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2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2

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             2016   年普通高等学校招生全国统一考试
                                理科数学

    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共                   24 题,共   150 分,共   4 页。考

试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在

            条形码区域内。

          2. 选择题必须使用      2B 铅笔填涂;非选择题必须使用            0.5 毫米黑色字迹的签字笔

            书写,字体工整、笔迹清楚。 

          3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;

            在草稿纸、试题卷上答题无效。

          4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。

          5. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮

            纸刀。

                                  第Ⅰ卷

一.  选择题:本大题共          12 小题,每小题        5 分,在每小题给出的四个选项中,只
   有一项是符合题目要求的.

   (1)已知                       在复平面内对应的点在第四象限,则实数                 m 的取值范

   围是

      (A)  (3,1) (B)       (1,3) (C) (1,)      (D)

   (2)已知集合                 ,                             ,则

   (A)      (B)      (C)          (D)

   (3)已知向量                         ,且            ,则   m=

   (A)-8        (B)-6       (C)6     (D)8

   (4)圆                          的圆心到直线                   的距离为    1,则  a=
           4             3
   (A)           (B)        (C)   3   (D)2
           3             4
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    (5)如图,小明从街道的           E 处出发,先到      F 处与小红会合,再一起到位于            G 处的老

    年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为


 

(A)24    (B)18    (C)12    (D)9

(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为


                                 
(A)20π  (B)24π  (C)28π  (D)32π
                                   
(7)若将函数      y=2sin 2x 的图像向左平移        个单位长度,则平移后图象的对称轴为
                                   12
        k                  k   
(A)x=          (kZ)  (B)x=        (kZ)  
        2    6                2   6
       k                    k   
(C)x=          (kZ)  (D)x=         (kZ)
        2   12                2    12
(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图,执行该程序

框图,若输入的       x=2,n=2,依次输入的       a 为 2,2,5,则输出的       s=
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(A)7    (B)12    (C)17    (D)34

(9)若   cos(Error!–α)= Error!,则 sin 2α=
      7       1        1          7
(A)      (B)   (C)       (D)  
      25      5        5         25
    

(10)从区间         随机抽取     2n 个数   ,  ,…,     ,   ,    ,…,    ,构成    n 个数对

       ,        ,…,          ,其中两数的平方和小于          1 的数对共有     m 个,则用随机

模拟的方法得到的圆周率             的近似值为


   (A)             (B)          (C)        (D)


(11)已知    F1,F2 是双曲线     E          的左,右焦点,点        M 在  E 上,M   F1 与    轴垂


直,sin              ,则 E 的离心率为

    


   (A)            (B)        (C)          (D)2
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                                                        x 1
(12)已知函数       f (x)(x  R) 满足 f (x)  2  f (x) ,若函数 y   与  y  f (x) 图像的
                                                         x

                                           m
交点为                 ···,(           ),则
      (x1, y1 ) , (x2 , y2 )   xm , ym     (xi  yi ) 
                                           i1

   (A)0        (B)m         (C)2m         (D)4m
                                  第   II 卷
     本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题
考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共             3 小题,每小题        5 分。


 (13)△ABC    的内角   A、B、C   的对边分别为      a、b、c,若    cos A=  ,cos C=   ,a=1,则

b=   .

 (14)α、β    是两个平面,m、n       是两条直线,有下列四个命题:

       (1)如果    m⊥n,m⊥α,n∥β,那么         α⊥β.

       (2)如果    m⊥α,n∥α,那么       m⊥n.

       (3)如果    α∥β,m     α,那么   m∥β.  

        (4)如果    m∥n,α∥β,那么       m 与 α 所成的角和     n 与 β 所成的角相等.

其中正确的命题有               。(填写所有正确命题的编号)

 (15)有三张卡片,分别写有            1 和 2,1 和  3,2 和 3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片,

甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是                        2”,乙看了丙的卡片后说:

“我与丙的卡片上相同的数字不是               1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是                 5”,则甲的

卡片上的数字是                 。

(16)若直线     y=kx+b 是曲线   y=lnx+2 的切线,也是曲线      y=ln(x+1)的切线,则       b=           

。

 
             
 
 
 
 
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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分       12 分)


     Sn 为等差数列        的前  n 项和,且    a1 =1 , S7 =28  记          ,其中      表示不

 超过   x 的最大整数,如[0.9] = 0,[lg99]=1。


(I)求   b1 , b11 , b101 ;

(II)求数列        的前   1 000 项和.

