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2018秋新版高中数学北师大版必修4习题:第一章三角函数 1.5.2

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                        5.2 正弦函数的性质
                                         课时过关·能力提升
1.函数  y=(sin x-3)2-2(x∈R)的最大值和最小值分别是(  )
A.4 和-2        B.14 和-2    C.14 和 2  D.4 和 0
解析:当   sin x=-1 时,y 取最大值  14;当 sin x=1 时,y 取最小值  2.
答案:C
         1
       =  与函数𝑦  = 𝑠𝑖𝑛 𝑥,𝑥
2.直线  y  2              ∈[0,2π]的图像的交点坐标是(  )
  𝜋 1   𝜋 1
 .  , 𝐵. ,
A (6 2) (3 2)
  𝜋 1 5𝜋 1   𝜋 1 2𝜋 1
 .  , ,   , 𝐷. , ,   ,
C (6 2) ( 6 2) (3 2) ( 3 2)
             1              𝜋    5𝜋
           =  ,𝑥         =  或  =    .
解析:由   sin x 2 ∈[0,2π],得 x  6  x   6
答案:C
3.sin 1°,sin 1,sin π°的大小顺序是(  )
A.sin 1°0,对于函数    f(x)   𝑠𝑖𝑛𝑥
A.有最大值而无最小值                B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值                D.既无最大值又无最小值
                             1
                           ,
解析:因为    0 𝑠𝑖𝑛 𝛽,则𝛼 + 𝛽与 的大小关系是(  )
6.已知  α,β∈( 2)                      2
       𝜋        𝜋
     >   𝐵.𝛼 + 𝛽 <
A.α+β  2         2
      𝜋        𝜋
       𝐷.𝛼 + 𝛽 ≤
C.α+β≥2         2
                         𝜋            𝜋       𝜋    𝜋       𝜋
                       𝑛  - 𝛼 .因为  <   ,所以  <   ‒ 𝛼 < .又   <  ,𝑐𝑜𝑠 
解析:由诱导公式得       cos α=si (2  )    0<α  2     0  2     2   0<β  2    α=si
  𝜋                             𝜋              𝜋             𝜋
𝑛 - 𝛼 > 𝑠𝑖𝑛             在  0, 上是增加的       以  ‒ 𝛼 > 𝛽,即 <  .
 (2   )     β,且正弦函数    y=sin x ( 2)         ,所   2         α+β  2
答案:B
7.已知  f(x)=ax+bsin3x+1(a,b 为常数),且 f(5)=7,则 f(-5)=     . 
解析:令   g(x)=ax+bsin3x,则 g(x)为奇函数.

    ∴f(x)=g(x)+1.∵f(5)=g(5)+1=7,∴g(5)=6.
    ∴f(-5)=g(-5)+1=-g(5)+1=-6+1=-5.
答案:-5
8.对于函数    f(x)=xsin x,给出下列三个命题:

①f(x)是偶函数;
②f(x)是周期函数;
            𝜋           𝜋
        间  0, 上的最大值为       .
③f(x)在区   [ 2]           2
其中正确的命题是       (写出所有正确命题的序号). 
解析:∵f(x)的定义域为      R,且 f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),

    ∴f(x)是偶函数,故①正确;
    虽然函数    y=sin x 是周期函数,但    f(x)=x·sin x 不具有周期性,故②错误;
                𝜋
            间  0, 上是增加的
    ∵f(x)在区   [ 2]         ,
          𝜋                   𝜋  𝜋  𝜋
        在   处取得最大值           为    𝑛 =  ,故
    ∴f(x) 2            ,最大值    2·si 2  2  ③正确.
答案:①③
9.若 f(x)=x2+bx+c 对任意的  x∈R,都有   f(1+x)=f(1-x),则 f(sin 1)与 f(si

𝑛 2)的大小关系是             . 
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解析:由   f(1+x)=f(1-x),可知 f(x)=x2+bx+c 的对称轴是直线    x=1,则函数   f(x)在 x∈(-∞,1]上是减少的.
            𝜋                           𝜋
     <  2 <  ,由正弦函数的性质               在 0,  上是增加的
∵0<1        2               ,知 y=sin x [ 2]         ,即 0f(sin 2).
答案:f(sin 1)>f(sin 2)
10.求函数   y = - 𝑠𝑖𝑛𝑥的递减区间.
解令  u=-sin x,∵y = 𝑢在[0,+∞)上是增加的,且    u≥0,∴sin x≤0,即 x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z).故 y
                         𝜋
=   - 𝑠𝑖𝑛𝑥的递减区间为 2𝑘𝜋 - ,2𝑘𝜋 (𝑘
                   [     2    ] ∈Z).
11.已知函数    f(x)=|sin x-a|,a∈R.
(1)试讨论函数    f(x)的奇偶性;
(2)求当 f(x)取得最大值时,自变量        x 的取值范围.
解(1)当 a=0 时,f(x)是偶函数;
    当 a≠0 时,f(x)是非奇非偶函数.
                                                                𝜋
                                                    为  𝑥 𝑥 = 2𝑘𝜋 - ,𝑘 ∈ 𝑍 ;
    (2)当 a>0,且 sin x=-1 时,f(x)取得最大值,这时   x 的取值范围      { |       2       }
                                                              𝜋
                                                 为  𝑥 𝑥 = 2𝑘𝜋 + ,𝑘 ∈ 𝑍 ;
    当 a<0,且 sin x=1 时,f(x)取得最大值,这时    x 的取值范围      { |        2       }
                                                              𝜋
                                                   为 𝑥 𝑥 = 𝑘𝜋 + ,𝑘 ∈ 𝑍 .
    当 a=0,且 sin x=±1 时,f(x)取得最大值,这时    x 的取值范围      { |       2       }
                         𝑎 1
                       ‒  ‒  的最大值为1,求𝑎的值.
★12.若函数   y=-sin2x+asin x 2 2
解令  t=sin x,则-1≤t≤1.
             𝑎   𝑎2 1   1
        ‒ 𝑡 - 2 +  ‒  𝑎 ‒ ,𝑡
    ∴y=   (  2)   4   2   2 ∈[-1,1].
        𝑎                       3   3         5
      当  <‒ 1,即                ‒  𝑎 ‒ = 1,得  ‒  (不符合题意
    (1) 2       a<-2,t=-1 时,ymax= 2  2     a=  3           ,舍去).
           𝑎            𝑎       𝑎2 𝑎 1
                       =  时     =    ‒  ‒  = 1,解得
                                                     ‒  7或     +  7(不符合题意
    (2)当-1≤2≤1,即-2≤a≤2,t 2  ,ymax  4  2  2        a=1      a=1               ,舍去).
        𝑎                   𝑎 3
      当  > 1,即              =  ‒  = 1,解得
    (3) 2      a>2,t=1 时,ymax 2 2        a=5.
    综上所述,a=1    ‒ 7或a=5.
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