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广东省揭阳市2017-2018学年度学业水平考试数学(理科)

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揭阳市     2017-2018   学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说
一、选择题
    题序       1      2     3      4      5     6      7      8      9     10     11    12
    答案       D     A      C      A      B     C      A      C     B      C      D      C

解析(12)由     f (x)  f (4  x) 知函数 y  f (x) 的图象关于直线   x  2 对称,且函数     y | x2  4x 1| 的图象也关于直

                                                          n
线      对称,则两个函数图象的交点两两关于直线                       对称,故              .
  x  2                                     x  2          xi  2n
                                                         i1
二、填空题
        题序               13                 14                15                 16
        答案               2                 1               ①②④                  5
                                            3                                    2
                    1
解析(16)    a  1 , b  ,设  B(0, 1) ,| PQ || PB | 1(当点 Q 在 BP 上时取“=”),|       PF | 2a | PF | ,
                    2                                                           1          2
                                         3      5
| PQ |  | PF | | PB |  | PF 1| | BF | 1  1  ,当点 Q、P 在  BF2 上时取“=”.
           1            2         2      2      2
三、解答题
                                               a   a
(17)解:(Ⅰ)由        a  a  3 得数列{a   }的公差    d  6   3 1,---------------------------2 分
                   6   3           n              3
                                         3
      由 a  a  8, 得 2a  5d  8 ,解得 a     ------------------------------------------------4 分    
         2   5        1               1  2
                 n(n 1)    n(n  2)
      ∴ S  na         d         ;----------------------------------------------------------6 分
         n    1     2          2
                  1      2      1    1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得                            ;  -------------------------------------------------7 分    
                  Sn  n(n  2)  n  n  2

       ∴Tn  b1  b2  b3  bn
                 1    1  1        1    1     3
             (1 )  (   )  (       )  (1 2   2n1)  -------------------8 分
                 3    2  4        n   n  2  2
                 1  1       1    1  1      1    1     1     3  2n 1
             (1        )  (                 )         -------10 分
                 2  3       n    3  4      n   n 1  n  2  2   2 1
              3   1      1    3
                           (2n 1)
              2  n 1  n  2  2
                      1      1
             32n1          .-----------------------------------------12 分
                     n 1  n  2
(18)证明:(Ⅰ)取         AD 的中点   O ,连  OB  、 OP ,---------1 分                P
     ∵ BA   BD , EA  ED ,即   PA  PD ,
     ∴ OB   AD 且 OP   AD ,-----------------------------------3 分
                                                                     O
     又 OB   OP  O ,∴  AD  平面   BOP ,------------------5 分 A                    D

     而 PB   平面  BOP  ,                                                       C
     ∴ PB   AD ;-----------------------------------------------------6 分 B
(Ⅱ)解法     1:在图   4(2)中,∵OP=1,OB=2,

     OP2  OB2  5  PB2 ,∴ PO   OB ,-------------------------------------7 分

     ∴OP、OB、OD     两两互相垂直,
     以 O 为坐标原点,OB       所在的直线为      x 轴建立空间直角坐标系如图示,
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     则 A(0,,1 0,), B,(2,0 0) D(0,1 0,),,P(,0 0 1) ,                     z
                                                              P
    DP   (0,1,1),,A,P  (0 11) , BP  (2,0,1) ,
      
    设            为平面       的一个法向量,则
      m  (a,b,c)      PAB                                                         D
                                                             A         O               y
        
      AP m  0  b  c  0
    由                                                                  C
      BP m  0  2a  c  0                                    B
                                                             x
    令 a 1, 则得 c  2,b  2 ,∴ m  (1,2,2) ,---------------------------10 分
                                                   2  2        2  2
    设 PD 与平面   PAB  所成角为    ,则   cos(  )                         ,---11 分
                                      2        2  1 (2)2  22  3
            2 2                                   2  2
   故 sin      ,即  PD 与平面   PAB  所成角的正弦值为            .--------------------12 分
             3                                     3
(19)解:(Ⅰ)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;
   乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.                    -----------------------------------------2 分
(Ⅱ)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:
     5   1                   3
         ,--------------3 分;   0.12 ,---------------------------------------------------4 分
    25   5                  25
                                                    1            3
   故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为                         (或   0.2)和    (或   0.12).-----5 分
                                                    5            25
                                                              1
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,从甲种棉花中任取                1 根,其纤维长度为二级的概率为               ,
                                                              5
                      1   4
    不是二级的概率为1             ,
                      5   5

