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2017_2018版高中数学第一章算法初步疑难规律方法学案苏教版必修3

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                             第一章 算法初步


                                1 算法概念解读

1.对算法含义的理解
(1)算法是机械的
算法的设计要“面面俱到”,不能省略任何一个小小的步骤,有时可能要进行大量重复计算,
但只要按步骤一步一步地执行,总能得到结果.算法的这种机械化的特点,在设计出算法后,
便于把具体过程交给计算机去完成.
(2)算法是普遍存在的
实际上处理任何问题都需要算法,如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准,邮寄物品的
相关手续,求一个二元一次方程组的解等等.
(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的
算法实际上是解决问题的步骤和方法,求解问题的出发点不同,就会得到不同的算法.如求
二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法,但不同的算法可能会有“优劣”之分.
例 1 现有  9 个乒乓球,只有其中一个重量稍轻,请写出找到较轻乒乓球的一个算法.
解 算法如下:
S1 将  9 个乒乓球分成三组,每组          3 只.
S2 将两组分别放在天平两边,若天平平衡,则较轻的小的乒乓球在另一组,执行                                 S3,若
不平衡,则较轻的小球在较轻的一组,执行                  S3.
S3 取出含较轻小球的一组,任取两球放在天平上,若左右不平衡,则较轻的小球找到;若
天平平衡,则另一只是较轻的小球.
2.算法与数学问题解法的区别与联系
(1)联系:算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系.如教材中由具体的二
元一次方程组的求解过程(解法)出发,归纳出了二元一次方程组求解的步骤.同时指出,这
样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组,这些步骤就构成了二元一次方程组的算
法.算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可利用这类
问题的一般算法解决.
(2)区别:算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称,也可理解为数学中的“通法
通解”;而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体的解题过程.
例 2 写出解方程     x2-2x-3=0   的一个算法.
分析 本题是求一元二次方程解的问题,方法很多.要注意设计算法时算法的逻辑性和有穷
性.
解 算法    1:利用配方法设计算法如下:
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S1 移项,得     x2-2x=3.①
S2 ①两边同时加       1,并配方,得(x-1)2=4.②
S3 ②式两边开方,得         x-1=±2.③
S4 解③得    x=3 或  x=-1.
算法  2:利用公式法设计算法如下:
S1 计算方程的判别式,判断其符号              Δ=22+4×3=16>0.
S2 将  a=1,b=-2,c=-3       代入求根公式      x=
-b ± b2-4ac

     2a     ,得  x1=3,x2=-1.
 
                              2 流程图画法全知晓

1.画流程图的基本步骤
第一步,设计算法,因为算法的设计是画流程图的基础,所以画流程图前,首先写出相应的
算法步骤,并分析算法需要用哪种基本算法结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成.
第二步,把算法步骤转化为对应的图框,在这种转化过程中往往需要考虑很多细节,是一个
将算法“细化”的过程.
第三步,将所有步骤的图框用流程线连接起来并加上终端框,得到表示算法的流程图.
2.画流程图的规则
(1)使用标准的图形符号.
(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向来画.
(3)除判断框外,大多数图形符号只有一个进入点和一个退出点,判断框是唯一具有超过一
个退出点的符号.
(4)在图形符号内描述的语言要简练清楚.
3.典例分析
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构,是任何一个算法都离不开的结构.若一个算法由若干个依次
执行的步骤组成,则在画流程图时,可直接由顺序结构完成.因为在其他的结构中都会涉及
到顺序结构,所以关于顺序结构的画法,在此不再单独叙述.
(2)选择结构
设计流程图时,若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题,则需要用到判断框,引
入选择结构.
例 1 如图,在边长为       4 的正方形    ABCD 的边上有一点     P,沿着    BCDA 的方向由点    B 向点  A 运动,
设点  P 运动的路程为      x(099”,同时调换“Y”、“N”的位置完成(或是图                        2 中作类似的变换)
.同学们一定要在理解的基础上,牢记两种循环结构的条件和“Y”、“N”的位置.同一算
法中,当型循环和直到型循环判断框中的条件恰恰相反.

 
                         5 走出流程图中的误区

1.忽视选择结构中“N”的意义导致错误

例 1 已知  x,y  满足  y=Error!画出给出     x 求 y 的流程图.
错解 流程图如图所示:
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错解剖析 判断框中         0≤x≤1  处应填   x≤1,因为“N”的意义就是指            x<0 的反方面,即表示
x≥0,再写    x≥0 则画蛇添足.
正解 流程图如图所示:


2.循环结构忽视初始值和循环条件
例 2 设计一个计算      1×2×3×…×40     的值的流程图.
错解 流程图如图所示:


错解剖析 在给变量赋初值时一定要注意与题目中的已知相对应,同时还要注意是要求和还
是求积.一般来说,在解连加问题时存放累加和的变量初值常取                           0,而在解连乘问题时,存
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放累乘积的变量初值常取           1.另外,循环终止条件的确定与流程图中的各变量的赋值顺序有
关,因此确定循环终止条件时不应只看已知条件.
正解 流程图如图所示:


                            6 画流程图的“三抓”

1.抓特征
组成任何一个流程图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”.“四框”即起止框、
输入(出)框、处理框、判断框.“一线”即流程线,任意两个图框之间都存在流程线.“文
字说明”即在图框内加以说明的文字、算式等,这是每个流程图不可缺少的内容.
2.明规则
流程图的画法规则是:①用标准,即使用标准的图形符号;②按顺序,即流程图一般按照从
上到下、从左到右的顺序画;③看出入,即大多数图框只有一个入口和一个出口,判断框是
唯一具有两个出口的图框,选择结构中要在出口处标明“Y”或“N”;④明循环,即循环结
构要注意
变量的初始值及循环终止条件;⑤辨流向,即流程线的箭头表示执行的方向,不可缺少;
⑥简说明,即在图框内的描述语言要简练清晰.
3.依步骤
画流程图的总体步骤是:第一步,先设计算法,因为算法的设计是画流程图的基础,所以在
画流程图前,首先应在稿纸上写出相应的算法步骤,并分析算法需要哪些基本算法结构;第
二步,再把算法步骤转化为对应的流程图,在这种转化过程中往往需要考虑很多细节,是一
个将算法“细化”的过程.
例 某商场进行优惠促销:若购物金额                x 在 500 元以上(不包括      500 元),则全部货款打       8 折;
若购物金额     x 在 300 元以上(不包括     300 元)500 元以下(包括     500 元),则全部货款打        9 折;
否则,不打折.写出算法并画出流程图,要求输入购物金额                         x 元,能输出实际交款额.

分析 由题意,实际交款额            y 与购物金额    x 之间的函数关系是        y=Error! 
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因为它需对     x 进行三次判断,所以算法含有两个选择结构,写出算法步骤如下.
解 算法如下:
S1 输入购物金额       x.
S2 判断   x≤300 是否成立.若是,则         y←x,执行     S4;否则,进入      S3.
S3 判断   x≤500 是否成立.若是,则         y←0.9x;否则,y←0.8x.
S4 输出   y,算法结束.
画法步骤 ①画顺序结构图,即起止框及输入框,并用流程线连接(如图中①);②画选择结
构图,即画判断框,里面填写“x≤300”(如图中②).对于“Y”流向画处理框并填入
“y←x”,对于“N”流向下一个判断框;③再画选择结构图,即画判断框,里面填写
“x≤500”,对于“Y”流向画处理框并填入“y←0.9x”,对于“N”流向画处理框并填入
“y←0.8x”(如图中③);④画一个总的输出框并输出                   y,以及起止框表示算法结束(如图中
④).最后,合成整个流程图.
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