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3.3幂函数图像与性质

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高中数学审核员

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问题引入        我们先看几个具体问题:
 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
   要支付p=   w 元
                                      y  x
 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积


         2
        a                               2
     S                               y  x
 (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积


                                     y  x 3
        a 3
     V 
 (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的


           1
   边长      2
       a  S

                                        1
                                     y  x 2
 (5)如果人t s内骑车行进了1      km,那么他骑车的平均速


   度       t 1
       V    km / s                  y  x1
幂函数的定义:


     一般地,函数            叫做幂函数
                  y  x
              ,其中x为自变量,          为
(power function)              
常数。
 注意:
 (1)幂函数的解析式必须是                 的形式,
                       y  x
     前的系数必须是1,没有其它项。
   x 
 (2)定义域与       的值有关系.
             
幂函数与指数函数的对比:
                        名称
      式子
                常数       x      y
 指数函数: y=a  x
              a为底数     指数     幂值
(a>0且a≠1)
  幂函数   y= xα
       :      α为指数     底数     幂值
 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点

      看未知数x是指数还是底数

      指数函数                 幂函数
快速反应


                        1
 y  0.2x            y  x 2
(指数函数)               (幂函数)


                         x
 y  x1              y  5
(幂函数)                (指数函数)


 y  3x
                    y  5 x
(指数函数)              (幂函数)
幂函数的图象及性质

   对于幂函数,我们只讨论             =1,2,3,    ,
                        


 -1 ,1  ,-2时的情形。
     -
      2
   五个常用幂函数的图像和性质


    (1)               (2)     2 (3)     3
       y  x   y  x   y  x


        1
    (4)               (5) 1
       y  x 2 y  x
x       …   -2   -1  0    1   2   3  4  …
   3
y=x     …   -8   -1  0    1   8  27  64 …
y=x1/2  …    /   /   0    1           2 …
                             2
                                 3
                 y        y=x3
                   8

                   6
                   4

                   2
                                         1
                                      y=x2
         -3 -2 -1 0  1   2 3  4    x
                   -2

                   -4
                   -6
                   -8
                                                                                                                                                                                                                                            1
                                                                                                                           2                                                                                                                2
                                                        yx                                                 yx                                                       yx            3                                         yx
图像


定义域
                                                                                                                                                                            R
                                                       R                                                                                                                                                                 [0,            )
                                                                                                                     R
值域
                                                                                                           [0,           )                                                                                          [0,           )
                                                                 R                                                                                                          R
单调性
                                                            增    函     数                                        先      减      后      增                                                                                      增    函     数
                                                                                                                                                                            增     函    数
奇偶性
                                                                                                                                                                                                                                无    

                                                                                                                                                                              奇
                                                                奇                                                         偶
对称性
                                                                                                                                                                                                                           无    
                                                                 (0, 0)                                                                                                   (0, 0)
                                                                                                                      y轴

过定点                                                    (0, 0)
                                                                                                           (0, 0)                                                 (0, 0)                                               (0, 0)
                                                       (1,1)
                                                                                                           (1,1)                                                  (1,1)                                                (1,1)
象限分布
                                                                                                                                                                       一    三
                                                      一    三                                                  一    二
                                                                                                                                                                                                                                一
                                                                                                                                                                                                                                               1
                                                                     1                                                     2
                                                     yx                                                    yx                                                                     3                                                      
                                                                                                                                                                   yx                                                     yx                 2
图
像

定义域
                                                                                                         (0,            )
                                                                                                                                                                                                                         (0,            )
                                                                                                                                                                   x        0
                                           x        0
值域
                                                                                                      (0,            )
                                      y      0                                                                                                                       y         0                                          (0,            )


单调性                                                                                                                                                                                                                           减     函     数
                                                                                                         先       增      后       减
                                   减    减                                                                                                                         减     减
奇偶性
                                                                                                                                                                                                                           无    
                                                    奇                                                      偶                                                                  奇
对称性
                                                                                                                                                                     (0, 0)
                                             (0, 0)                                                                                                                                                                             无    
                                                                                                            y轴
过定点
                                     (1,1)
                                                                                                      (1,1)                                                  (1,1)                                                          (1,1)
象限分

                                                                                                           一     二
                                             一    三                                                                                                                       一    三
布                                                                                                                                                                                                                                    一
        yx 2
                   yx 3
      (-2,4)      4        (2,4)

                  3             y=x

                  2

                                         1
                                       yx 2
          (-1,1)  1     (1,1)


 -4       -2               2       4        6

y  x 1  (-1,-1) -1

                 -2

                 -3
                                                                 (-2,4)                                                     4                    y=      x3                (2,4)
                                                                                                                                                                        y=      x2

                                                                                                                            3
                                                                                                                                                                                                y=x                                        1
                                                                                                                                                                                                                               y=     x    2
                                                                                                                            2
                                                                                                                                                                                                                  (4,2)


                                                                                                                            1
                                                                                         (-1,1)                                                       (1,1)
                                                                                                                                                                                                  y=      x-1


-6                                        -4                                        -2                                                                                  2                                         4                                         6


                                                                                                                           -1
                                                                                                        (-1,-1)


                                                                                                                           -2


                                                                                                                           -3

       1、所有幂函数在(0,+∞)
         上都有定义,并且图象
         都通过点(1,1).

       2、在第一象限内,
       α >0,在(0,+∞)上为增函数; 
       α <0,在(0,+∞)上为减函数.
                                                                                                                           -4
       3、α为奇数时,幂函数为奇
         函数,
          α为偶数时,幂函数为偶
         函数.
练习:利用单调性判断下列各值的大小。
   (1)5.20.8  与 5.30.8  
   (2)0.20.3   与 0.30.3-2           -2
    (3)   2.5      5   与    2.7      5
  解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
      ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 <  5.30.8
    (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
    ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
    (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
    ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
                           11
                         
 例  3  若       mm4      22   3   2       ,
                                      1
 则  求   m的    取   值   范   围.        
 解    :幂      函   数   f  ( x )   x   2的   定   义   域    是   (0,     )
 且   在   定   义    域   上   是   减   函   数   ,
0       3    2mm            4
       13
         mm         ,.即  为      的   取    值   范   围
       32
小结:     幂函数的性质:
  幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,
  随常数α取值的不同而不同.
1.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
                          α>1 a=1
3.如果α>0,则幂函数               0<α<1
 在(0,+∞)上为增函数;
  如果α<0,则幂函数              α<0
  在(0,+∞)上为减函数。
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