2017_2018版高中数学第一章算法初步疑难规律方法学案苏教版必修3

                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                             第一章 算法初步


                                1　算法概念解读

1．对算法含义的理解
(1)算法是机械的
算法的设计要“面面俱到”，不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，
但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，
便于把具体过程交给计算机去完成．
(2)算法是普遍存在的
实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的
相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．
(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的
算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求
二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．
例 1 现有  9 个乒乓球，只有其中一个重量稍轻，请写出找到较轻乒乓球的一个算法．
解　算法如下：
S1　将  9 个乒乓球分成三组，每组          3 只．
S2　将两组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的小的乒乓球在另一组，执行                                 S3，若
不平衡，则较轻的小球在较轻的一组，执行                  S3.
S3　取出含较轻小球的一组，任取两球放在天平上，若左右不平衡，则较轻的小球找到；若
天平平衡，则另一只是较轻的小球．
2．算法与数学问题解法的区别与联系
(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二
元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤．同时指出，这
样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算
法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类
问题的一般算法解决．
(2)区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法
通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
例 2 写出解方程     x2－2x－3＝0   的一个算法．
分析　本题是求一元二次方程解的问题，方法很多．要注意设计算法时算法的逻辑性和有穷
性．
解　算法    1：利用配方法设计算法如下：
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

S1　移项，得     x2－2x＝3.①
S2　①两边同时加       1，并配方，得(x－1)2＝4.②
S3　②式两边开方，得         x－1＝±2.③
S4　解③得    x＝3 或  x＝－1.
算法  2：利用公式法设计算法如下：
S1　计算方程的判别式，判断其符号              Δ＝22＋4×3＝16>0.
S2　将  a＝1，b＝－2，c＝－3       代入求根公式      x＝
－b ± b2－4ac

     2a     ，得  x1＝3，x2＝－1.
 
                              2　流程图画法全知晓

1．画流程图的基本步骤
第一步，设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以画流程图前，首先写出相应的
算法步骤，并分析算法需要用哪种基本算法结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成．
第二步，把算法步骤转化为对应的图框，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个
将算法“细化”的过程．
第三步，将所有步骤的图框用流程线连接起来并加上终端框，得到表示算法的流程图．
2．画流程图的规则
(1)使用标准的图形符号．
(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向来画．
(3)除判断框外，大多数图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一
个退出点的符号．
(4)在图形符号内描述的语言要简练清楚．
3．典例分析
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构．若一个算法由若干个依次
执行的步骤组成，则在画流程图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉及
到顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述．
(2)选择结构
设计流程图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引
入选择结构．
例 1 如图，在边长为       4 的正方形    ABCD 的边上有一点     P，沿着    BCDA 的方向由点    B 向点  A 运动，
设点  P 运动的路程为      x(099”，同时调换“Y”、“N”的位置完成(或是图                        2 中作类似的变换)
．同学们一定要在理解的基础上，牢记两种循环结构的条件和“Y”、“N”的位置．同一算
法中，当型循环和直到型循环判断框中的条件恰恰相反.

 
                         5　走出流程图中的误区

1．忽视选择结构中“N”的意义导致错误

例 1 已知  x，y  满足  y＝Error!画出给出     x 求 y 的流程图．
错解　流程图如图所示：
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


错解剖析　判断框中         0≤x≤1  处应填   x≤1，因为“N”的意义就是指            x<0 的反方面，即表示
x≥0，再写    x≥0 则画蛇添足．
正解　流程图如图所示：


2．循环结构忽视初始值和循环条件
例 2 设计一个计算      1×2×3×…×40     的值的流程图．
错解　流程图如图所示：


错解剖析　在给变量赋初值时一定要注意与题目中的已知相对应，同时还要注意是要求和还
是求积．一般来说，在解连加问题时存放累加和的变量初值常取                           0，而在解连乘问题时，存
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

放累乘积的变量初值常取           1.另外，循环终止条件的确定与流程图中的各变量的赋值顺序有
关，因此确定循环终止条件时不应只看已知条件．
正解　流程图如图所示：


                            6　画流程图的“三抓”

1．抓特征
组成任何一个流程图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”．“四框”即起止框、
输入(出)框、处理框、判断框．“一线”即流程线，任意两个图框之间都存在流程线．“文
字说明”即在图框内加以说明的文字、算式等，这是每个流程图不可缺少的内容．
2．明规则
流程图的画法规则是：①用标准，即使用标准的图形符号；②按顺序，即流程图一般按照从
上到下、从左到右的顺序画；③看出入，即大多数图框只有一个入口和一个出口，判断框是
唯一具有两个出口的图框，选择结构中要在出口处标明“Y”或“N”；④明循环，即循环结
构要注意
变量的初始值及循环终止条件；⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；
⑥简说明，即在图框内的描述语言要简练清晰．
3．依步骤
画流程图的总体步骤是：第一步，先设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以在
画流程图前，首先应在稿纸上写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪些基本算法结构；第
二步，再把算法步骤转化为对应的流程图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一
个将算法“细化”的过程．
例　某商场进行优惠促销：若购物金额                x 在 500 元以上(不包括      500 元)，则全部货款打       8 折；
若购物金额     x 在 300 元以上(不包括     300 元)500 元以下(包括     500 元)，则全部货款打        9 折；
否则，不打折．写出算法并画出流程图，要求输入购物金额                         x 元，能输出实际交款额．

分析　由题意，实际交款额            y 与购物金额    x 之间的函数关系是        y＝Error! 
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

因为它需对     x 进行三次判断，所以算法含有两个选择结构，写出算法步骤如下．
解　算法如下：
S1　输入购物金额       x.
S2　判断   x≤300 是否成立．若是，则         y←x，执行     S4；否则，进入      S3.
S3　判断   x≤500 是否成立．若是，则         y←0.9x；否则，y←0.8x.
S4　输出   y，算法结束．
画法步骤　①画顺序结构图，即起止框及输入框，并用流程线连接(如图中①)；②画选择结
构图，即画判断框，里面填写“x≤300”(如图中②)．对于“Y”流向画处理框并填入
“y←x”，对于“N”流向下一个判断框；③再画选择结构图，即画判断框，里面填写
“x≤500”，对于“Y”流向画处理框并填入“y←0.9x”，对于“N”流向画处理框并填入
“y←0.8x”(如图中③)；④画一个总的输出框并输出                   y，以及起止框表示算法结束(如图中
④)．最后，合成整个流程图．