广东省揭阳市2017-2018学年度学业水平考试数学（文科）试题

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绝密★启用前
            揭阳市       2017-2018     学年度高中毕业班学业水平考试

                                   数学(文科)
                       本试卷共    4 页，满分    150 分．考试用时      120 分钟．
注意事项： 
   1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上.
   2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
   3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
   4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
                                         第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．

（1）集合U      1,2,3,4,5,6， A  1,4,5， B  2,3,4，则 A ðU B等于
   （A）1,4,5,6       （B）1,5        （C）4          （D）1,2,3,4,5

（2）设复数     z 满足 (1 i)z  3 i ，则 z 等于   

   （A）   1 2i       （B）1  2i        （C）1  2i        （D）  1 2i

（3）“   lg a2  lgb2 ”是“ a  b  0 ”的

   （A）充分而不必要条件                （B）必要而不充分条件     
   （C）充要条件                    （D）既不充分又不必要条件
（4）平行于直线      2x  y 1  0 且与圆  x2  y2  5 相切的直线的方程是
  （A）   2x  y  5  0 或 2x  y  5  0   （B） 2x  y  5  0 或 2x  y  5  0

  （C）   2x  y  5  0 或 2x  y  5  0   （D） 2x  y  5  0 或 2x  y  5  0

（5）给出平面      以及直线    m,n ，其中    m,n 为共面直线，下列命题中正确的是
  （A）若    m   ， m  n ，则  n //          （B）若  m // ， n // ，则 m // n
                                                                
  （C）若    m 、 n 与  所成的角相等，则        m // n  （D）若 m   ，  n // ，则 m // n  y
（ ）函数        的部分图象如图        示，则        的解析式可以是
 6       f (x)             1       f (x)                                 2
                                                                         1
                2 2   2                                                               x
   （A）   f (x)  x (x   )              （B） f (x)  xcos x      -π    o   1   π
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   （   ）                             （   ）        2
     C   f (x)  xsin x                   D f (x)  x  cos x 1                 图 1

（ ）已知等比数列           满足               2    ，则数列        的前    项和
 7              an     a2  2a1  4,a4  a7     an     6             开始
为
                                                                      输入  k=1,S=1
   （A）   31          （B）  63         （C）  64       （D）126

                            x  2  0                                  S=S×k   k=k+1
                          
（8）已知实数      x 、 y 满足条件     x  y  3  0 ，则 x  6y 的最大值为
                                                                              是
                          
                          2x  y  3  0
                                                                         否
   （A）   3      （B）  4       （C）18         （D）  40                      输出  lgS

                                                                         结束
（9）右面程序框图        2 是为了求出1     2 3  99100  的常用对数值，               
    那么在空白判断框中，可以填入                                                       图 2
   （A）   k  99    （B）  k  100   （C）   k  99    （D） k  100               
             

（10）记函数     f (x)  2  x  x2 的定义域为   A，在区间[-3,6]上随机取一个数         x，则   xA  的概率是
         2                 1            2             1
   （A）                （B）          （C）          （D）
         3                 3            9             9
                x2  y2
（11）已知双曲线             1（  a 、 b 均为正数）的两条渐近线与抛物线              y2  4x 的准线围成的三角形的
                a2  b2

    面积为     3 ，则双曲线的离心率为

   （A）   2             （B）   3          （C）   6       （D）   2 3

（12）自原点    O 向曲线    f x ln x  2 引切线，切点为    P ；点  A 、 B 分别在   x 轴、  y 轴上，满足
       
    OA  OB  2OP ，则  AOB   的面积为
          1                3               2               2
   （A）                  (B)             (C)             (D)   
         2e                2e              3e              e
                                         第Ⅱ卷

    本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须
做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共            4 小题，每小题        5 分，共    20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的
横线上．
                                     
（13）若向量     a  (1,2),b  (1,log2 x) ，且 a // b ,则 x 的值为       .

（14）如图    3，圆柱   O1 O2 内接于球    O，且圆柱的高等于球         O 的半径，记圆柱
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                                         V1
    O1 O2 的体积为    V1 ,球 O 的体积为    V2 ，则     的值是             .                      图 3
                                         V2
                         
（15）设函数     f (x)  cos(x  ) ，则以下结论:                                         
                         3
                                                        4
     ① f (x) 的一个周期为    2     ②  f (x) 的图象关于直线     x     对称
                                                        3
                                         
    ③  f (x  ) 为偶函数          ④  f (x) 在 ( , ) 单调递减
                                         2
    其中正确的是                    .（请将你认为正确的结论的代号都填上）
（16）某单位用      5 万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第                              n 天的维修保
             n  48
    养费用为          (n  N  ) 元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了                           天.
              10
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分       12 分）

