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高中数学人教A版必修5自主学习导学案:2.2 等差数列的概念及其性质(学生版+教师版) Word版含解析(数理化网)

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                          2.2 等差数列(学生版)

1.新课引入
    请同学们思考,这四个数列有何共同特点?
    ① 0,5,10,15,20
    ② 2,4,6,8,10,….. 
    ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 
    ④10072,10144,10216,10288,10360 
    规律:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数.
2.等差数列的概念

    一般地,如果一个数列{an}         从第   2 项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么
这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母                                d 表示。

    定义的符号表示是:         an  an1  d(n  2,n N*) ,这就是数列的递推公式。

    有时也可以写成:        an1  an  d(n N*)
    最简单的等差数列:由三个数             a,A,    b 组成的等差数列,这时数           A 叫做数   a 和 b 的等
                       a  b
差中项,用等式表示为          A      .
                         2

【例   1】判断下列数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项                           a1 和公差   d,  如果
不是,说明理由。
    (1)1,3,5,7,…                              (2)9,6,3,0,-3…         
    (3)-8,-6,-4,-2,0,…                        (4)3,3,3,3,…          
           1 1 1 1
    (5)1,   , , ,.......                          (6)15,12,10,8,6,…
           2 3 4 5

3.等差数列通项公式的推导
    方法一:根据等差数列的定义填空

    a2 =a1+d,     a3 =       +d  =(                )  +d  =a1 +        d,

    a4 =       +d  =(                 ) +d  =a1  +        d ,……

    an =         +              d.

    方法二:    a2  a1 =d , a3  a2 =d , a4  a3 =d ,…, an  an1 =d


    所以  (a2  a1)+(a3  a2 )  (a4  a3 ) ... (an  an1)  (n 1)d ,即 an  a1  (n 1)d ,


 an  a1  (n 1)d


    等差数列的通项公式:          an  a1  (n 1)d

4.等差数列的性质

     若数列{an}是公差为         d 的等差数列,则
     (1)当 d=0  时,数列为常数列;当             d>0 时,数列为递增数列;当              d<0 时,数
列为递减数列.
           an-a1  am-ak
     (2)d= n-1  =  m-k  (m,n,k∈N*).
                                 *
     (3)an=am+(n-m)d(m,n∈N        ).
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                                  *
    (4)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N        ),则  am+an=ap+aq.
        m+n
                                         *
    (5)若 2  =k,则   am+an=2ak(m,n,k∈N      ).
    (6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且
                                                             *
等于首末两项之和,即          a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…(n,i∈N         ).
    (7)数列{λan+b}(λ,b  是常数)是公差为        λd 的等差数列.
                                                             *
    (8)下标成等差数列且公差为           m 的项  ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N      )组成公
差为  md 的等差数列.

    (9)若{an},{bn}均为等差数列,则{an          bn}也为等差数列.
※ 典型例题
考点  1.求等差数列的通项公式

【例  2】已知等差数列{an}的前三项分别为          8,5,2.


(1)求的通项公式;(2)求第           20 项;(3)判断     34 是否为数列{an}中的项,若是,是

第几项?


【例  3】 (1)在等差数列{an}中,已知           a5=10,a12=31,求通项公式        an.
                                     5       7

         (2)已知数列{an}为等差数列        a3=4,a7=-4,求      a15 的值.


   【说明】:从该例题中可以看出:1.等差数列的通项公式其实就是一个关于

a1,an ,n,d (独立的量有  3 个)的方程;2.会利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的

项。当判断是第几项的项数时还应看求出的项数                n 是否为正整数,如果不是正整数,那么它
就不是数列中的项。

考点  3.等差数列的判断与证明

【例  4】已知数列{{an}}的通项公式      an  pn  q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一

定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?
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                                      4                1
                                      -                -
【例  5】已知数列{an}满足       a1=4,an=4-an     1(n>1),记  bn=an  2.
    (1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.
    分析:一般要证一个数列{bn}成等差数列,最基本的方法是证明                          bn+1-bn=
d.


点评:(1)判断数列为等差数列,要严格紧扣定义,本例的解法就是利用                              bn+1-
bn=d 来判断的.
    (2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法
         方法                   符号语言                      结论
                       a -a   =d(常数)(n≥2    且
        定义法             n  n-1
                                    *
                                n∈N  )                  {an}是
                                               *
      等差中项法          2an=an-1+an+1(n≥2  且 n∈N  )      等差数列
                                               *
      通项公式法          an=kn+b(k,b  为常数,n∈N      )

※ 当堂检测
1.判断下列数列是否为等差数列.
                                                                   5an
                          2                                         +
    (1)an=3n+2;    (2)an=n +n.    (3)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=an         5.