(18)(本题满分       12 分)

    某险种的基本保费为         a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人

的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:

上年度出       0           1          2          3           4            5

险次数

保费         0.85a       a          1.25a      1.5a        1.75a      2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出       0           1          2          3           4            5

险次数

概率         0.30        0.15       0.20       0.20        0.10       0. 05

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出                             60%的概率;

(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

(19)(本小题满分        12 分)

     如图,菱形     ABCD 的对角线    AC 与 BD 交于点   O,AB=5,AC=6,点     E,F 分别在  AD,CD 上,


AE=CF=  ,EF  交 BD 于点  H.将△DEF  沿  EF 折到△        的位置,              .

   
 

(I)证明:           平面  ABCD;

(II)求二面角                的正弦值.
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(20)(本小题满分        12 分)


    已知椭圆    E:          的焦点在      轴上,A   是  E 的左顶点,斜率为       k(k>0)的直线交

E 于 A,M 两点,点    N 在 E 上,MA⊥NA.

   (I)当   t=4,            时,求△AMN     的面积;

   (II)当               时,求   k 的取值范围.

(21)(本小题满分        12 分)


    (I)讨论函数                 的单调性,并证明当           >0 时,                    


    (II)证明:当           时,函数                            有最小值.设     g(x)的最小

值为       ,求函数         的值域.

 

请考生在    22、23、24   题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题

号 

 

(22)(本小题满分        10 分)选修    4-1:集合证明选讲

      如图,在正方形       ABCD,E,G  分别在边    DA,DC 上(不与端点重合),且          DE=DG,过

D 点作  DF⊥CE,垂足为     F.

     (I) 证明:B,C,G,F 四点共圆;

     (II)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形       BCGF 的面积.       
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(23)(本小题满分        10 分)选修    4—4:坐标系与参数方程

     在直线坐标系      xoy 中,圆   C 的方程为(x+6)2+y2=25. 

    (I)以坐标原点为极点,x          轴正半轴为极轴建立极坐标系,求               C 的极坐标方程;


                                x  t cos

    (II)直线   l 的参数方程是                      (t 为参数),l   与  C 交于  A、B 两点,

                                y  t sin

    ∣AB∣=    10 ,求  l 的斜率。

(24)(本小题满分        10 分),选修     4—5:不等式选讲
                   1        1
   已知函数    f(x)= ∣x- ∣+∣x+    ∣,M   为不等式    f(x) <2 的解集.
                   2        2
   (I)求   M;

   (II)证明:当     a,b∈M  时,∣a+b∣<∣1+ab∣。

          2016   年普通高等学校招生全国统一考试
                             理科数学答案

                                    第Ⅰ卷

    一.选择题:

(1)【答案】A

(2)【答案】C

(3)【答案】D
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

(4)【答案】A

(5)【答案】B

(6)【答案】C

(7)【答案】B

(8)【答案】C

(9)【答案】D

(10)【答案】C

(11)【答案】A

(12)【答案】C

                                    第Ⅱ卷

二、填空题


(13)【答案】

(14) 【答案】②③④

(15)【答案】1      和  3

(16)【答案】
三.解答题

17.(本题满分     12 分)

【答案】(Ⅰ)            ,       ,         ;(Ⅱ)1893.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)先求公差、通项                 ,再根据已知条件求                   ;(Ⅱ)用分段函

数表示     ,再由等差数列的前           项和公式求数列           的前  1 000 项和.

试题解析:(Ⅰ)设             的公差为      ,据已知有               ,解得

所以      的通项公式为
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(Ⅱ)因为

所以数列        的前      项和为

考点:等差数列的的性质,前              项和公式,对数的运算.

【结束】

18.(本题满分     12 分)

【答案】(Ⅰ)根据互斥事件的概率公式求解;(Ⅱ)由条件概率公式求解;(Ⅲ)记续

保人本年度的保费为           ,求    的分布列为,在根据期望公式求解..

【解析】

试题分析:

试题解析:(Ⅰ)设           表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件                           发

生当且仅当一年内出险次数大于              1,故

(Ⅱ)设      表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出                          ”,则事件       发生当

且仅当一年内出险次数大于            3,故


又             ,故

因此所求概率为
 (Ⅲ)记续保人本年度的保费为                ,则    的分布列为


因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为

考点: 条件概率,随机变量的分布列、期望.

【结束】

19.(本小题满分      12 分)
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【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)                    .

