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人教版高中数学选修2-3“二项式定理”教学设计

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高中数学审核员

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 《二项式定理》教学设计      袁维儒

 一、教学目标

  

 1.知识与技能:

  

    (1)能利用计数原理证明二项式定理; 

    (2)理解并掌握二项式定理,并能简单应用.

  

 2.过程与方法:

  

    通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与知识迁移的能力,体
 会从特殊到一般的思维方式,并形成从特殊到一般的归纳,然后证明,最后再应用的思想意识.

  

 3. 情感、态度与价值观:  

     

    培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨,感受中国辉煌的
 数学史.

  

 二、教学重点、难点

     

    重点:探究并归纳用计数原理分析                      的展开式的形成过程,并依此方法得到二项式定理.

     

    难点:①展开式中会有哪几种类型的项?②展开式中各项的系数如何确定? 

  

 三、教学方法与工具

     

    为了突破难点,突出重点,我采用化归的思想,将二项展开过程化归到熟悉的有放回取球问题;设计                                            7 个问题串贯穿课
堂主线,启发引导问题的解决;并采用分组合作探究的形式分析解决问题.采用多媒体教学手段.

  

 四、教学过程设计

  

    课堂环节               问题串                     答(预设)                       设计意图

 一、知识回顾          我们学了哪些计数方           枚举法、分类计数原理、分步计                 为选择正确便捷的方法得
                 法?                  数原理、排列、组合                      出各项系数铺垫

 二、创设情境          问题  1:桶里有大小         枚举法:aa ab ba bb     共 4 种      回顾各种计数方法的思维
                 相同,质地相同的                                           过程和解题过程,保障后
                 a、b 两小球,有放回         分步计数原理:第一步,第一次                 面能选取最便捷的方法,
                 地取两次,有几种不           取球有两种方法;第二步,第二                 并且运用该方法能准确、
                 同的取法?请分别用           次取球有两种方法,所以一共              2   快速地得到答案.
                 枚举法、分类计数原             2=4 种.
                 理、分步计数原理进           分类计数原理:第一类,都取
                                    中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                行分析.                a,1  种;第二类,取不同,2          种;
                                    第三类,都取       b,1 种;共    4 种

三、教授新课          问题  2:请将            同:展开的过程就是取小球的过                 取球是同学们极为熟悉的
                                    程.                             例子,解决该问题已经得
                           逐项展                                     心应手,并已深刻理解。
                开并整理,思考问题           异:球    ab、ba 属两种方法,展           将新问题回归到已掌握的
                1 与问题   2 的处理过      开式中的     ab、ba 可合并同类项          知识上,便于新问题的解
                程之间有何联系与区                                          决.
                别?

                                    整理后,各项系数即取球问题中                 初步体会展开式中系数的
                问题  3:将         展   分类记数原理的各类结果数.                  由来.
                开并整理后,各项的
                系数与取球问题有何
                联系?

                问题  4:桶里有大小         枚举法:(略)                        取两次的时候,学生可以
                相同,质地相同的                                           用枚举法在转念间就解决
                ab 两小球,有放回地         分步记数原理:2         2  2=8        问题,所以就会忽视了分
                取三次,有几种不同           分类记数原理:第一类,三次都                 类记数原理和分步记数原
                取法?请分别用枚举                                          理对于解决该问题的优势,
                法、分类计数原理、           不取   b,    种;第二类,任一次           取三次就相对困难,让学
                分步计数原理进行分           取  b,其他两次取     a,              生体会分类记数原理和分
                析.                                                 步记数原理对于解决多次
                                               种;第三类,任两次           取球问题的优越性.
                                    取  b,其他一次取     a, 

                                               种;第四类,全都取

                                    b,    种,即共

                                       +   +   +   =8 种.

                问题  5:谁能最快写                                        再次理解取球过程与展开
                                                                   式的联系,特别是展开式
                出将        展开整理                                     各项的系数与取球过程中
                后的多项式,并说出                                          分类记数原理的联系、各
                各项系数和?                                             项系数和与取球方法总数
                                                                   的联系.

                练习:写出将                                             巩固展开式各项、各项系
                                                                   数及系数和得出的方法.
                      展开并整理后
                的多项式,并说出各
                项系数和??

                                                                   让学生体会从特殊到一般,
                问题  6:将         展                                  归纳并证明的过程.
                开并整理后,有哪些
                项?为什么?

板书              项数:       第一项   第二项    …    第           n+1 项

                项:                            …    

                二项式定理:

                           =     +        + …  + 

                二项式系数:                        …      

                二项式系数和:          +  +…+    =

                                    1.     a 的次数与    b 的次数和为       让学生在理解二项式定理
                问题  7:           展     n;                          得出的过程基础上,熟练
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                开并整理后,各项的           2.       组合数上标与       b 的次数    掌握二项式定理的特点.
                项数、次数有什么规              相同.
                律?你能根据规律归
                纳一个式子,可以用
                来表示其中任一项吗?

板书              项数:       第一项   第二项    …    第           n+1 项

                项:                            …    

                二项式定理:

                           =     +        + …  + 

                二项式系数:                        …      

                二项式系数和:          +  +…+    =

                通项:

四、数学史教育           在我国被称为      贾宪三角     或杨辉三角      ,一般认为是北宋数学家            贾宪所首创.它记
                载于杨辉的《详解九章算法             》(1261)之中.在阿拉伯数学家            卡西的著作《算术之
                钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全
                相同.在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他                     1527 年出版的算术书的封面上刻有
                此图.但一般却称之为          「帕斯卡三角形        」,因为帕斯卡在         1654 年也发现了这个
                结果.无论如何,二项式定理的发现,在我国比在欧洲至少要早                               300 年.1665  年,
                牛顿把二项式定理推广到             n 为分数与负数的情形,给出了的展开式                   .

五、课堂巩固          例        已知二项式                                     二项式定理的应用
                                                                   (知识点的应用)

                (1)请写出它的展
                开式;(2)请写出
                第 4 项的二项式系数;
                (3)请写出第      4 项
                的系数;(4)请写

                出含    项的系数.

                练:已知二项式                                            巩固基本知识、基本概念.


                (1)求展开式第四
                项的二项式系数;
                (2)求展开式第
                4 项的系数;(3)求
                展开式第    4 项;
                (4)求展开式中的
                有理项.

六、课堂提升          变式提升:请说出                                           在理解二项式定理得出的
                                                                   思想方法基础上,运用该
                           的展开                                     思想方法解决新问题,巩
                式中(1)含      项的系                                    固该思想方法(思想方法
                                                                   的应用)
                数;(2)含       项的
                系数.

七、课堂小结          请大家思考:                                             让学生回顾知识形成过程,
                                                                   梳理思路,自我归纳总结,
                1.本节课新学习的基
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                本知识点;                                              形成良好的自主反思习惯

                2.本节课新知识点得
                出用了什么思想方法?

                 

八、作业            1.探究:                                              基本思想方法的应用提升

                         展开并整                                      课堂基本知识点的应用
                理后,有哪些项?

                2.课本  P31  T1~T4

                3.课本  P37  T3,T5

 
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