                                2an         1
                                 +
2.已知数列{an}满足       a1=2,an+1=an   2,则数列{an}是否为等差数列?说明理
由.


         an1
3. an         ,a1  1求数列an 的通项公式.
       3 an1 1
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4.已知数列{an}满足       a1=3,anan-1=2an-1-1(n≥2).
                                  1
                                  -
    (1)求 a2,a3,a4;(2)求证:数列{an       1}是等差数列,并写出{an}的一个通项
公式.


考点  4.等差中项的应用
【例  6】在  3 与 7 之间插入一个数      A,使   3,A,7  成等差数列.


※ 当堂检测
1.已知   m 和  2n 的等差中项是      4,2m 和 n 的等差中项是      5,则  m 和  n 的等差中项
是(  )
    A.2   B.3    C.6    D.9
2.设  x 是 a 与 b 的等差中项,x2     是  a2 与-b2 的等差中项,则       a,b  的关系是(  
)
    A.a=-b         B.a=3b       C.a=-b    或  a=3b      D.a=b=0

3.设等差数列{an}的公差为正数,若              a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则     a11+a12+
a13=________.

考点  5.等差数列性质的应用

【例  7】 (1)已知{an}为等差数列,a3+a4+a5+a6+a7=450,则             a2+a8 的值为
________.

    (2)设数列{an},{bn}都是等差数列,若           a1+b1=7,a3+b3=21,则      a5+b5=
________.


    点评:(1)本例中两个小题法一用到了整体代入思想,法二用到了等差数列的
性质.
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                                    *
    (2)等差数列中,①若        m,n,p,q∈N     且  m+n=p+q,则      am+an=ap+aq;
                         *
②若  m+n=2k,m,n,k∈N        ,则  am+an=2ak  是最常用的两条性质,用它们解
决等差数列的有关问题,可以达到事半功倍的效果.

※ 当堂检测
1.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差              d=(  )
      1       1               1              1
    A.2      B.3          C.-2         D.-3
2.已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则            a1+a2+a3+a4+a5=(  )
    A.30     B.15       C.5   6        D.10  6

3.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则            a5 等于(  )
    A.4        B.5         C.6          D.7

4.在等差数列{an}中,已知          a4+a8=16,则    a2+a10=(  )
    A.12         B.16         C.20         D.24

5.设数列{an},{bn}都是等差数列,且            a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由
an+bn 所组成的数列的第        37 项为(  )
    A.0     B.37       C.100    D.-37
                              an an+1
                                ,
                                  +
6.已知数列{an}满足       a1=1,若点(   n  n  1 )在直线  x-y+1=0   上,则    an=
________.
                                                                1

7.已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求:(1)a4+a8;(2)若              a3·a6·a9=27,求
通项公式.


6.等差数列设元的应用
【例  8】(1)三个数成等差数列,它们的和为          21,它们的平方和为      155,求这三个数;
   (2)已知四个数成等差数列,它们的和为            28,中间两项的积为      40,求这四个数.


    点评:(1)若三个数成等差数列,可设为                a-d,a,a+d;若四个数成等差数
列,可设为     a-3d,a-d,a+d,a+3d.
    (2)证三项成等差数列,只需证中间一项为两边两项的等差中项即可,即若
a,b,c  成等差数列,则有         a+c=2b;反之,若       a+c=2b,则    a,b,c   成等差数
列.
※ 当堂检测
1.已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为                   21,前三项之积为       231,求数列
{an}的通项公式.
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2.已知三个数依次成等差数列,它们的和为                   18,它们的平方和为         116,求这三
个数构成的等差数列.


一、选择题

1.{an}为等差数列,且        a7-2a4=-1,a3=0,则公差        d 等于(  )
                       1        1
    A.-2          B.-2        C.2      D.2
                          1

2.等差数列{an}中,已知         a1=3,a2+a5=4,an=33,则       n 为(  )
    A.50         B.49       C.48          D.47

3.在等差数列{an}中,若         a3+a5+a7+a9+a11=100,则     3a9-a13 的值为(  )
    A.20         B.30         C.40          D.50
4.首项为-24     的等差数列,从第         10 项开始为正数,则公差          d 的取值范围是(  
)
         8                      8              8
    A.d>3     B.d<3            C.3≤d<3       D.30       B.a7+a9<0         C.a7+a9=0          D.a7·a9=0
7.若等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则             a6+a7+a8  等于(  )
    A.34          B.35          C.36         D.37
        1         1
8.a=   3+ 2,b=   3- 2,则   a、b 的等差中项为(  )
                            3          2
    A. 3       B. 2       C. 3         D. 2
                              *
9.数列{an}满足     3+an=an+1(n∈N   )且 a2+a4+a6=9,则     log6(a5+a7+a9)的值是
(  )
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                      1                      1
    A.-2         B.-2         C.2          D.2
                                                       1

