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山西省太原市2018届高考二模文科数学试题含答案

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                       太原市   2018 年高三年级模拟试题(二)

                                    文科数学

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题      5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合    A  {x | 1 x  2} , B  N ,则集合 A B 的子集的个数是(     )

A. 4        B.  6     C.8       D.16

   (2  i)(1 i)2
2.             (    )
      1 2i
                            1            1
A.2         B. -2      C.            D. 
                            3            3

3.设等比数列{an}的前       n 项和  Sn  ,则“   a1  0 ” 是“ S3  S2 ”的(    ) 

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要

4.下列函数中,既是奇函数又在             (0,) 上单调递增的函数是(      )

                                                   sin x                  1
A.   y  ex  ex         B. y  ln(| x | 1)        C. y           D. y  x 
                                                   | x |                  x

5. 公元   263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时,多边形面积可无

限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点

后两位的近似值       3.14,这就是著名的“徽率”,如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一

个程序框图,则输出         n 的值为(     )

(参考数据:      sin150  0.2588 , sin 7.50  0.1305 )


A. 6        B.12       C. 24        D.48

6.某班从    3 名男生和   2 名女生中任意抽取        2 名学生参加活动,则抽到          2 名学生性别相同的概
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

率是(    )
    3            2            3            1
A.            B.          C.            D.
    5            5           10            2
             x2   y2
7.已知椭圆    C :       1(a  b  0) 的半焦距为   c ,原点  O 到经过两点     (c,0),(0,b) 的直线
             a2   b2
         c
的距离为      ,则椭圆的离心率为(     )
         2
      3              2          1              3
A.              B.           C.           D.
     2              2           2             3
                              5
8. 已知  a  21.1 , b  50.4 , c  ln ,则(     )
                              2
A.  b  c  a         B. a  c  b        C. b  a  c          D. a  b  c
                                                   
9.已知函数     f (x)  asin x  3 cos x 的一条对称轴为   x    ,若   f (x ) f (x )  4 ,则
                                                   6         1    2

| x1  x2 | 的最小值为(    )
                            2            3
A.             B.          C.            D.
    3              2          3              4
                   y  0
                   
10.已知实数    x, y 满足 x  y  0   ,若   ax  y 1 a  0 恒成立,则实数    a 的取值范围是
                   
                   2x  y  2  0

(     )
                            1                                   1
A.  (,2]         B.  (1,  ]      C. (,1]         D. (, ]
                            2                                   3
11.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    )


    7             8           7              8
A.              B.             C.              D.
    3               3              3               3

                   3    2
12.已知函数     f (x)  x  ax  bx 有两个极值点   x1, x2 ,且 x1  x2 ,若 x1  2x0  3x2 ,则函


数  g(x)  f (x)  f (x0 ) (    )
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A.恰有一个零点         B.恰有两个零点       C.恰有三个零点         D.零点个数

不确定

二、填空题(每题        5 分,满分    20 分,将答案填在答题纸上)
                                                      
13.已知非零向量      a,b 满足|  a | 2 | b | ,且 (a  b)  (a  3b) ,则向量 a,b 的夹角的余弦值

为          .

          x2  y2
14.双曲线          1 (a  0,b  0)  上一点 M (3,4) 关于一条渐近线的对称点恰为双曲线
          a2  b2


的右焦点    F2 ,则该双曲线的标准方程为          .

15.已知菱形    ABCD   中,  AB  6  3 , BAD   600 ,沿对角线    BD 折成二面角

 A  BD  C 为 600 的四面体,则四面体       ABCD   的外接球的表面积为          .


                                 2         bn  2       *
16.数列{an}中,若      a1  2 , an1    , an       , n  N  ,则数列{|   bn |}的前  n 项
                               an 1       bn 1

和为          .

三、解答题 (本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

17. 已知  ABC  的内角    A, B,C 的对边分别为     a,b,c ,且 a tan A  3(c cos B  bcosC) .

(1)求角     A ;
                  
(2)若点    D 满足   AD  2AC  ,且  BD  3 ,求  2b  c 的取值范围.

18. 按照国家质量标准:某种工业产品的质量指标值落在[100,120)                      内,则为合格品,否则

为不合格品. 某企业有甲乙两套设备生产这种产品,为了检测这两套设备的生产质量情况,

随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了                   50 件产品作为样本,对规定的质量指标值进行

检测.表    1 是甲套设备的样本频率分布表,图              1 是乙套设备的样本频率分布直方图.
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(1)将频率视为概率,若乙套设备生产了                  5000 件产品,则其中的不合格品约有多少件;

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有                     90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、

乙两套设备的选择有关;


(2)根据表     1 和图  1,对甲、乙两套设备的优劣进行比较;

附:


19. 四棱锥   P  ABCD  中,平面    PAD   平面  ABCD   ,底面   ABCD  为梯形,    AB / /CD ,

 AB  2DC   2 3 , AC  BD   F , PAD  与 ABD  均为正三角形,       E 为  AD 的中点,

 G 为 PAD  的重心.


