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112.棱柱、棱锥和棱台的结构特征

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1.1.1 柱、锥、台、球
    的结构特征
一.多面体及相关概念

1.多面体:多面体是由若干个平面多边
形所围成的几何体,如下图中的几何体
都是多面体.
2.相关概念:
(1)围成多面体的各个
多边形叫做多面体的面;
(2)相邻两个面的公共
边叫做多面体的棱;
(3)棱和棱的公共点
叫做多面体的顶点;
        棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边
        形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
        行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
          顶点

      侧面                                                                                                                                      底面

(一).   棱柱及相关概念
1.定义:

          侧棱
2.相关概念:
1)棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底;
(2)其余各面叫做棱柱的侧面;
(3)相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;
(4)侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点;
棱柱的主要结构特征:
 1)底面平行;
 2)侧面平行四边形
 3)侧棱互相平行;
③ 但是注意“     有两个面
互相平行,其余各面都
是平行四边    形”的几何
体未必是棱柱。
如图所示的几何体虽有
两个平面互相平行,其
余各面都是平行四边形,
但不满足“每相邻两个
面的公共边互相平行”,
所以它不是棱柱。
3.棱柱的分类:
(1)按底面多边形的边数分为三棱柱、
四棱柱、五棱柱等(见图)
(2)按侧棱与底面的关系分类:
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
                             D   1
                                                                         C   1


4.棱柱的表示:
用表示各顶点的字母表示棱柱:如棱A   1
                                                           B   1
柱ABCD-A1B1C1D1;                D
                                                                          C


                  A                                       B
     几种四棱柱(六面体)的关系:

         底面是                 侧棱与底面
       平行四边形                    垂直

 四棱柱            平行六面体                直平行六面体


底面是               底面为            侧棱与底面
 矩形               正方形             边长相等

       长方体                 正四棱柱            正方体
 (二). 棱锥及相关概念
1.定义:有一个面是多边形,而其余各
面都是有一个公共顶点的三角形,由这些
面围  成的几何体叫做棱锥,如下图所示。
2.相关概念:
(1)棱锥中有公共顶点的各三角形叫做
棱锥的侧面,如侧面       SAB、SAE 等;

               S      棱锥的顶点

                       棱锥的侧棱

  棱锥的高           D       棱锥的侧面
           E     O       C
                         棱锥的底面
               A    B
(2)各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,
如顶点S
(3)相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧
棱,如侧棱SA、SB等;
(4)棱锥中的多边形叫做棱锥的底面,
如底面ABC、ABCDE等;
(5)棱锥顶点到底面的垂直距离,叫做
棱锥的高,如SO. 
3. 如何理解棱锥?
(1)  棱锥是多面体中的重要一种,它有
两个本质的特征:
①有一个面是多边形;
②其余各面是有一个公共顶
点的三角形,二者缺一不可。
(2)棱锥有一个面是多边形,
其余各面都是三角形,
但是右图不是棱锥! 
4.棱锥的分类:
(1)按底面多边形的边数分为三棱锥、
四棱锥、五棱锥等,其中三棱锥又叫四面
体!


  三棱锥         四棱锥       五棱锥
(四面体)
(2)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边
形,它的顶点在底面多边形的投影为底面
的中心,则这个棱锥叫做正棱锥!
                 S


                 D

         E      O       C

             A    B
5.棱锥的表示:

 用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥:
如三棱锥P-ABC,四棱锥S-ABCD.
                 S


                 D

         E       O       C

             A    B
1.棱锥侧面是有公共顶点的三角形,能
围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最
大值是(      )
A.3     B.4     C.5     D.6
2.下面描述中,不是棱锥的几何结构特征
的为(     )
A.三棱锥有四个面是三角形
B.棱锥都是有两个面是互相平行的多边形
C.棱锥的侧面都是三角形
D.棱锥的侧棱交于一点
 (三).棱台及相关概念
 1.定义:棱锥被平行于底面的平面所截,
 截面和底面间的部分叫做棱台.
要注意的是棱                       上底面
台的各条侧棱                             侧棱
延长后,将会
交于一点,即                              侧面
棱台可以还原
成棱锥.                                高

                                  顶点

                               下底面
2.相关概念:
(1)棱台的下底面、上底面:原棱锥的底
面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面;
(2)棱台的侧面:棱台中除上、下底面以
外的面叫做棱台的侧面;
(3)棱台的侧棱:相邻两侧面的公共边叫
做棱台的侧棱;
(4)棱台的高:上底面到下底面的垂直距
离叫做棱台的高。
3.棱台的分类:
(1)按底面多边形的边数分为三棱台、
四棱台、五棱台等;
(2)正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做
正棱台。


                   正四棱台
    正棱锥
                                      D'                  C'
                                              O'
                            A'
                                                 B'
4.棱台的表示:
棱台可用表示上、下底面的字母来命名,                   D                                  C
如可以记   作  棱 台ABCD-A’B’C’D’,
                                          O
                 A
                                                      B
二.旋转体的概念
 由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的
曲面所围成的几何体叫做旋转体,这条直线
叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、
圆锥、圆台和球.
(一).圆柱及相关概念

1.定义:以矩形的一边所在的直线为旋
转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所
围成的几何体叫做圆柱。
          圆柱
                            轴