10.在等差数列{an}中,若         a4+a6+a8+a10+a12=240,则     a9-3a11 的值为(  )
    A.30        B.31       C.32    D.33

11.设  x≠y,且两数列      x,a1,a2,a3,y    和 b1,x,b2,b3,y,b4    均为等差数列,
  b4-b3
则a2-a1=(  )
      4        3        8          3
    A.3       B.4      C.3        D.8
12.在△ABC    中,a,b,c    分别为    A,B,C   的对边,如果       a,b,c  成等差数列,
   B=30°,△ABC    的面积为    1.5,那么   b 等于(  )
      1+ 3                        2+ 3
    A. 2         B.1+   3       C. 2         D.2+   3
二、填空题
13.△ABC   的三内角    A,B,C    成等差数列,且       A-C=40°,则     A=________.
14.已知△ABC     的一个内角为      120°,并且三边长构成公差为            4 的等差数列,则
△ABC  的面积为________.
                                                         y3-y1
                                                           -
15.已知数列-1,x1,x2,9       和-1,y1,y2,y3,9   都是等差数列,则x2         x1=
________.
16.在直角坐标系有一系列点            P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对一
                                  13                               5

   切正整数    n,点   Pn 位于函数   y=3x+   4 的图象上,且     Pn 的横坐标构成以-2为
   首项,-1    为公差的等差数列{xn},则          Pn 的坐标为_____.
三、解答题
17.四个数成递增等差数列,中间两数的和为                   2,首末两项的积为-8,求这四个
数.


18.在等差数列{an}中,已知          a1=112,a2=116,这个数列在         450 到 600 之间共
有多少项?


                  3x
                  +                                     *
19.已知函数     f(x)=x 3,在数列{xn}中,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N         ).
             1                        1

    (1)求证:{xn}是等差数列;(2)求当         x1=2时,x2 015 的值.
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20.已知{an}是等差数列,且          a1+a2+a3=12,a8=16.
    (1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中,依次取出第                  2 项,第   4 项,
第 6 项,…,第     2n 项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公
式.
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                          2.2 等差数列(教师版)

1.新课引入
    请同学们思考,这四个数列有何共同特点?
    ① 0,5,10,15,20
    ② 2,4,6,8,10,….. 
    ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 
    ④10072,10144,10216,10288,10360 
    规律:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数.
2.等差数列的概念

    一般地,如果一个数列{an}         从第   2 项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么
这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母                                d 表示。

    定义的符号表示是:         an  an1  d(n  2,n N*) ,这就是数列的递推公式。

    有时也可以写成:        an1  an  d(n N*)
    最简单的等差数列:由三个数             a,A,    b 组成的等差数列,这时数           A 叫做数   a 和 b 的等
                       a  b
差中项,用等式表示为          A      .
                         2

【例   1】判断下列数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项                           a1 和公差   d,  如果
不是,说明理由。
    (1)1,3,5,7,…                              (2)9,6,3,0,-3…         
    (3)-8,-6,-4,-2,0,…                        (4)3,3,3,3,…          
           1 1 1 1
    (5)1,   , , ,.......                          (6)15,12,10,8,6,…
           2 3 4 5

    解:(1)a1=1,d=2;(2)a1=9,d=-3      ;(3)a1=-8,d=2  ;(4)a1=3,d=0   ;(5)不是;
(6)不是
3.等差数列通项公式的推导
    方法一:根据等差数列的定义填空

    a2 =a1+d,     a3 =       +d  =(                )  +d  =a1 +        d,

    a4 =       +d  =(                 ) +d  =a1  +        d ,……

    an =         +              d.

    方法二:    a2  a1 =d , a3  a2 =d , a4  a3 =d ,…, an  an1 =d


    所以  (a2  a1)+(a3  a2 )  (a4  a3 ) ... (an  an1)  (n 1)d ,即 an  a1  (n 1)d ,


 an  a1  (n 1)d


    等差数列的通项公式:          an  a1  (n 1)d

4.等差数列的性质

     若数列{an}是公差为         d 的等差数列,则
     (1)当 d=0  时,数列为常数列;当             d>0 时,数列为递增数列;当              d<0 时,数
列为递减数列.
           an-a1  am-ak
     (2)d= n-1  =  m-k  (m,n,k∈N*).
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                             *
    (3)an=am+(n-m)d(m,n∈N     ).
                                  *
    (4)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N        ),则  am+an=ap+aq.
        m+n
                                         *
    (5)若 2  =k,则   am+an=2ak(m,n,k∈N      ).
    (6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且
                                                             *
等于首末两项之和,即          a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…(n,i∈N         ).
    (7)数列{λan+b}(λ,b  是常数)是公差为        λd 的等差数列.
                                                             *
    (8)下标成等差数列且公差为           m 的项  ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N      )组成公
差为  md 的等差数列.

