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2018秋新版高中数学北师大版必修4习题:第一章三角函数 1.8.3

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第   3  课时 函数               y=Asin(ωx+φ)的图像与性质习题课
                                              课时过关·能力提升
                 𝜋                                                  𝜋
          𝑛 2𝑥 + 的图像转化为某一个偶函数的图像,只需将𝑦                   = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 的图像(  )
1.要将  y=si (     4)                                            (     4)
          𝜋
        移   个单位长度
A.向左平     4
          𝜋
        移   个单位长度
B.向右平     4
          𝜋
        移   个单位长度
C.向左平     8
          𝜋
        移   个单位长度
D.向右平     8
                  𝜋               𝜋                         𝜋   𝜋           𝜋
           𝑛 2𝑥 + 的图像向左平移         个单位长度即得            𝑛 2 𝑥 + +    = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + = 𝑐𝑜𝑠 
解析:把   y=si (     4)               8               y=si [ (   8)   4]      (    2)       2x 的
图像.因为    y=cos 2x 为偶函数,所以符合题意.
答案:C
                             𝜋   𝜋
                      𝑛 𝜔𝑥 + 在  ,𝜋 上是减少的,则𝜔的取值范围是(  )
2.已知  ω>0,函数    f(x)=si (    4)  [2  ]
  1 5    1 3
 .  , 𝐵. ,
A [2 4] [2 4]
    1
 . 0, 𝐷.(0,2]
C ( 2]
               𝜋   5𝜋 9𝜋                             𝜋   3𝜋 5𝜋
             +   ∈     ,   ,不符合题意                     +   ∈     ,   ,符合题意
解析:ω=2⇒ωx       4  [ 4  4 ]           ,排除  D;ω=1⇒ωx     4   [ 4  4 ]         ,排除  B,C,故选   A.
答案:A
                          𝜋 𝜋
                        在   ,  上是减少的是(  )
3.下列函数中,周期为         π,且   [4 2]
            𝜋
      𝑛 2𝑥 +
A.y=si (    2)
             𝜋
      𝑠 2𝑥 +
B.y=co (     2)
           𝜋
     𝑛 𝑥 +
C.y=si (   2)
            𝜋
      𝑠 𝑥 +
D.y=co (    2)
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              𝜋                      𝜋 𝜋
        𝑛 2𝑥 + = 𝑐𝑜𝑠          在   , 上是减少的
解析:y=si  (    2)     2x 的周期为    π,且  [4 2]         .
答案:A
4.方程  sin 2x=sin x 在区间(0,2π)内解的个数是(  )
A.1            B.2
C.3            D.4
解析:函数    y=sin 2x 与 y=sin x 的图像交点个数等于方程       sin 2x=sin x 的解的个数.在同一坐标系内作
出两个函数     y=sin 2x,y=sin x 在(0,2π)内的图像,如图.由图像不难看出,它们有          3 个交点.所以方程      sin 
2x=sin x 在(0,2π)内有 3 个解.故选  C.


答案:C
5.已知函数    f(x)=3sin(3x+φ)在区间[a,b]上是增加的,且     f(a)=-2,f(b)=2,则 g(x)=2cos(2x+φ)在[a,b]上(  )
A.是增加的
B.是减少的
C.可以取得最大值
D.可以取得最小值
解析:由   f(x)在[a,b]上是增加的及    f(a)=-2,f(b)=2 知,g(x)在[a,b]上先增后减,可以取得最大值.
答案:C

★6.将函数   f(x)=sin 2x 的图像向右平移
         𝜋                                                                        𝜋
𝜑 0 < 𝜑 < 个单位长度后得到函数𝑔(𝑥)的图像.若对满足|𝑓(𝑥1)        ‒ 𝑔(𝑥2)| = 2的𝑥1,𝑥2,有|𝑥1 ‒ 𝑥2|𝑚𝑖𝑛 = ,则𝜑 = (  )
 (       2)                                                                        3
  5𝜋 𝜋
 .  𝐵.
A 12  3
  𝜋 𝜋
 . 𝐷.
C 4  6
解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).