    依题意知    的可能取值为:0,1,2,3,4.
                 4    256                            1   4     256
    又 P(  0)  ( )4    (或  0.4096),  P( 1)  C1  (  )3     (或  0.4096),
                 5    625                          4  5  5     625
                   1     4    96                               1    4   16
    P(  2)  C 2 ( )2 ( )2   (或  0.1536),  P(  3)  C3 () 3  =    (或  0.0256),
               4   5     5    625                          4   5    5  625
               1     1
    P(  4) () 4 =    (或  0.0016)---------------------------------------10 分
               5    625
    故 的分布列为:
                                                                                                     1   4
             0                1                2                3                4          E  4   
                                                                                                     5   5
          256               256              96               16                1            (或
P( )         (或               (或               (或               (或               (或
          625               625              625              625              625           0.8 ).
          0.4096)           0.4096)          0.1536)          0.0256)          0.0016)       ------
                                                                                             ------
-------------------------------------12 分

(20)解:(Ⅰ)设        P(x0 , y0 ) (x0  2) , M (x, y) ,------------------------------------------1 分


      由 AP    2 AQ  得则  x0  x, y0  2y ,---2 分
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                                                                   x 2  y 2
      ∵点  P 在圆  x2  y2  4 上,  即 x2  y2  4 ,∴ x2  ( 2y)2  4 ,即        1, 
                                   0   0                           4    2

                          x 2  y 2
     ∴点  Q 的轨迹   C 方程为           1(  x  2 ).--------------------------------------5 分
                          4    2


(Ⅱ)设    M (x1 , y1 ) , N(x2 , y2 ) ,若直线 l 与 x 轴平行,

     则 MN  的中点在    y 轴上,与已知矛盾,所以          k  0 ,------------------------------------6 分
                      x 2 y 2
     把 y  kx  m 代入         1,得  (2k 2 1)x 2  4kmx  2m 2  4  0 ,-----7 分
                      4    2

     则   16k 2 m 2  4(2k 2 1)(2m 2  4)  8(8k 2  4  m 2 ) ,

     由   0 ,得  4(2k 2 1)  m 2 ,-------------------------------------------------------8 分

        x  x     2km
     由  1    2         1,得   2km  2k 2 1 ,---------------------------------9 分
          2     2k 2 1

     所以16k   2 (2k 2 1)  4k 2 m 2  (2k 2 1) 2 ,解得14k 2  1 ,

                               14     14
     所以  k 的取值范围是      (,     )  (   ,  ) .--------------------------------12 分
                              14      14
(21)解:(Ⅰ)∵函数          f (x) 的定义域为   (0,  ) ,
                    ax 1             1
      f '(x)  a ln x     e  a ln x   a  e ,
                      x               x
                      1                  a   1
      设 g(x)  a ln x   a  e ,则 g'(x)      ,
                      x                  x   x 2
     当 a  0 时, g'(x)  0 ,得函数   g(x) 即 f '(x) 在 (0,  ) 上单调递减,
          1
     又  f '( )  a  e  a  e  0 ,
          e
                1                       1
     ∴当  x  (0, ) 时,  f '(x)  0 ,当 x  ( ,  ) 时, f '(x)  0 ,
                e                       e
                       1                 1
     因此函数     f (x) 在 (0, ) 上单调递增,在    (  ,  ) 上单调递减,
                       e                 e
                   1     a
     得  f (x)   f ( )    3,另由题意知      f (x)   0 ,
            max    e     e                    max
     解得  a  3e ,
     ∴a 的取值范围是      (3e, 0] ;
               ax 1          1
(Ⅱ)由    g'(x)        0 得 x   ,
                 x 2          a
                       1                       1
     ∴ g(x) 即 f '(x) 在 ( ,  ) 上单调递增,在     (0, ) 上单调递减,
                       a                       a
                    1
     得  f '(x)  f '( )  a ln a  2a  e ,
            min     a
    设 h(x)  x ln x  2x  e ( 0  x  e ),
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    由 h'(x)  ln x 1  0 ,得 0  x  e ,