    在  ABC  中,内角  A 、 B 、  C 所对的边分别为      a 、 b 、 c ，已知   2cos(A  B)  4sin Asin B 1．

  （Ⅰ）求角     C 的大小；

                                     15 3
  （Ⅱ）已知     ABC  的周长为15     ，面积为         ,求 ABC  最长边的长度．
                                       4
（18）（本小题满分       12 分）
    从甲、乙两品种的棉花中各抽测了               25 根棉花的纤维长度（单位：mm），               得到如图     4 的茎叶图，整
数位为茎，小数位为叶，如           27.1mm 的茎为    27，叶为   1．
    根据茎叶图给出的数据：
  （Ⅰ）分别估计甲、乙两种棉花纤维长度的中位数；
  （Ⅱ）分别估计甲、乙种棉花纤维长度不低于                    33.1mm
的概率；
  （Ⅲ）对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出一个
不同于（Ⅰ）的统计结论.（只需写出统计结论，不需说明
理由）
                                                                          图  4                                                                          
（19）（本小题满分       12 分）
                                                      E                    P
     如图   5（1）所示，平面多边形          ABCDE  中，

AE=ED，AB=BD，且      AB   5 ， AD   2 ，        A             D      A             D
                                                                              C
AE    2 ， CD 1，  AD   CD ，现沿直线     AD                                  B 5（2）
                                                            C
将 ADE  折起，得到四棱锥        P  ABCD  ，如图   5（2）示．                      

                                                    B
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  （Ⅰ）求证：      PB   AD ；                                图  5（1）
                                               1
  （Ⅱ）若图      5（2）中，已知三棱锥         P-ABD 的体积为      ，求棱锥    C  PBD 的体积．
                                               2
（20）（本小题满分       12 分）
             x2  y2
    已知椭圆           1a  b  0的两个焦点的坐标分别为          (  3,0) 、 ( 3,0) ，并且经过点
             a2  b2
     1
( 3,  ) ． 
      2
   （Ⅰ）求椭圆的方程；
   （Ⅱ）记椭圆左、右顶点分别为              A 、 B ，给出   y 轴上两点    M 0,m和   N 0,n（均不与原点      O 重合）
，且满足直线      AM  和 BN 的交点在椭圆上，试问          x 轴上是否存在一个定点T          ，使得   OMB    OTN   ？若
存在，求出点T      的坐标；否则，说明理由．
（21）（本小题满分       12 分）

    设函数    f (x)  x2  3x  a ln x ，其中 a 为非零实数．

   （Ⅰ）讨论函数        f (x) 的极值点的个数；


   （Ⅱ）若     f (x) 仅有一个极值点     x0 ，解关于   a 的不等式    f (2x0 )  a ．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
（22）（本小题满分       10 分）选修    4-4：坐标系与参数方程
                                               x   2 cos
    在直角坐标系      xOy 中，已知曲线      C1 的参数方程为                 （   为参数，    [0,  ]）；现以
                                                y  2 sin

                                                                        2
原点为极点，      x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线                C  的方程为                        ，
                                                  2             1 sin 2  cos 2


   （Ⅰ）求曲线      C1 的极坐标方程；


   （Ⅱ）设    C1 和 C2 的交点为    M 、  N ，求  MON   的值．

（23）（本小题满分       10 分）选修    4  5：不等式选讲
     已知函数     f (x) | x  a |  | x  a | ，
    （Ⅰ）设     f (2)  3 ，求 a 的取值范围； 
                               1
    （Ⅱ）当|    a | 1时，试比较     f ( ) 与| f (x) |的大小．
                               a
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                               参考答案及评分说明
   一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制订相应的评分细则．
   二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可
视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错
误，就不再给分．
   三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
   四、只给整数分数．
一、选择题
    题序       1     2      3      4     5      6      7      8     9      10    11     12
    答案      B      C      B     A      D      C      B     C      A      B      A      D


解析：（12）设点       P 的坐标为   (x0 , y0 ) ，依题意得 A(2x0 ,0), B(0,2y0 ) ，故 SAOB  2x0 y0 ，由题意知
                       1                    1              1
kOP  f '(x0 ) ，又 f '(x)  ，得 OP 的方程为   y    x ，所以   y0     x0 1，又 y0  ln x0  2 ，得
                       x                    x0            x0
    1                     2
x    ，所以   S     2x y =  ，选（D）. 
 0  e        AOB    0 0  e
二、填空题
      题序                 13                14                 15                16
      答案                  1                 9             ①②④                  1000
                          4                16
                                                 1 2   n  48n
                                                                   50000
 解析（16）设一共用了        n 天，日平均费用为        y 元，则   y        10
                                                            n
  97   n   50000
              ，
  20  20     n
  n    50000
当           , 即 n 1000 时 y 取得最小值.
  20     n
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三、解答题

