10 6
    x=   sin∠AOB =   sin 60° =  3 (cm).
          10 6
    答案:    3
    9.如图,甲船以每小时         30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固

定方向匀速直线航行,当甲船位于               A1 处时,乙船位于甲船的北偏西

105°方向的    B1 处,此时两船相距       20 海里,当甲船航行        20 分钟到达

A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西             120°方向的    B2 处,此时两船相距       10 2海里,求乙船航
行的速度.

    解:如图,连接       A1B2,在△A1A2B2 中,易知∠A1A2B2=60°,又易求
              1

得  A1A2=30 2×3=10  2=A2B2,

    ∴△A1A2B2 为正三角形,

    ∴A1B2=10  2.

    在△A1B1B2 中,易知∠B1A1B2=45°,
                                     2

           2
    ∴(B1B2) =400+200-2×20×10     2×  2 =200,

    ∴B1B2=10  2,
    ∴乙船每小时航行        30 2海里.
    10.如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路                               BC 和一条
索道   AC,小王和小李打算不坐索道,而是花               2 个小时的时间进行徒步攀登.已知∠ABC=
120°,∠ADC=150°,BD=1 千米,AC=3 千米.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小
时  1.2  千米,请问:两位登山爱好者能否在               2 个小时内徒步登上山峰(即从           B 点出发到达
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

C 点).


                                                  1      AD
    解:由∠ADC=150°知∠ADB=30°,由正弦定理得sin 30°=sin 120°,所以                AD=  3. 
在△ADC  中,由余弦定理得:AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos               150°,即   32=(  3)2+DC2-
                                                   -3+  33
2·  3·DCcos     150°,即   DC2+3·DC-6=0,解得       DC=    2   ≈1.372     (千米),
∴BC≈2.372    (千米),由于      2.372<2.4,所以两位登山爱好者能够在            2 个小时内徒步登上
山峰. 
                               层级二 应试能力达标
    1.如图,从气球      A 上测得其正前下方的河流两岸            B,C  的俯角
分别为   75°,30°,此时气球的高度           AD 是 60   m,则河流的宽度
BC 是(  )
    A.240(  3-1)m                     B.180(  2-1)m
    C.120(  3-1)m                     D.30(  3+1)m
    解析:选    C 由题意知,在       Rt△ADC  中,∠C=30°,AD=60         m,∴AC=120     m.在
△ABC  中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,
                        2
                  120 ×
                       2
      ACsin∠BAC     6+ 2
得  BC=  sin∠ABC =    4   =120(  3-1)(m).

    2.如图所示为起重机装置示意图.支杆                BC=10  m,吊杆   AC=15   m,
吊索   AB=5 19 m,起吊的货物与岸的距离           AD 为(  )
                                         15 3
    A.30 m                              B. 2  m
    C.15  3 m                          D.45 m
    解析:选    B 在△ABC    中,AC=15 m,AB=5     19 m,BC=10 m,
                          AC2+BC2-AB2
    由余弦定理得      cos∠ACB=    2 × AC × BC
      152+102-5   192    1              3
    =     2 × 15 × 10  =-2,∴sin∠ACB=      2 .
    又∠ACB+∠ACD=180°,
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                          3
    ∴sin∠ACD=sin∠ACB=     2 .
                                        3  15 3
    在 Rt△ADC  中,AD=AC·sin∠ACD=15×       2 = 2   m.
    3.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔                  AB 的高度,在塔的同一侧选择            C,D 两
个观测点,且在       C,D  两点测得塔顶的仰角分别为           45°,30°,在
水平面上测得∠BCD=120°,C,D           两地相距    500     m,则电视塔
AB 的高度是(  )
    A.100  2 m                        B.400 m
    C.200  3 m                        D.500 m
    解析:选    D 设   AB=x,在   Rt△ABC 中,∠ACB=45°,
    ∴BC=AB=x.在    Rt△ABD 中,∠ADB=30°,∴BD=         3x.在△BCD  中,∠BCD=120°,
CD=500 m,由余弦定理得(         3x)2=x2+5002-2×500xcos 120°,解得      x=500 m.
    4.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站                 A,发现其北偏东       45°,与观测站      A 距离  20
 2海里的   B 处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位
                                                   4
于观测站    A 东偏北   θ(0°<θ<45°)的     C 处,且   cos   θ=5.已知    A,
C 两处的距离为      10 海里,则该货船的船速为(  )
    A.4  85 海里/小时                     B.3  85 海里/小时
    C.2  7 海里/小时                      D.4  6 海里/小时