    (9)若{an},{bn}均为等差数列,则{an          bn}也为等差数列.

※ 典型例题
考点  1.求等差数列的通项公式

【例  2】已知等差数列{an}的前三项分别为          8,5,2.


(1)求的通项公式;(2)求第           20 项;(3)判断     34 是否为数列{an}中的项,若是,是

第几项?

   解:(1)因为     a1  8,a2  5 ,所以 d  a2  a1  3 ,所以这个数列的通项公式是


an  a1  (3)(n 1) ,即 an  3n 11.


   (2)所以   a20  3 20 11  49 .


   (3)令   an  3n 11  34 ,解得 n 15,所以 34 是数列{an}中的第    15 项.


【例  3】 (1)在等差数列{an}中,已知           a5=10,a12=31,求通项公式        an.
                                5       7

    (2)已知数列{an}为等差数列        a3=4,a7=-4,求      a15 的值.
    解:(1)∵a5=10,a12=31,则Error!⇒Error!∴an=-2+(n-1)×3=3n-5,
                            *
    ∴通项公式     an=3n-5.(n∈N   )
                                11       3

    (2)法一:由Error!得Error!解得   a1= 4 ,d=-4.
                       11        3    31
                               -
    ∴a15=a1+(15-1)d=   4 +14×(   4)=-  4 .
                                7  5               3

    法二:由    a7=a3+(7-3)d,即-4=4+4d,解得          d=-4. ∴a15=a3+(15-
    5        3     31
            -
3)d=4+12×(   4)=-  4 .
   【说明】:从该例题中可以看出:1.等差数列的通项公式其实就是一个关于

a1,an ,n,d (独立的量有  3 个)的方程;2.会利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的

项。当判断是第几项的项数时还应看求出的项数                n 是否为正整数,如果不是正整数,那么它
就不是数列中的项。
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考点  3.等差数列的判断与证明

【例  4】已知数列{{an}}的通项公式      an  pn  q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一

定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?

   解:当   n  2 时, an  an1  ( pn  q) [ p(n 1)  q]  pn  q  ( pn  p  q)  p ,


因为  p 为常数,所以{an}是等差数列,首项为公a1差为p           q ,      p
                                      4                1
                                      -                -
【例  5】已知数列{an}满足       a1=4,an=4-an     1(n>1),记  bn=an  2.
    (1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.
    分析:一般要证一个数列{bn}成等差数列,最基本的方法是证明                          bn+1-bn=
d.
                                               1
                                1       1      4       1       an
                                             4-  -2
                               + -     -               -       -
    解析:(1)证明:∵bn+1-bn=an         1 2-an  2=(   an)  -an  2=2an  2-
 1     an-2    1
an-2=2an-2=2,
             1   1                    1        1
             -
    又∵b1=a1    2=2,∴数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列.
                 1         1  1          1         1     2
                                         -
    (2)由(1)知 bn=2+(n-1)×2=2n,∵bn=an       2,∴an=bn+2=n+2.

点评:(1)判断数列为等差数列,要严格紧扣定义,本例的解法就是利用                              bn+1-
bn=d 来判断的.
    (2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法
         方法                   符号语言                      结论
                       a -a   =d(常数)(n≥2    且
        定义法             n  n-1
                                    *
                                n∈N  )                  {an}是
                                               *
      等差中项法          2an=an-1+an+1(n≥2  且 n∈N  )      等差数列
                                               *
      通项公式法          an=kn+b(k,b  为常数,n∈N      )

※ 当堂检测
1.判断下列数列是否为等差数列.
                                                                   5an
                          2                                         +
    (1)an=3n+2;    (2)an=n +n.    (3)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=an         5.