                           侧面
母线
                           母线

                           底面

   记作:圆柱OO’
2.相关概念:
(1)圆柱的轴:旋转轴叫做圆柱的轴;
(2)圆柱的高:在轴上的这条边(或它
的长度)叫做圆柱的高;
(3)圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而
成的圆面叫做圆柱的底面;
(4)圆柱的侧面:不垂直于轴的边旋转
而成的曲面叫做圆柱的侧面;
(5)圆柱的母线:无论旋转到什么位置,
不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。
3.圆柱的表示方法:用表示它的轴的字
母表示,如圆柱OO’ .
4.圆柱具有以下性质:
(1)圆柱的底面是两个半径相等的圆,
圆的半径等于矩形的边的长,两圆所在的
平面互相平行;
(2)通过轴的各个截面是叫做轴截面,
轴截面是全等的矩形;
(3)母线平行且相等,它们都垂直于底
面,它们的长等于圆柱的高.
 (二).圆锥及相关概念
1.定义:以直角三角形的一条直角边所
在的直线为旋转轴,将直角三角形旋转一
周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
2.相关概念:
(1)圆锥的轴:旋转轴叫做圆锥的轴;
(2)圆锥的高:在轴上的这条边(或它的
长度)叫做圆锥的高;
(3)圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫做圆锥的底面;
(4)圆锥的侧面:不垂直于轴的边旋转而
成的曲面叫做圆锥的侧面;
(5)圆锥的母线:无论旋转到什么位置,
不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线;
3.圆锥具有以下性质:
(1)圆锥的底面是一个圆,圆的半径就是
直角边的长,底面和轴垂直;
(2)平行于底面的截面是圆;
(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截
面是全等的等腰三角形;
(4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角
形;
(5)母线都过顶点且相等,各母线与轴的
夹角相等。
三.圆台及相关概念
1.定义:以直角梯形的一条直角边所在
的直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而
形成的曲面所围成的几何体叫做圆台。
2.相关概念:
(1)圆台的轴:旋转轴叫做圆台的轴;
(2)圆台的高:在轴上的这条边(或它
的长度)叫做圆台的高;
(3)圆台的底面:垂直于轴的边旋转而
成的圆面叫做圆台的底面;
(4)圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转
而成的曲面叫做圆台的侧面;
(5)圆台的母线:无论旋转到什么位置,
不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。
                          上底面

                           侧面
 母线
                           母线
  轴
                           下底面

3.圆台的表示方法:用表示它的轴的字
母表示,如圆台OO’。
4.圆台具有以下性质:
(1)圆台的底面是两个半径不等的圆,两圆
所在的平面互相平行又都和轴垂直;
(2)平行于底面的截面是圆;
(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面
是全等的等腰梯形;
(4)任意两条母线(它们延长后会相交)确
定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形;
(5)母线都相等,各母线延长后都相交于一
点。
(四).球及相关概念:
1.定义:以半圆的直径所在的直线为旋转
轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。
另外将圆绕直径旋转180°得到的几何体也
是球。
2.相关概念:
(1)球面:球面可以看作一个半圆绕着它
的直径所在的直线旋转一周形成的曲面;
(2)球心:形成球的半圆的圆心叫做球心;
(3)半径:连接球面上一点和球心的线段
叫球的半径;
(4)直径:连接球面上的两点且通过球心
的线段叫球的直径;
3.球的表示方法:用表示球心的字母表
示,如球O    .

4.球的截面性质:
(1)球的截面是圆面
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面;
(3)            (其中r为截面圆半径,
     r R22 d
R为球的半径,d为球心O到截面圆的距离,

即O到截面圆心O1的距离;
1.将图1所示的三角形线直线l旋转一
周,可以得到如图2所示的几何体的是
哪一个三角形(      )
2.有下列命题
  (1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这
两点的连线是圆柱的母线;
  (2)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥
的母线;
  (3)在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点
的连线是圆台的母线;
  (4)圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行
的.
  其中正确的是(       )
 A.(1)(2)           B.(2)(3)
  C.(1)(3)          D.(2)(4)
3.填空
 过球的半径的中点,作一个垂直于这条
 半径的截面,则这个截面圆的半径是球
 半径的          。
          3
          R
          2
例1. 已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为
16,一条侧棱长为2     ,计算它的高和斜
               11
高。
 解:设VO为正四棱锥V-
 ABCD的高,作OM⊥BC于
 点M,则M为BC中点,
连接OM、OB,则
VO⊥OM,VO⊥OB.
 因为底面正方形ABCD的面积是16,所以
 BC=4,MB=OM=2,


    OB                BM22             OM                 22
又因为VB=          ,在Rt△VOB
                2 11
中,由勾股定理得


  VO            VB22          OB

   (2             11)22        (2       2  )        6
在Rt△VOM中,由勾股定理得


   VM                    622                                   2                      2            10

 即正四棱锥的高为6,斜高为
                                                                                                            2   10
例2 .用一个平行于圆锥底面的平面截这
个圆锥,截得圆台上下底面半径的比是
1 :4,截去的圆锥的母线长是3cm,求
圆台的母线长. 
解:设圆台的母线为l,截得的圆锥底面
与原圆锥底面半径分别是r,4r,根据相
似三角形的性质得


   3  r
           解得l=9.
  3  l 4r
所以,圆台的母线长为9cm.
 练习:
1、圆柱的轴截面是正方形,它的面
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。             h
    (h=3, c=2πr=3π)


2、圆锥的轴截面是正三角形,它的                 l
                              h
面积是     ,求圆锥的高与母线的长。
     3
       (h=       ,l=2)
         3
3、圆台的轴截面中,上、下底面边长
分别为2cm,10cm,高为3cm,求圆台母线
                                 l
的长。


     (l    322  (5  1)   5)
 三.组合体
  由柱、锥、台、球等基本几何体组合而
成的几何体称为组合体。组合体可以通过
把它们分解为一些基本几何体来研究
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