    因为|f(x1)-g(x2)|=2,可知 f(x1)和 g(x2)分别为 f(x)和 g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).
               𝜋                   𝜋
             =  + 2𝑘𝜋(𝑘        ‒   + 2𝑚𝜋(𝑚
    不妨令   2x1  2       ∈Z),2x2-2φ=  2        ∈Z),
            𝜋                       𝜋
          =   ‒ 𝜑 + (𝑘 ‒ 𝑚)𝜋,又 =  ,所以当
    则 x1-x2 2               |x1-x2|min 3    k-m=0 时,即  k=m,又 0<φ
  𝜋   𝜋     𝜋       𝜋
<  ,则有   ‒ 𝜑 = ,解得𝜑 = .故选
  2    2      3        6    D.
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答案:D
7.把函数   y=co
      3𝜋                        𝜋
𝑠 2𝑥 +  的图像上的各点向右平移             个单位长度,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的5倍,最后把整个图像向下平移4个单位长度,所得图像对应的函数解析式为 . 
(      5 )                       2
                         𝜋   3𝜋
                  𝑠 2 𝑥 - +
解析:第一步得       y=co [ (   2)   5  ]
             2𝜋
       𝑠 2𝑥 -  ;
    =co (     5 )
                        2𝜋
                  𝑠 4𝑥 - ;
    第二步得     y=co  (    5 )
                         2𝜋
                   𝑠 4𝑥 - ;
    第三步得     y=5co  (    5 )
                      2𝜋
                 𝑠 4𝑥 -  ‒ 4.
    最后得    y=5co  (    5 )
                2𝜋
          𝑠 4𝑥 -  ‒ 4
答案:y=5co   (     5 )
               𝑥                                           9𝜋
             𝑠 + 𝜑 (0 < 𝜑 < 𝜋)的图像的一条对称轴为直线𝑥          =    ,则函数𝑦  = 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 ‒ 𝜑)(0
8.若函数   y=co  (3    )                                        4                       ≤x<π)的
递增区间为           . 
             𝑥                                 9𝜋
           𝑠  + 𝜑 的图像的一条对称轴为直线              =   ,
解析:∵y=co    (3    )                         x   4
      1   9𝜋
    ∴   ×    + 𝜑 = 𝑘𝜋,𝑘
      3   4            ∈Z,
             3𝜋
           ‒    ,𝑘
    ∴φ=kπ     4  ∈Z.
                   𝜋
                 =   .
    又  0<φ<π,∴φ    4
            𝜋     𝜋      𝜋      𝜋       3𝜋
          ‒      ‒       +  ,得   ‒        +    ,𝑘
    由  2kπ  2≤2x   4≤2kπ   2   kπ  8≤x≤kπ    8   ∈Z.
    ∵0≤x<π,
           3𝜋 7𝜋
             或
    ∴0≤x≤  8    8 ≤x<π.
       3𝜋   7𝜋
     0,   和     ,𝜋
答案:[    8 ]  [ 8  )
9.已知函数    f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期内的图像如图所示,则直线                      y

=  3与函数𝑓(𝑥)图像的所有交点的坐标为     . 
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                      7      𝜋            2𝜋  1           1
                    =  𝜋 ‒ -   = 4𝜋,则𝜔 =   =   ,故      𝑛  𝑥 + 𝜑 .
解析:由图像得       A=2,T   2    ( 2)             𝑇  2   f(x)=si (2     )
      1     𝜋
    ∵   ×  -   + 𝜑 = 0,
      2   ( 2)
          𝜋
        =  ,
    ∴φ    4
               1    𝜋
             𝑛  𝑥 +  .
    ∴f(x)=2si (2    4)
                1    𝜋  1    𝜋        𝜋        1    𝜋        2
    由  3 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + ,得 𝑥 + = 2𝑘𝜋 + (𝑘   或   𝑥 + = 2𝑘𝜋 + 𝜋(𝑘
               (2    4)  2    4         3   ∈Z)   2    4         3    ∈Z).
              𝜋                 5
            +   (𝑘            +  𝜋(𝑘
    ∴x=4kπ    6   ∈Z)或   x=4kπ   6   ∈Z).则所有交点的坐标
        𝜋           5
为 4𝑘𝜋 + , 3 , 4𝑘𝜋 + 𝜋, 3 (𝑘
  (      6   ) (     6     )  ∈Z).
           𝜋           5𝜋
     4𝑘𝜋 + , 3 , 4𝑘𝜋 + , 3 (𝑘
答案:(       6    ) (      6    )  ∈Z)
10.某同学用“五点法”画函数            f(x)=Asin(ωx+φ
            𝜋
) 𝜔 > 0,|𝜑| < 在某一个周期内的图像时,列表并填入部分数据,如下表:
(           2)
                                                     𝜋       3𝜋
               ωx+φ                              0        π            2π
                                                     2         2
                                                     𝜋       5𝜋
               x
                                                     3         6
               Asin(ωx+φ)                        0   5        -5       0