                                               *
    解析:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N         ).   ∴这个数列为等差
数列.
                     2          2                *
    (2)an+1-an=(n+1) +(n+1)-(n   +n)=2n+2(n∈N    ),∵2n+2    不是常数,
∴这个数列不是等差数列.
             5an     1    an+5    1    1  1     1    1   1
             +       +            +             +             *
    (3)an+1=an 5,∴an   1=  5an .即an 1=an+5,∴an    1-an=5(n∈N   ).∴数
   1
列{an}为等差数列.
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                                2an         1
                                 +
2.已知数列{an}满足       a1=2,an+1=an   2,则数列{an}是否为等差数列?说明理
由.
             1                                      2an    1    an+2
                                                     +     +
    解:数列{an}是等差数列.理由如下:∵a1=2,an+1=an                  2.∴an  1=  2an =
1  1
2+an.
       1    1  1             1     1  1              1
    ∴an+1-an=2(常数).      ∴{an}是以a1=2为首项,公差为2的等差数列.

         an1
3. an         ,a1  1求数列an 的通项公式.
       3 an1 1

           1   3 a 1      1    1    1
解:取倒数:           n1   3    则        3
           an    an1      an1  an  an1

   1            1   1                               1
    是等差数列,           (n 1) 3 1 (n 1) 3    an 
  an           an  a1                             3n  2

4.已知数列{an}满足       a1=3,anan-1=2an-1-1(n≥2).
                                  1
                                  -
    (1)求 a2,a3,a4;(2)求证:数列{an       1}是等差数列,并写出{an}的一个通项
公式.
                                        1
                                        -
    解:(1)由   anan-1=2an-1-1,得   an=2-an   1.
                     1  5        3  7         5  9

    ∵a1=3,∴a2=2-3=3,a3=2-5=5,a4=2-7=7.
                                           1   an-1-1
                                           -      -
    (2)证明:由(1)知,当      n≥2 时,an-1=1-an      1=  an  1 ,
       1     an-1         1      1      an-1      1
    ∴an-1=an-1-1,那么an-1-an-1-1=an-1-1-an-1-1=1.

考点  4.等差中项的应用
【例  6】在  3 与 7 之间插入一个数      A,使   3,A,7  成等差数列.
   解:因为    3,A,7  成等差数列,所以       A-3 =7-A,2 A  =3  +7.解得     A=5. 

※ 当堂检测
1.已知   m 和  2n 的等差中项是      4,2m 和 n 的等差中项是      5,则  m 和  n 的等差中项
是(  )
    A.2   B.3    C.6    D.9
    解析:由题意得Error!,∴m+n=6,∴m、n             的等差中项为       3.答案:B
2.设  x 是 a 与 b 的等差中项,x2     是  a2 与-b2 的等差中项,则       a,b  的关系是(  
)
    A.a=-b         B.a=3b       C.a=-b    或  a=3b      D.a=b=0
                                 a+b     a2-b2    a2-b2   a+b
    解析:由等差中项的定义知:x=               2 ,x2=   2  ,∴    2  =(  2 )2,即  a2-
2ab-3b2=0.
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    故 a=-b   或 a=3b.答案:C

3.设等差数列{an}的公差为正数,若              a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则     a11+a12+
a13=________.
    解析:设等差数列{an}的公差为            d(d>0).

    ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5.又由        a1a2a3=80,得(a2-d)a2(a2+d)=80,
解得  d2=9.

    又∵d>0,∴d=3,∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3(5+10×3)=105.
    答案:105

考点  5.等差数列性质的应用

【例  7】 (1)已知{an}为等差数列,a3+a4+a5+a6+a7=450,则             a2+a8 的值为
________.

    (2)设数列{an},{bn}都是等差数列,若           a1+b1=7,a3+b3=21,则      a5+b5=
________.
    分析:利用等差数列的性质求解.

    解析:(1)法一:根据等差数列通项公式得                 a3+a4+a5+a6+a7=(a1+2d)+
(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)+(a1+6d)=5a1+20d=450,∴a1+4d=90.

    ∴a2+a8=2a+8d=2(a1+4d)=180.
    法二:∵a3+a4+a5+a6+a7=450,由等差数列的性质知:a3+a7=a4+a6=
2a5,∴5a5=450.∴a5=90.    

    ∴a2+a8=2a5=180.
    (2)法一:设数列{an},{bn}的公差分别为            d1,d2,因为    a3+b3=(a1+2d1)+
(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以       d1+d2=7,所以     a5+
b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.
    法二:∵数列{an},{bn}都是等差数列,∴数列{an+bn}也构成等差数列,

∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)

    ∴2×21=7+a5+b5            ∴a5+b5=35.
    答案:(1)180 (2)35
    点评:(1)本例中两个小题法一用到了整体代入思想,法二用到了等差数列的
性质.
                                    *
    (2)等差数列中,①若        m,n,p,q∈N     且  m+n=p+q,则      am+an=ap+aq;
                         *
②若  m+n=2k,m,n,k∈N        ,则  am+an=2ak  是最常用的两条性质,用它们解
决等差数列的有关问题,可以达到事半功倍的效果.