（17）解：（Ⅰ）由       2cos(A  B)  4sin Asin B 1得 2cos Acos B  2sin Asin B  4sin Asin B 1------

    -------------------------2 分
                            1
     cos Acos B  sin Asin B  ，
                            2
                               1
    即  cosA  B cos(  C)  ，----------------------------------------------4 分
                               2
             1
     cosC  
             2
                          2
   ∵  0  C        ∴ C    ；----------------------------------------------------6 分
                          3
（Ⅱ）在    ABC  中，因   C 最大，故最长边为        c

              1          15 3
    由  S      absin C       ，得  ab 15，-----------------------------------8 分
        A ABC 2            4

     由余弦定理得     c2  a2  b2  2abcosC ，

    ∴  c2  a2  b2  ab  (a  b)2  ab ，--------------------------------------------10 分

    把  a  b 15  c 代入上式得  c2  (15  c)2 15 ，解得 c  7 ，

   即△ABC    最长边的长为      7．------------------------------------------------------------12 分

（18）解：（Ⅰ）由所给的茎叶图知，甲种棉花                   25 根棉花的纤维长度按由小到大排序，排在第                  13 位的是
      30.7mm，即样本的中位数为          30.7mm，故可估计甲种棉花纤维长度的中位数为                   30.7mm；-------
      2 分
      同理，因乙种棉花样本的中位数为               31.8mm，故可估计乙种棉花纤维长度的中位数为                  31.8mm.--
      4 分
（Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度不低于                         33.1 的比率分别为：
     4                          6
         0.16 ，--------------6 分；  0.24 ，---------------------------------------------------8 分
     25                        25
     故估计甲、乙种棉花纤维长度不低于                33.1 的概率分别为     0.16 和 0.24.-------------9 分
（Ⅲ）以下结论供参考：①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花
    的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
    ②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种
棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度
更大）．
    ③乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维

                                                                         P


                                                             A        O           D
                                                                              C
                                                               B
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长度除一个特殊值（35.2）外，也大致对称，其分布较均匀．
    【注：依题意写出一个合理的统计结论给                  3 分】
（19）证明：（Ⅰ）取        AD  的中点   O ，连  OB 、  OP ，---------------1 分
   ∵ BA  BD ，  EA  ED ，即  PA   PD ，
   ∴ OB   AD 且 OP   AD ，------------------------------------------3 分
   又 OB  OP   O ，

   ∴ AD   平面  BOP  ，---------------------------------------------------5 分
   而 PB  平面   BOP ，
   ∴ PB   AD ；-----------------------------------------------------------6 分
（Ⅱ）设三棱锥       P-ABD 的顶点   P 到底面   ABD  的距离为    h，
             1          1
   ∵  S       AD OB     2 2  2 ,----------------------7 分
       ABD  2          2
              1        2    1         3
   由V         S    h   h   ，得  h   ,-----------------9 分
       P ABD 3 ABD   3    2         4
             1          1
   ∵  S      CD  OD    ,-------------------------------10 分
       BCD  2          2
                     1        1  1  3   1
  ∴V        V       S    h =        .---------------12 分
      CPBD   PBCD  3 BCD   3  2  4   8

（20）解：（Ⅰ）依题意得          c   3 ，

                        1             1
     由椭圆的定义得       2a      (2 3)2  ( )2  4 ， a  2 ，-----------------------------------2 分
                        2             2

     又  a2  b2  c2 得 b 1--------------------------------------------------------------------------------3 分

                       x2
     故所求椭圆的方程为             y2 1；----------------------------------------------------------------4 分
                        4
     【其它解法请参照给分】
（Ⅱ）法    1：依题意可知直线        AM  、 BN  的方程分别为：
             m                                      n
     AM  : y  (x  2) -------①------------5 分,  BN : y   (x  2) ，------------②------------6 分
              2                                     2
                                                                   mn
    设  AM 与  BN 的交点为    Q(x , y )(x y  0) ，代入①②并相乘可得        y2     (x2  4)
                            0 0   0 0                         0     4   0

                      2         2
    又点   Q 在椭圆上有     x0  4  4y0 ， 
             mn
    得  y2    （） 4y2 ，整理得    mn 1，---------------------------------------------------------9 分
        0     4      0
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    假设存在点T      t,0符合题意，

                           |OB|  |ON|      2   n            1
    由  OMB    OTN  可得             ，即        ，解得    t   ，----------------11 分
                          |OM|   |OT|      m    t           2

                                    1      1   
   故满足题意的定点T         存在，其坐标为         ,0 或   ,0 ．----------------------------------12 分
                                    2      2   