(1)请将上述数据补充完整,并直接写出函数                   f(x)的解析式;
(2)将 y=f(x)图像上所有点向左平
  𝜋
移  个单位长度,得到𝑦       = 𝑔(𝑥)的图像,求𝑦 = 𝑔(𝑥)的图像离原点𝑂最近的对称中心.
  6
                                         𝜋
                                       ‒   .
解(1)根据表中已知数据,解得            A=5,ω=2,φ=    6
    数据补全如下表:
                                                  𝜋           3𝜋
          ωx+φ                            0            π               2π
                                                  2            2
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                                      𝜋     𝜋  7𝜋    5𝜋    13𝜋
          x
                                      12     3   12     6       12
          Asin(ωx+φ)                  0      5   0      -5     0

                            𝜋
                      𝑛 2𝑥 - .
    函数解析式为      f(x)=5si (  6)
                        𝜋
                   𝑛 2𝑥 - ,
    (2)由(1)知 f(x)=5si ( 6)
                     𝜋  𝜋
               𝑛 2 𝑥 + -
    因此  g(x)=5si [ (  6) 6]
             𝜋
       𝑛 2𝑥 + .
    =5si (   6)
    因为  y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
          𝜋                𝑘𝜋 𝜋
        +   = 𝑘𝜋,𝑘      =   ‒   ,𝑘
    令 2x  6      ∈Z,解得   x   2   12  ∈Z,
                            𝑘𝜋 𝜋                                     𝜋
                         为     -  ,0 ,𝑘                           为  -   ,0 .
    即 y=g(x)图像的对称中心        ( 2  12  ) ∈Z,其中离原点      O 最近的对称中心        ( 12  )
★11.已知
  5𝜋                                      𝜋                                                                    𝜋
点    ,2 在函数𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥 + 𝜑) 𝜔 > 0,0 < |𝜑| < 的图像上,直线𝑥 = 𝑥1,𝑥 = 𝑥2是𝑦 = 𝑓(𝑥)图像的任意两条对称轴,且|𝑥1 ‒ 𝑥2|的最小值为 .
  (12 )                      (             2)                                                                    2
(1)求函数  f(x)的递增区间及其图像的对称中心的坐标;
          𝜋     𝜋
      =  𝑥 ≤ 𝑥 ≤ ,𝐵 = {𝑥||𝑓(𝑥) ‒ 𝑚| < 1},若𝐴
(2)设 A  { |4     2}                    ⊆B,求实数    m 的取值范围.
                    𝜋
                   为  ,
解(1)∵|x1-x2|的最小值    2
    ∴最小正周期      T=π,∴ω=2,
                         5𝜋
                      点     ,2 ,
    又函数   f(x)的图像经过     (12  )
             5𝜋                𝜋
        𝑛 2 ×  + 𝜑 = 2      ‒  (𝑘
    ∴2si (   12    )   ⇒φ=2kπ   3  ∈Z).
            𝜋      𝜋              𝜋
           <  , ∴ 𝜑 =‒ ,𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛 2𝑥 - ,
    ∵0<|φ|  2       3          (    3)
       𝜋          𝜋 𝜋                                    𝜋     5𝜋
    令 ‒  + 2𝑘𝜋 ‒  ≤   + 2𝑘𝜋(𝑘                    为 𝑘𝜋 - ,𝑘𝜋 + (𝑘
       2      ≤2x  3  2        ∈Z),得函数   f(x)的递增区间      [   12     12]  ∈Z).令  2x
  𝜋                                         𝑘𝜋 𝜋
‒  = 𝑘𝜋(𝑘                              为    +   ,0 (𝑘
  3      ∈Z),得函数    f(x)图像的对称中心的坐标          ( 2  6  )  ∈Z).
                𝜋  𝜋
              当       时
    (2)∵A⊆B,∴   4≤x≤2   ,|f(x)-m|<1 恒成立,
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                        𝑓(𝑥) < 1 + 𝑚,
                     即     𝑚𝑎𝑥
即 m-1 𝑚 - 1. 
 𝜋   𝜋 𝜋    𝜋  2             𝜋
当      时,     ‒  ≤  𝜋,得    𝑛 2𝑥 -
 4≤x≤2   6≤2x  3   3   1≤2si (   3)≤2,即 f(x)∈[1,2],
  2 < 𝑚 + 1,
∴
 { 1 > 𝑚 - 1 ⇒ 1
	
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