【解析】

试题分析:(Ⅰ)证                  ,再证             ,最后证                     ;(Ⅱ)

用向量法求解.


试题解析:(I)由已知得                    ,          ,又由            得           ,故

         .

因此           ,从而             .由        ,       得                           .


由          得               .所以         ,               .

于是         ,                               ,

故            .

又           ,而                ,

所以                   .


                                              

(II)如图,以        为坐标原点,          的方向为      轴的正方向,建立空间直角坐标系

        ,则           ,             ,           ,           ,          ,

             ,              ,              .设              是平面        的法向
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量,则               ,即                  ,所以可以取                  .设


             是平面         的法向量,则                 ,即                   ,所以可


以取             .于是                                        , 

                  .因此二面角                的正弦值是           .

考点:线面垂直的判定、二面角. 

【结束】

20.(本小题满分      12 分)


【答案】(Ⅰ)           ;(Ⅱ)           .

【解析】

试题分析:(Ⅰ)先求直线                的方程,再求点         的纵坐标,最后求               的面积;

(Ⅱ)设             ,,将直线         的方程与椭圆方程组成方程组,消去                  ,用   表示    ,

从而表示          ,同理用     表示        ,再由               求   .


试题解析:(I)设                 ,则由题意知            ,当      时,    的方程为               ,

        .


由已知及椭圆的对称性知,直线                  的倾斜角为       .因此直线        的方程为            .


将         代入             得             .解得       或        ,所以          .


因此         的面积                        .

(II)由题意         ,      ,           .
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将直线       的方程                代入            得

                                .


由                  得                ,故                                    .


由题设,直线          的方程为                  ,故同理可得                          ,


由              得                ,即                      .

当        时上式不成立,


因此               .     等价于                                    ,


即           .由此得            ,或             ,解得             .

因此    的取值范围是             .
考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 

【结束】

(21)(本小题满分        12 分)


【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)                      .

【解析】

试题分析:(Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当                                    时,

           证明结论;(Ⅱ)用导数法求函数                   的最值,在构造新函数


            ,又用导数法求解.

试题解析:(Ⅰ)             的定义域为                      .
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且仅当        时,           ,所以        在                 单调递增,

因此当             时,

所以


(II)

由(I)知,             单调递增,对任意

因此,存在唯一                 使得              即           ,

当          时,                           单调递减;

当       时,                           单调递增.

因此       在       处取得最小值,最小值为


于是              ,由                            单调递增


所以,由              得


因为       单调递增,对任意                   存在唯一的


使得           所以      的值域是


综上,当            时,       有     ,      的值域是

考点: 函数的单调性、极值与最值.

【结束】

请考生在    22、23、24   题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清

题号

(22)(本小题满分        10 分)选修    4-1:几何证明选讲
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【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)                 .

【解析】

试题分析:(Ⅰ)证                        再证           四点共圆;(Ⅱ)证明

                    四边形         的面积     是        面积       的 2 倍.

试题解析:(I)因为                  ,所以


则有

所以                 由此可得

由此                        所以           四点共圆.

(II)由           四点共圆,              知          ,连结       ,

由   为          斜边      的中点,知              ,故

因此四边形            的面积     是       面积       的  2 倍,即


                       
考点: 三角形相似、全等,四点共圆

【结束】

(23)(本小题满分        10 分)选修    4—4:坐标系与参数方程


【答案】(Ⅰ)                           ;(Ⅱ)          .

【解析】

试题分析:(I)利用                    ,           可得  C 的极坐标方程;(II)先将直线

 的参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得                      的斜率.
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试题解析:(I)由                            可得    的极坐标方程

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线                的极坐标方程为

由      所对应的极径分别为              将  的极坐标方程代入          的极坐标方程得


于是


由            得                        ,


所以   的斜率为         或       .

考点:圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式.

【结束】

(24)(本小题满分        10 分)选修    4—5:不等式选讲

【答案】(Ⅰ)                        ;(Ⅱ)详见解析.

【解析】


试题分析:(I)先去掉绝对值,再分                      ,           和       三种情况解不等式,

即可得      ;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当                        ,       时,

              .


试题解析:(I)


当        时,由           得         解得        ;
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当            时,           ;


当       时,由           得        解得      .

所以          的解集                     .

(II)由(I)知,当              时,                    ,从而

                                                    ,

因此

考点:绝对值不等式,不等式的证明. 

【结束】

 

 
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