※ 当堂检测
1.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差              d=(  )
      1       1               1              1
    A.2      B.3          C.-2         D.-3
                                              1

    解析:∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18,∴d=-2.答案:C
2.已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则            a1+a2+a3+a4+a5=(  )
    A.30     B.15       C.5   6        D.10  6
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    解析:∵数列{an}为等差数列,∴a1+a2+a3+a4+a5=(a1+a5)+(a2+a4)+
a2+a4 5         5

  2 =2(a2+a4)=2×6=15.答案:B
3.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则            a5 等于(  )
    A.4        B.5         C.6          D.7

    解析:由等差数列性质得           a2+a8=2a5=12,所以      a5=6.   答案:C
4.在等差数列{an}中,已知          a4+a8=16,则    a2+a10=(  )
    A.12         B.16         C.20         D.24

    解析:根据等差数列的性质求解.a2+a10=a4+a8=16.答案:B
5.设数列{an},{bn}都是等差数列,且            a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由
an+bn 所组成的数列的第        37 项为(  )
    A.0     B.37       C.100    D.-37

    解析:设    cn=an+bn,则{cn}为等差数列.又          c1=a1+b1=25+75=100,c2=
                                          *
a2+b2=100,则    d=c2-c1=0,故    cn=100(n∈N  ),从而    c37=100.故选  C.
                              an an+1
                                ,
                                  +
6.已知数列{an}满足       a1=1,若点(   n  n  1 )在直线  x-y+1=0   上,则    an=
________.
                    an an+1          an+1  an              an
    解析:由题设可得        n - n+1 +1=0,即    n+1 - n =1,所以数列{     n }是以  1 为
                                     an
                                                     2
公差的等差数列,且首项为            1,故通项公式       n =n,所以   an=n  .
7.已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求:
                           1

    (1)a4+a8;(2)若 a3·a6·a9=27,求通项公式.
    解:(1)解法一:根据等差数列性质得               a2+a10=a4+a8=2a6
                                       1                2

    由 a2+a6+a10=1,得    3a6=1,解得     a6=3,∴a4+a8=2a6=3.
    解法二:根据等差数列的通项公式,得                 a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+
(a1+9d)=3a1+15d.
                                     1

    由题意知,3a1+15d=1,即         a1+5d=3.
                                 2

    ∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=3.
                  1                        1       1
                  3                        3       3     *
    (2)由(1)知,a6=   .   ∴Error! 解得:a3=a9=    ,∴an=   (n∈N  ).

6.等差数列设元的应用
【例  8】(1)三个数成等差数列,它们的和为          21,它们的平方和为      155,求这三个数;
   (2)已知四个数成等差数列,它们的和为            28,中间两项的积为      40,求这四个数.
   分析:若直接设所求的三个数或四个数列方程,未知数个数较多,且方程组难解.可采
用对称设法,既减少了未知数的个数,又降低了计算量.
解析:(1)设这三个数分别为           a-d,a,a+d.     则Error!
    解得Error!或Error!∴这三个数分别为       5,7,9 或 9,7,5.
    (2)设这四个数分别为        a-3d,a-d,a+d,a+3d,则Error!
    解得Error!或Error!∴这四个数依次为-2,4,10,16       或 16,10,4,-2.
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    点评:(1)若三个数成等差数列,可设为                a-d,a,a+d;若四个数成等差数
列,可设为     a-3d,a-d,a+d,a+3d.
    (2)证三项成等差数列,只需证中间一项为两边两项的等差中项即可,即若
a,b,c  成等差数列,则有         a+c=2b;反之,若       a+c=2b,则    a,b,c   成等差数
列.

※ 当堂检测
1.已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为                   21,前三项之积为       231,求数列
{an}的通项公式.
    解析:解法一:根据题意,设等差数列{an}的前三项分别为                        a1,a1+d,a1+
2d,则
    Error!即Error!

    解得Error!或Error!因为数列{an}为单调递增数列,
    因此Error!从而等差数列{an}的通项公式为            an=4n-1.
    解法二:由于数列{an}为等差数列,因此可设前三项分别为                        a-d,a,a+
d,
    于是可得Error!即Error!解得Error!或Error!

    由于数列{an}为单调递增数列,因此Error!从而              an=4n-1.

2.已知三个数依次成等差数列,它们的和为                   18,它们的平方和为         116,求这三
个数构成的等差数列.

    解:解法一:设第一个数为            a1、公差为    d,由已知条件列方程组,得
Error!,所以Error!,
    解得Error!或Error!,
    所以三个数构成的等差数列为             4,6,8 或 8,6,4.
    解法二:设三个数依次为           a-d,a,a+d,由已知条件得(a-d)+a+(a+
d)=18,
    解得  a=6,又知(a-d)2+a2+(a+d)2=116,得         3a2+2d2=116,解得     d=±2.
    当 d=2  时,三个数构成的等差数列为             4,6,8.
    当 d=-2   时,三个数构成的等差数列为             8,6,4.

