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《等差数列前n项和公式》教学设计

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高中数学审核员

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                《等差数列的前               n 项和》教学设计
 一、设计理念

     让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展,让学生利用自己的原有认知

 结构中相关的知识与经验,自主地在教师的引导下促进对新知识的建构,因为建构主义

 学习理论认为,学习是学生积极主动地建构知识的过程.在教学过程中,根据教学内容,

 从介绍高斯的算法开始,探究这种方法如何推广到一般等差数列的前                              n 项和的求法.通

 过设计一些从简单到复杂,从特殊到一般的问题,层层铺垫,组织和启发学生获得公式

 的推导思路,并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习,通过生生互动和师生互动

 等形式,让学生在问题解决中学会思考、学会学习.同时根据我校的特点,为了促进成

 绩优秀学生的发展,还设计了选做题和探索题,进一步培养优秀生用函数观点分析、解

 决问题的能力,达到了分层教学的目的.

 二、背景分析

    本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修                      5(北师大)中第二章的第三节内

容.本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前                          n 项和以及该求和公式的应

用.等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常

遇到的一类问题.同时,求数列前                n 项和也是数列研究的基本问题,通过对公式推导,

可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法.

 三、学情分析

      1、学生已掌握的理论知识角度:学生已经学习了等差数列的定义及通项公式,掌

 握了等差数列的基本性质,有了一定的知识准备。

      2、学生了解数列求和历史角度:大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识,并且

 知道此算法原理,但在高斯算法中数列                 1,2,3,……,100       只是一个特殊的等差数列,

 对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。

      3、学生的认知规律角度:本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式,以问题

 解答的形式,通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识,为学生积极思考、自主探究搭
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建了理想的平台,让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。

四、教学目标

1、类比高斯算法,探求等差数列前               n 项和公式,理解公式的推导方法;

2、能较熟练地应用等差数列前             n 项和公式解决相关问题;

3、经历公式的推导过程,体会层层深入的探索方式,体验从特殊到一般、具体到抽象

的研究方法,学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力;

4、通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自

信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功;

五、教学重点与难点

1、教学重点:等差数列前           n 项和公式的推导和应用

2、教学难点:公式推导的思路

3、重难点解决的方法策略:本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学

策略。利用分类讨论、类比归纳的思想,层层深入。通过学生自主探究,分析、整理出

推导公式的不同思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,通过教师的点拨

引导、师生互动、讲练结合,突出重点、突破难点。

六、教学过程设计

(一)创设情景,提出问题

欣赏图片——泰姬陵:泰姬陵坐落于印度古都阿格,是                        17 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕

为纪念其爱妃所建。它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为

世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶嵌,图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形

图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有                   100 层,奢靡之程度,可见一斑。

问题  1:你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗?

教师活动:利用多媒体,展示泰姬陵的图片,并截取出三角形宝石图案,引导学生观察

宝石数目变化情况。

学生活动:欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题                            1.
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活动预设:

(1)能得到的信息:从上到下,宝石数目以                   1 为公差依次递增,构成等差数列。

(2)需要解决的问题:100          层中究竟共有多少颗宝石?

【设计意图】(1)教师先用多媒体展示彩图呈现的问题,使学生进入问题情境,激发

            学生的兴趣,并使学生体会数学来源于生产生活。

          (2)以问题的提出作为引入方式,使学生带着问题学习新课,更有目的性。


(二)探究等差数列前          n 项和公式

教师活动:指出此数列的求和方法在                1787 年已被高斯解决,让学生讲高斯故事。

学生活动:学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事:小高斯上小学四年级时,

一次数学老师布置了一道数学习题:把从                  1 到 100 的自然数加起来,和是多少?年仅

10 岁的小高斯略一思索就得到答案:5050,这使老师非常吃惊。

问题  1:高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢?

教师活动:指导学生快速找出规律。

学生活动:高斯算法解决:1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=?

活动预设:高斯算法:1+100=101,2+99=101,……,50+51=101,

          所以原式=50×(1+101)=5050

问题  2:在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质?

教师活动:引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。

学生活动:利用高斯算法计算答案,并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列

项的何种性质。


活动预设:构造数列:          a1 1,a2  2,a99  99,a100 100 ,则有性质:


等差数列{an}中,若       m  n  p  q ,则 am  an  ap  aq 。

【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等,对应的项和相等”

的特征,为等差数列前          n 项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫,开启了更深入、
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更细致的研究大门。

问题  3:你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题?