    ∴ h(x) 在 ( 0, e] 上单调递增,得    h(x)  h(e)  0 ,因此 f '(x) min  0 (仅当 a  e 时取“=”),

    ①当  a  e 时,  f '(x) min  0 ,得 f '(x)  0 ,
    ∴ f (x) 在 (0,  ) 上单调递增,又     f (e)  ae 1 e 2 1  0 ,∴函数 f (x) 仅有一个零点,为     e;
                                                e        e
                                  1                     
    ②当  0  a  e 时, f '(x)   f '( )  0 ,又 f '(e a )  a  e a  0 , 
                          min     a
               1                     1                        1   1
    ∴存在   x    ,使   f '(x )  0 ,又 f '( )  a  e  a  e  0 ,而  ,
           2   a         2           e                        e   a
              1                                   1
    ∴当  x  (0, )  ( x ,  ) 时, f '(x)  0 ,当 x  ( , x ) 时, f '(x)  0 ,
              e      2                            e  2
                      1                            1
    因此函数    f (x) 在 (0, ) 和 ( x ,  ) 上单调递增,在   (  , x ) 上单调递减,
                      e      2                     e  2
        1     a              e   e
    又 f ( )    3  0 , f (e a )  1  0 ,∴函数 f (x) 仅有一个零点,又       f (e)  (a  e)  e  0 ,
        e      e                 a

    因此这个零点大于        e,
    综上所述,函数       f (x) 仅有一个零点,不小于        e.
选做题

(22)解:(Ⅰ)由曲线         C1 的参数方程知,       C1 是以原点   O 为圆心,      2 为半径的圆的上半圆,----2        分

   其极坐标方程为          2  0, ;-----------------------------------------4 分

                                             2
(Ⅱ)联立方程          2  0, ,                    ,得 sin 2  cos 2  0 ,-----5 分
                                      1 sin 2  cos 2

    于是  tan 2 1, 2 0,2 ,--------------------------------------------------------6 分
                     5                    5
    解得  2    或 2     ,即       以及        ---------------------------------------8 分
             4        4       M   8      N   8
                          
      故 MON           .------------------------------------------------------------------10 分
                  N   M   2
(23)解:(Ⅰ)       f (2) | a  2 |  | a  2 | 3 --------------------------------------------------------1 分
     ①当   a  2 时,得   a  2  a  2  3,无解;--------------------------------------------2 分
                                                  3       3
     ②当    2  a  2 时,得 a  2  a  2  3 ,解得 a  ,所以      a  2 ;---------3 分
                                                  2       2
     ③当   a  2 时,得  a  2  a  2  3 ,恒成立;-----------------------------------------------4 分
                           3
     综上知,a    的取值范围为      (  ,  ) .------------------------------------------------------------5 分
                           2
        1    1        1      1 a 2  |1 a 2 |
(Ⅱ)   f ( ) |  a |  |  a |            ,---------------------------------------------6 分
        a    a        a        | a |   | a |
                              1    1 a 2 1 a 2  2a 2
     当| a | 1时,1 a 2  0 , f ( )                   2 | a | ,-------------------7 分
                              a     | a |   | a |  | a |
     | f (x) ||| x  a |  | x  a ||| x  a  (x  a) || 2a |,---------------------------------------9 分
          1
    所以  f ( ) | f (x) |.------------------------------------------------------------------------------10 分
          a
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