【法:2：依题意可知直线         AM  、 BN  的方程分别为：
           x   y                             x  y
     AM  :      1-------①------------5 分,  BN :  1，------------②------------6 分
          2   m                             2  n
                                                  2n  2m  2mn 
    解①②联立组成的方程组可得             AM  与 BN 交点坐标为             ,      ，--------7 分
                                                   m  n  m  n 
                     2n  2m       2mn
    代入椭圆的方程得（）（）              2  4      2  4 ，
                       m  n       m  n
    整理得    mn 1，------------------------------------------------------------------------------------9 分
    假设存在点T      t,0符合题意，

                           |OB|  |ON|      2   n            1
    由  OMB    OTN  可得             ，即        ，解得    t   ，-----------------11 分
                          |OM|   |OT|      m    t           2

                                     1      1   
    故满足题意的定点T         存在，其坐标为         ,0 或   ,0 ．--------------------------------12 分】
                                     2      2   

【其它解法请参照给分】

（21）解：(Ⅰ)    f x的定义域为     0,，

                      a   2x2  3x  a
        f x 2x  3             ，---------------------------------------------------1 分
                      x        x

       记  g x 2x2  3x  a ， x  0 ，显然 g x与 f x的符号相同，

       ∵方程    g x=0 根的判别式      9 8a
                      9
       当    0 ，即 a   时，  g x 0 恒成立，    f x单调递增，极值点个数为          0 ；----2 分
                      8
                      9
       当    0 ，即 a   时，记   g x的两个零点分别为        x 和 x （不妨设    x  x ），
                      8                             1   2         1   2
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                    3        a
       则有   x  x   、  x x   ，
            1   2   2   1 2  2

      若  a  0 ，则 x1  0  x2 ，当 x 0, x2 时， g x 0 ， f x单调递减，


      当  x x2 ,时，  g x 0 ， f x单调递增，极值点个数为          1；----------------------4 分
               9
      若  0  a  ，则  0  x  x ，当  x 0, x 时， g x 0 ， f x单调递增，
               8         1   2            1

      当  x x1, x2 时， g x 0 ， f x单调递减，当    x x2 ,时，  g x 0 ，

       f x单调递增，极值点个数为           2；----------------------------------------------------------------6 分


（Ⅱ）∵    f x仅有一个极值点       x0 ，由（Ⅰ）知，      a  0 ，且 x0  x2 ，

                                     3  9 8a
      ∴  x 满足  2x2  3x  a  0 ， x           ，--------------------------------------------7 分
          0      0    0          0       2

                  2
       f 2x0  4x0  6x0  a ln 2x0  aln 2x0  2，----------------------------------------------8 分


      由  f 2x0  a ，得 aln 2x0  2 a ，

                                                       3
      由于   a  0 ，得 ln 2x0  2 1，即 ln 2x0  3 ，∴ 2x0  e ，-------------------------------9 分

            3  9 8a
     把  x            代入，得    3   9 8a  e3 ，
         0      2

             6e3  e6
     解得   a        ．------------------------------------------------------------------------------------12 分
                8
选做题

（22）解：（Ⅰ）由曲线         C1 的参数方程知，      C1 是以原点    O 为圆心，     2 为半径的圆的上半圆，----2         分

  其极坐标方程为           2  0, ；-----------------------------------------4 分

                                             2
（Ⅱ）联立方程          2  0, ，                   ,得 sin 2  cos 2  0 ，-----5 分
                                      1 sin 2  cos 2

   于是   tan 2 1， 2 0,2 ，--------------------------------------------------------6 分
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                    5                       5
   解得   2   或  2    ，即    和   的值为     和     ------------------------8 分
             4        4       N    M       8   8
                           
   所以   MON   |     |  ．--------------------------------------------------------10 分
                  N    M   2
（23）解：（Ⅰ）       f (2) | a  2 |  | a  2 | 3 --------------------------------------------------------1 分
     ①当  a  2 时，得    a  2  a  2  3，无解；--------------------------------------------2 分
                                                  3       3
     ②当   2  a  2 时，得  a  2  a  2  3 ，解得 a  ，所以      a  2 ；---------3 分
                                                  2       2
     ③当  a  2 时，得   a  2  a  2  3 ，恒成立；-----------------------------------------------4 分
                           3
     综上知，a    的取值范围为      ( ,  ) ．------------------------------------------------------------5 分
                           2
        1    1        1      1 a 2  |1 a 2 |
（Ⅱ）   f ( ) |  a |  |  a |            ，---------------------------------------------6 分
        a    a        a       | a |    | a |
                              1    1 a 2 1 a 2  2a 2
    当| a | 1时，1  a 2  0 ， f ( )                  2 | a | ，-------------------7 分
                              a     | a |  | a |  | a |
     | f (x) ||| x  a |  | x  a ||| x  a  (x  a) || 2a |，---------------------------------------9 分
            1
     所以   f ( ) | f (x) |．------------------------------------------------------------------------------10 分
            a