                            4                           3                 2
    解析:选    A 因为    cos θ=5,0°<θ<45°,所以         sin θ=5,cos(45°-θ)=       2 ×
4   2  3  7 2                                           7 2
5+  2 ×5= 10 ,在△ABC   中,BC2=(20   2)2+102-2×20   2×10×  10 =340,所以    BC=2
                   2 85
                    1
 85,该货船的船速为         2 =4  85海里/小时.
    5.如图,某人在垂直于水平地面             ABC 的墙面前的点     A 处进行射击
训练.已知点      A 到墙面的距离为       AB,某目标点     P 沿墙面上的射线
CM 移动,此人为了准确瞄准目标点             P,需计算由点      A 观察点   P 的仰角
θ  的大小.若     AB=15  m,AC=25    m,∠BCM=30°,则      tan θ 的最
大值是________.(仰角      θ 为直线    AP 与平面   ABC 所成角)
     解析:如图,过点        P 作 PO⊥BC 于点   O,连接   AO,则
∠PAO=θ.
                     3
    设 CO=x,则    OP= 3 x.
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    在 Rt△ABC  中,AB=15,AC=25,所以        BC=20.
                  4
    所以  cos∠BCA=5.
                             4
             625+x2-2  × 25x ×
    所以  AO=                  5=  x2-40x+625.
                                  3
                    3            3
                     x
                   3            40  625
                             1-   +
    故 tan θ=   x2-40x+625=       x  x2

            3                                              3
           3                                               3
        25 4    9    25  4       125                       3  5 3
         -   2+
    =  ( x 5)   25 .当 x =5,即  x=  4 时,tan θ   取得最大值为       5 = 9 .
          5 3
    答案:    9
    6.甲船在    A 处观察乙船,乙船在它的北偏东             60°方向的     B 处,两船相距     a  n mile,
乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的                  3倍,则甲船应沿________方向行驶才能追上乙
船;追上时甲船行驶了________n mile.
    解析:如图所示,设在          C 处甲船追上乙船,乙船到          C 处用的时间
为  t,乙船的速度为       v,则  BC=tv,AC=    3tv,又  B=120°,则由正

        BC      AC        1        3                1
弦定理sin∠CAB=sin B,得sin∠CAB=sin 120°,∴sin∠CAB=2,
    ∴∠CAB=30°,∴甲船应沿北偏东             30°方向行驶.又∠ACB=
180°-120°-30°=30°,∴BC=AB=a               n     mile,∴AC=

 AB2+BC2-2AB·BCcos 120°
                     1
        a2+a2-2a2· -
    =             (  2)= 3a(n mile)
    答案:北偏东      30°    3a
    7.如图所示,在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点                       A 处发
现桃树顶端点      C 的仰角大小为      45°,往正前方走       4   m 后,在点   B 处
发现桃树顶端点       C 的仰角大小为      75°.
    (1)求 BC 的长;
    (2)若小明身高为      1.70    m,求这棵桃树顶端点         C 离地面的高度
(精确到   0.01 m,其中    3≈1.732).
    解:(1)在△ABC    中,∠CAB=45°,∠DBC=75°,
    则∠ACB=75°-45°=30°,AB=4,
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                 BC      4
    由正弦定理得sin 45°=sin 30°,
    解得  BC=4  2(m).即   BC 的长为  4 2 m.
    (2)在△CBD  中,∠CDB=90°,BC=4        2,
    所以  DC=4  2sin 75°.
    因为  sin 75°=sin(45°+30°)
                                          6+  2
    =sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=        4   ,
    则 DC=2+2   3.
    所以  CE=ED+DC=1.70+2+2      3≈3.70+3.464
    ≈7.16(m).
    即这棵桃树顶端点        C 离地面的高度为       7.16 m.


    8.如图,在一条海防警戒线上的点              A,B,C  处各有一个水声监
测点,B,C    两点到    A 的距离分别为     20 千米和   50 千米,某时刻,
B 收到发自静止目标        P 的一个声波信号,8       秒后   A,C 同时接收到该
声波信号,已知声波在水中的传播速度是                  1.5 千米/秒.
    (1)设 A 到 P 的距离为    x 千米,用    x 表示  B,C 到 P 的距离,并求      x 的值;
    (2)求 P 到海防警戒线      AC 的距离.
    解:(1)依题意,有       PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.
                                 PA2+AB2-PB2    x2+202-x-122     3x+32
    在△PAB  中,AB=20,cos∠PAB=         2PA·AB    =        2x·20     =   5x  ,
    同理在△PAC    中,AC=50,
               PA2+AC2-PC2    x2+502-x2    25
    cos ∠PAC=     2PA·AC    =    2x·50   = x .
                           3x+32   25
    ∵cos∠PAB=cos∠PAC,∴       5x  = x ,
    解得  x=31.
                                            25
    (2)作 PD⊥AC  于 D,在△ADP   中,由    cos∠PAD=31,


                              4 21
    得 sin∠PAD=   1-cos2∠PAD=   31 ,
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                     4 21
∴PD=PAsin∠PAD=31×     31 =4  21千米.
故静止目标     P 到海防警戒线      AC 的距离为    4 21千米.
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