(1)求证:     GF  / / 平面 PDC ;

(2)求三棱锥      G  PCD  的体积.
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20. 已知以点    C(0,1) 为圆心的动圆     C 与  y 轴负半轴交于点      A ,其弦   AB  的中点   D 恰好落在

 x 轴上.

(1)求点    B 的轨迹   E 的方程;

(2)过直线     y  1上一点   P 作曲线   E 的两条切线,切点分别为           M , N ,求证:直线     MN  过

定点.

21.已知函数     f (x)  mln x  ex (m  0) . 

(1)若函数      f (x) 是单调函数,求实数       m 的取值范围;
                                                             a
(2)证明:对于任意的正实数             a,b ,当 a  b 时,都有   e1a  e1b 1 .
                                                             b
请考生在     22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修   4-4:坐标系与参数方程

                        2   2
已知点   P 是曲线   C1 : (x  2)  y  4 上的动点,以坐标原点       O 为极点,以     x 轴正半轴为极

轴,建立极坐标系,以极点            O 为中心,将点      P 逆时针旋转     900 得到点  Q ,设点   Q 的轨迹方程


为曲线   C2 .


(1)求曲线     C1 , C2 的极坐标方程;
             
(2)射线        (  0) 与曲线  C , C  分别交于    A, B 两点,定点    M (2,0) ,求 MAB   的面
             3               1    2
积.

23.选修   4-5:不等式选讲

已知实数    a,b 满足  a2  4b2  4 .

(1)求证:     a  1 b2  2 ;

(2)若对任意      a,b R ,| x 1|  | x  3| ab 恒成立,求实数   x 的取值范围.
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                                    参考答案

一、选择题

1-5: CADDC      6-10: BADCC     11、12:BB

二、填空题

      2              x2   y2
13.              14.       1          15. 156            16. 4(2n 1)
     4                5   20

三、解答题

17.(1)∵   a tan A  3(c cos B  bcosC)

∴ sin Atan A  3(sin C cos B  sin B cosC)

∴ sin Atan A  3 sin(C  B)  3 sin A

∵ 0  A   ,∴ sin A  0

∴  tan A  3 ,∴  A  600

(2)在   ABD   中,根据余弦定理得:          AD2  AB2  BD2  2ADAAB  cos A

即 (2b)2  c2  9  2bc
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∴ (2b  c)2  9  6bc

         2b  c     (2b  c)2  9       2b  c
又  2bc  (    )2 ,∴              2bc  (    )2
           2             3                3

∴ (2b  c)2  36 ,∴ 2b  c  6

又  2b  c  3 ,∴ 3  2b  c  6 .
                                              7
18.(1)由图    1 知,乙套设备生产的不合格品率约为                  ,
                                             50
                                               7
∴乙套设备生产的        5000 件产品中不合格品约为         5000      700 (件)
                                               50
(2)根据表     1 和图  1 得到列联表:

                    甲套设备                 乙套设备                合计

合格品                 48                   43                  91

不合格品                2                    7                   9

合计                  50                   50                  100

将列联表中的数据代入公式计算得:

            n(ad  bc)2        100(487    2 43)2
 K 2                                               3.053
      (a  b)(c  d)(a  c)(b  d) 5050919

∵ 3.053  2.706 ,

∴有   90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
                                                      48
(3)根据表     1 和图  1 可知,甲套设备生产的合格品的概率约为                    ,乙套设备生产的合格品
                                                      50
          43
的概率约为        ,甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)                    之间,乙套设备生
          50
产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散,因此,可以认为甲套设备生产的合格品的

概率更高,且质量指标值更稳定,从而甲套设备优于乙套设备.

19.(1)连接    AG  并延长交    PD 于  H ,连接   CH  ,
                                           AE   2
梯形   ABCD  中,∵   AB / /CD 且 AB  2DC  ,∴      
                                          FC    1
                        AG   2
又 G  为 PAD  的重心,∴         
                       GH    1
              AG   AF    2
在  AHC  中,              ,故  GF / /HC
             GH    FC    1
又  HC  平面   PCD ,  GF  平面   PCD ,∴  GF  / / 平面 PCD .
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(2)∵平面    PAD  平面  ABCD , PAD  与 ABD 均为正三角形,      E 为 AD 的中点,

∴ PE  AD ,∴  PE  平面 ABCD  ,且  PE  3 ,
                                                 1
由(1)知,    GF / / 平面 PDC ,∴V       V     V       PE  S
                            GPCD  F PCD F CDP 3       CDF
                                                1     2
又由梯形   ABCD  , AB / /CD 且 AB  2DC  2 3 ,知 DF  BD     3 ,
                                                3     3

又 ABD 为正三角形,得      CDF   ABD  600

        1                       3
∴ S      CD DF  sin FDC 
   CDF 2                      2

         1              3                          3
∴V        PE  S      ,∴三棱锥    G  PCD 的体积为
   PCDF 3       CDF  2                          2
                              x
20.(1)设  B(x, y) ,则 AB 的中点 D(  ,0) , y  0 ,
                              2
                x      x
因为 C(0,1) ,则 DC  ( ,1) , DB  ( , y) ,
                    2          2
                                 x2
在圆 C 中,因为    DC  DB ,∴  DC  DB  0 ,所以    y  0 ,即 x2  4y(y  0)
                                          4

所以点  B 的轨迹   E 的方程为   x2  4y(y  0) .