方法:倒序相加法          (借助几何图形之直观性,把这个“全等三角形”倒置,与原图补

成平行四边形,由此引入倒序相加法)

教师活动::

Sn     a1   a2    a3        an2     an1    an

Sn     an    an1    an2         a3   a2    a1

2Sn  (a1  an )  (a2  an1)  (a3  an2 )  (an2  a3 )  (an1  a2 )  (an  a1)


由性质“若     m  n  p  q ,则 am  an  ap  aq ”可得:
                               n(a     a  )
2S     n(a    a  )    S         1    n   (等差数列前      n 项和公式)
   n        1     n        n         2

【设计意图】(1)数学问题的解决讲究最优化原则,因此引导让学生体会到数学方法

的多样性,但需要寻求高效率的方法;

(2)倒序相加求和法是数列求和常用方法之一,方法比公式本身更为重要,也为以后

数列求和的学习做好铺垫;

(三)公式理解和深化
            n
公式一、    S   (a  a )
         n  2  1  n

问题  1:此公式中有哪些变量,已知哪些量可求另外量?

教师活动:引导学生找出变量

学生活动:观察公式,找出变量。


活动预设:此公式中,共有四个变量:                 Sn ,n,a1,an ,可知三求一。

【设计意图】让学生从变量上理解公式,从形式上初步了解如何由已知探求未知,在头

脑中初步建构公式的适用情况。

问题  2:此公式还可进行怎样的变形?


教师活动:引导学生从          an 下手对公式进行变形,投影学生的变形过程。
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学生活动:尝试对公式进行变形。
                          n(n 1)
活动预设:公式二、         S  na       d
                   n    1    2
【设计意图】(1)让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁,运用旧知巩固新知,利用

旧知得出新知;

(2)体会知识之间的整体性和关联性,感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。

问题  3:观察、对比公式一、二,你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选?

教师活动:引导学生从两个公式中的变量进行总结。

学生活动:总结出两公式的区别及适用情况。


活动预设:(1)在两个公式,五个变量中:                   a1,n,d,an , Sn ,可知三求二


(2)若已知     an ,优先选用公式一,若已知           d ,优先选用公式二。

【设计意图】通过两公式的对比研究,可进一步加深学生对公式的记忆,公式一、二的

区别可提高学生的做题速度和质量,再一次体现了数学的简洁美和精准性。

(四)公式应用、反馈评价

课堂练习之“争分夺秒”:

 例1、在等差数      列中:

  (1)已知,a1 , 1,4.求5 Sd  0.7 an  32 n;

  (2)已知,d ,3,求an  20 Sn  65  a1和n;

五个元素 a1, an, n, d, Sn ,知 三 求 二

你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗?

变式训练:

(1)a1  20,an   54, sn  999,求d,n
例 2.等差数列-10,-6, -2,2,…前多少项和是                   54?

解:∵a1=-10,d=-6-(-10)=4

     ∴-10n+[n(n-1) /2] ×4=54

     解得  n=9,n=-3(舍)

     ∴前  9 项的和是    54
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   变式训练:求等差数列          13,15,17,…81     的各项和

   例 3 已知一个等差数列的前          10 项的和是    310,前   20 项的和是    1220,由此可以确定求其

   前 n 项和的公式吗? 
                n(n 1)
    S    na         d   又S      310,  S    1220
       n     1     2           10           20

                                a1  4
   10a1  45d    310         
                              d  6
   20a1  190d   1220

   S    4n    n(n1)63n2       n
       n            2
    教师活动:分析解决问题,组织学生交流、讨论,再进行公式的应用。

   【设计意图】透过此题,培养学生 熟练地选取恰当的公式进行求解。
   六、布置作业

      1.课本   P46 习题 2.3,第   1 题(1)(3)
   七、板书设计

                                    3.3 等差数列前       n 项和
       一、等差数列前     n 项和:
                                  四、课堂练习

       Sn  a1  a2  an

       二、公式的推导
       方法:倒序相加法
       三、深化公式
       公式  1、
       公式  2、
       变形:            
                       (主板书)
                                                  (副板书)               (辅助性板书)

   八、教学反思

       “等差数列前      n 项和”的推导不只一种方法,本节课是通过介绍高斯的算法,探究

   这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方法反映了等差数列的本质,可以进一步

   促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思
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路.本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.为了突

破这一难点,在教学中采用了以问题驱动的教学方法,设计的三个问题体现了分析、解

决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼方法,再试图运用这一方法解决一般问

题.在教学过程中,通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究,尤其是借助图

形的直观性,学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了.
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