3.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
    解:∵a1+a7=2a4,

    ∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5.
    又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,
    即(a4-2d)(a4+2d)=9,
    亦即(5-2d)(5+2d)=9,
    解得  d=±2.

    若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;
    若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.


一、选择题

1.{an}为等差数列,且        a7-2a4=-1,a3=0,则公差        d 等于(  )
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                       1        1
    A.-2          B.-2        C.2      D.2
    解析:根据题意,得         a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,∴a1=1.又∵a3=
                 1

a1+2d=0,∴d=-2.
    答案:B
                          1

2.等差数列{an}中,已知         a1=3,a2+a5=4,an=33,则       n 为(  )
    A.50         B.49       C.48          D.47
                                                                   1

    解析:设等差数列{an}的公差为            d,由题意得     a1+d+a1+4d=4,又      a1=3,
       2

所以  d=3.又  an=a1+(n-1)d=33,所以      n=50.
    答案:A

3.在等差数列{an}中,若         a3+a5+a7+a9+a11=100,则     3a9-a13 的值为(  )
    A.20         B.30         C.40          D.50

    解析:∵a3+a5+a7+a9+a11=5a7=100,∴a7=20,∴3a9-a13=3(a1+
8d)-(a1+12d)=2a1+12d=2(a1+6d)=2a7=40.故选       C.
    答案:C
4.首项为-24     的等差数列,从第         10 项开始为正数,则公差          d 的取值范围是(  
)
         8                      8              8
    A.d>3     B.d<3            C.3≤d<3       D.30       B.a7+a9<0         C.a7+a9=0          D.a7·a9=0
    解析:∵(n,an)在直线       3x-y-24=0,∴an=3n-24,∴a7=3×7-24=-
3,a9=3×9-24=3,

    ∴a7+a9=0.答案:C
7.若等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则             a6+a7+a8  等于(  )
    A.34          B.35          C.36         D.37

    解析:由题意得:(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=
12.

    ∵a3+a11=a10+a4,∴a7=12,∴a6+a7+a8=3a7=36.             答案:C
        1         1
8.a=   3+ 2,b=   3- 2,则   a、b 的等差中项为(  )
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                            3          2
    A. 3       B. 2       C. 3         D. 2
                 1      1
                    +
          a+b   3+ 2   3- 2   3-  2+  3+ 2
    解析:    2 =      2      =         2        =  3.
    答案:A
                              *
9.数列{an}满足     3+an=an+1(n∈N   )且 a2+a4+a6=9,则     log6(a5+a7+a9)的值是
(  )
                      1                      1
    A.-2         B.-2         C.2          D.2
解析:由已知可得{an}是等差数列,公差                d=3,∴a5+a7+a9=a2+a4+a6+9d=
36,∴log6(a5+a7+a9)=2.
    答案:C
                                                       1

10.在等差数列{an}中,若         a4+a6+a8+a10+a12=240,则     a9-3a11 的值为(  )
    A.30        B.31       C.32    D.33

    解析:由等差数列的性质可得             a4+a6+a8+a10+a12=240,解得      a8=48,设
                          1           1         2

等差数列{an}的公差为        d,a9-3a11=a8+d-3(a8+3d)=3a8=32,故选        C.
    答案:C

11.设  x≠y,且两数列      x,a1,a2,a3,y    和 b1,x,b2,b3,y,b4    均为等差数列,
  b4-b3
则a2-a1=(  )
      4        3        8          3
    A.3       B.4      C.3        D.8
               an-am  a2-a1  y-x            y-x            b4-b3  y-x
                 -      -     -                             -      -
    解析:由    d=  n m 知  3  2 =5  1,∴a2-a1=    4 . ①     又    6 4 =5  2,
         2

∴b4-b3=3(y-x). ②
             b4-b3  8
    由②÷①得a2-a1=3.        答案:C
12.在△ABC    中,a,b,c    分别为    A,B,C   的对边,如果       a,b,c  成等差数列,
B=30°,△ABC    的面积为    1.5,那么   b 等于(  )
      1+ 3                        2+ 3
    A. 2         B.1+   3       C. 2         D.2+   3
    解析:灵活选择三角形面积公式,再结合余弦定理可解出                         b 的值.
    由 a,b,c   成等差数列可得       2b=a+c.
                     1         1    3