(2)证明:由已知条件可得曲线          E 的方程为   x2  4y


设点  P(t,1) , M (x1, y1) , N(x2 , y2 ) ,

     x2        x
∵ y   ,∴  y ' 
     4         2
                               x                x
∴过点  M , N 的切线方程分别为     y  y  1 (x  x ) , y  y  2 (x  x ) ,
                            1  2     1       2  2     2

        2    2   2
由 4y1  x1 , 4y2  x2 ,上述切线方程可化为   2(y  y1)  x1x , 2(y  y2 )  x2 x ,


∵点  P 在这两条切线上,∴      2(y1 1)  tx1 , 2(y2 1)  tx2 ,
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即直线  MN  的方程为   2(y 1)  tx ,

故直线  2(y 1)  tx 过定点 C(0,1) .

21.(1)函数   f (x) 的定义域为  (0,)

                           m       m  xex
∵ f (x)  mln x  ex ,∴ f '(x)   ex 
                           x          x

∵函数   f (x) 是单调函数,∴   f '(x)  0 在 (0,) 上恒成立或 f '(x)  0 在 (0,) 上恒成立,


               m  xex                             x
①若  f '(x)  0 ,则      0 ,即 m  xex  0 , m  xex  ,
                  x                                ex
         x           x 1
令(x)    ,则  '(x)    ,
         ex           ex
当 0  x 1时, '(x)  0 ;当 x 1时, '(x)  0
                                                1         1
则(x) 在 (0,1) 上递减, (1,) 上递增,∴(x)      (1)   ,∴ m  
                                      min       e         e
               m  xex                             x
②若  f '(x)  0 ,则      0 ,即 m  xex  0 , m  xex 
                  x                                ex
             x
由①得(x)      在 (0,1) 上递减, (1,) 上递增,
            ex
又(0)  0 , x   时,(x)  0 ,∴ m  0
              1
综上可知,    m   或 m  0
              e
                     1           1
(2)由(1)知,当      m   时,  f (x)   ln x  ex 在 (0,) 上递减
                     e           e
                            1           1
∵ 0  b  a ,∴ f (b)  f (a) ,即  ln b  eb   ln a  ea ,∴ e1a  e1b  ln b  ln a
                            e           e
                a                   a        b     a
要证 e1a  e1b 1 ,只需证 ln b  ln a 1 ,即证 ln 1
               b                    b        a     b
    b                        1             1            t 1
令 t  , t (0,1) ,则需证 ln t 1 ,令 h(t)  ln t  1,则 h'(t)   0
    a                        t             t             t 2
∴ h(t) 在 (0,1) 上递减,又 h(1)  0
                   1
∴ h(t)  0 ,即 ln t 1 ,得证.
                   t

22. (1)曲线  C1 的极坐标方程为     =4cos .
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                                   
设 Q(, ) , P(,  ) ,于是   4cos(  )  4sin ,
                 2                  2

所以,曲线    C2 的极坐标方程为       4sin .
                               
(2) M  到射线     的距离为    d  2sin   3 ,
                3               3
                       
| AB | P  P  4(sin  cos )  2( 3 1) ,
       B  A       3     3
     1
则 S   | AB |d  3 3 .
     2

                                 2 | a | 4  4b2 a2  4  4b2
23. (1)证明:   aA 1 b2 | a | 1 b2                     2 .
                                      4            4

(2)由  a2  4b2  4 及 a2  4b2  2 4a2b2  4 | ab | ,可得| ab |1,所以 ab  1,

                     2                2
当且仅当   a  2 , b    或 a   2 , b    时取等号.
                    2                 2

因为对任意    a,b R ,| x 1|  | x  3| ab 恒成立,所以| x 1|  | x  3| 1.

当 x  1时,| x 1|  | x  3| 4 ,不等式| x 1|  | x  3| 1恒成立;

                                    1 x  3           1
当 1 x  3时,| x 1|  | x  3| 2x  2 ,由   ,得  1 x  ;
                                    2x  2  1         2

当 x  3 时,| x 1|  | x  3| 4 ,不等式| x 1|  | x  3| 1不成立;
                           1
综上可得,实数     x 的取值范围是    x   .
                            2


 
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