    又∵S△ABC=1.5,即2acsin30°=4ac=2,∴ac=6.
    由余弦定理,得       b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-6     3=4b2-12-6    3,
∴b2=4+2   3.
    又∵b  是△ABC   的一条边,∴b>0,∴b=          3+1.故选   B.
二、填空题
13.△ABC   的三内角    A,B,C    成等差数列,且       A-C=40°,则     A=________.
    解析:∵A,B,C       成等差数列,∴2B=A+C.
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    又 A+B+C=180°,∴B=60°,A+C=120°.
    又 A-C=40°,∴A=80°.
    答案:80°
14.已知△ABC     的一个内角为      120°,并且三边长构成公差为            4 的等差数列,则
△ABC  的面积为________.
    解析:由于三边长构成公差为             4 的等差数列,故可设三边长分别为               x-4,
x,x+4.
    度数为   120°的内角必是最长边        x+4  所对的角.
    由余弦定理,得(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)·cos120°,
    ∴2x2-20x=0,∴x=0(舍去)或        x=10.
             1
                                       3
    ∴S△ABC=2×(10-4)×10×sin120°=15       .
    答案:15    3

                                                         y3-y1
                                                           -
15.已知数列-1,x1,x2,9       和-1,y1,y2,y3,9   都是等差数列,则x2         x1=
________.
    解析:设两个等差数列的公差分别为                d1 和 d2,
                            10                       5      y3-y1
                                                              -
    则 3d1=9-(-1)=10,d1=     3 ,4d2=9-(-1)=10,d2=2,于是x2         x1=
     5
2d2 10  3
d1 = 3 =2.
          3
    答案:2

16.在直角坐标平面上有一系列点              P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,
                                   13                               5

对一切正整数      n,点   Pn 位于函数   y=3x+   4 的图象上,且     Pn 的横坐标构成以-2为
首项,-1    为公差的等差数列{xn},则          Pn 的坐标为_____.
                 5                   3             13        5

    解析:∵xn=-2+(n-1)·(-1)=-n-2,∴yn=3·xn+            4 =-3n-4,∴Pn     点
            3      5
        -n-  ,-3n-
的坐标为(       2      4).

                              B 组 能力提升
                                                 a
    11.若一个等差数列的前          4 项分别是    a,x,b,2x,则b等于(  )
      1   1
    A.4  B.2
      1   2
    C.3  D.3
                     x     3    a  1
    解析:∵Error!∴a=2,b=2x,∴b=3.故选          C.
    答案:C
三、解答题
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

17.四个数成递增等差数列,中间两数的和为                   2,首末两项的积为-8,求这四个
数.
    解:设这四个数为        a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为          2d),依题意,2a=
2,且(a-3d)·(a+3d)=-8,即       a=1,a2-9d2=-8,
    ∴d2=1,∴d=1     或 d=-1.
    又四个数成递增等差数列,所以              d>0,
    ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.

18.在等差数列{an}中,已知          a1=112,a2=116,这个数列在         450 到 600 之间共
有多少项?

    解:由题意,得       d=a2-a1=116-112=4,
    所以  an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.
    令 450≤an≤600,
    解得  85.5≤n≤123,又因为      n 为正整数,故有       38 项.

                  3x
                  +                                     *
19.已知函数     f(x)=x 3,在数列{xn}中,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N         ).
             1                        1

    (1)求证:{xn}是等差数列;(2)求当         x1=2时,x2 015 的值.
                          3x
                          +
    解析:(1)证明:∵f(x)=x       3,xn=f(xn-1),
          3xn-1    1  xn-1+3   1   1
           - +           -         -
    ∴xn=xn   1 3.∴xn=  3xn 1 =3+xn   1.
      1    1    1
    即xn-xn-1=3(n≥2,n∈N*).
       1
    ∴{xn}是等差数列.
                1               1             1    1   1
    (2)由(1)可知{xn}是等差数列,且x1=2,公差            d=3,∴xn=x1+(n-1)d=2+
1
3(n-1).
        1      1             2 020
    ∴x2 015=2+3×(2 015-1)=    3  .
             3

    ∴x2 015=2 020.
20.已知{an}是等差数列,且          a1+a2+a3=12,a8=16.
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)若从数列{an}中,依次取出第          2 项,第   4 项,第   6 项,…,第     2n 项,按
原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.
    解:(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4,

    ∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,

    ∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.
    (2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
    当 n>1 时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.

    ∴{bn}是以   4 为首项,4    为公差的等差数列.
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    ∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
                              B 组 能力提升

    12.若{an}为等差数列,且         a1+a5+a9=π,则    cos(a2+a8)的值为________.
    解析:∵{an}为等差数列,∴a1+a9=2a5=a2+a8.代入               a1+a5+a9=π,得
3

2(a2+a8)=π,
             2π                    1

    ∴a2+a8=  3 ,从而   cos(a2+a8)=-2.
            1
    答案:-2
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