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2.1.2椭圆的简单几何性质

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隆德县高级中学
        王玉蓉
  复习回顾:
   1.椭圆定义:

平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |
)             的点的轨迹叫做椭圆。

   2.椭圆的标准方程:


   3.椭圆中a,b,c的关系:a2=b2+c2
 考纲考情
       考纲考情                  命题研究
1. 掌握椭圆的几何图形      1.    内容探究 :以考查椭圆的             
及简单性质(范围,对     性质为主;
称性,顶点,离心率)          2. 形式探究:题型主要以选
;                   择题、填空题为主,一般为
2. 了解椭圆的简单应用        中档题;用性质求解椭圆方
;                   程的题型一般会出现在解答
3. 理解数形结合思想.        题第一问.

全国卷5年4考     命题指数★★★★☆
       在解析几何里,是利用曲线的方程
来研究曲线的几何性质的,也就是说是
通过对曲线方程的讨论得到曲线的形状
、大小和位置。
观察-猜想-归纳
活动一:从x、y范围来观察方程                 
对应的椭圆图像,它可能具有哪些性质?
                y
                4
                3
                   B2 
                2
                1
      A1                    A2 
       -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x
                -2
                -3 B1 
                -4

   范围:-5 ≤x≤5,    -2≤y≤2 
                                y
                             B
椭圆的标准方程                       2
                                    a
                     A        b        A2
                      1                   x
                        F1    o c    F2

                             B
1.范围:                         1
                  
                     -a≤x≤a, -b≤y≤b
                
 故椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中.(外切矩形)
观察-猜想-归纳
活动二:观察方程            对应的椭圆
图像,与坐标轴有几个交点,坐标是什么?
              y
              4
              3
                 B2 
              2
              1
     A1                 A2 
      -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x
              -2
              -3 B1 
              -4
  顶点:A1(-5,0)    A2(5,0),

        B1(0,-2)   B2(0,2)
                   y
                   4
                   3
                      B2 
                   2
                   1            A  
       A1                        2
        -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5  x
                  -2
                  -3  B1 
                  -4
*顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,叫做椭圆的顶点
。

*长轴、短轴:线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴
。

            OA1,OB2分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长
。
2.顶点与长短轴:

椭圆与它的对称轴的四个                   (a>b>0)
交点——椭圆的顶点.

椭圆顶点坐标为:                    y
                              B2(0,b)
A1(-a,0),A2(a,0),
                                    A (a, 0)
                       A1(-a, 0)     2
B1(0,-b),B2(0,b).             o      x

                              B (0,-b)
回顾:                            1
  焦点坐标(±c,0)
 长轴:线段A1A2;       长轴长   |A1A2|=2a.

 短轴:线段B1B2;       短轴长   |B1B2|=2b.
                  焦  距   |F F |=2c.
     注意                  1 2
                                 y
                                B2(0,b)
                                   a
                    A (-a, 0)  b      A
①a和b分别叫做椭圆的          1                 2 (a, 0)
                          F     o  c
                           1        F2  x
长半轴长和短半轴长;
                                B1(0,-b)
   2 2  2
②a =b +c ,|B2F2|=a;
③焦点必在长轴上.
观察-猜想-归纳
活动三:从对称性观察方程              对应的
椭圆图像,它可能具有哪些性质?
                      y
                       4
                       3
             P (-x,y)    B  
              1        2  2         P(x,y)
                       1
         A  
           1                          A2 
          -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2  3 4  5    x   
            P (-x,-y  -2
             3           B  
            )         -3  1
                      -4

  对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点对称
3.椭圆的对称性:

                x         -x
在方程中,把  y    x      y   换成      -y     -x -y  , y
方程不变,说明:                 Q(-x,y)  P(x,y)
椭圆关于    y 轴对称;
                               o         x
椭圆关于    x 轴对称;
椭圆关于      (0,0)     点对称; N(-x,-y)  M(x,-y)
坐标轴是椭圆的对称轴,
原点是椭圆的对称中心,又叫做椭圆的中心.
想一想:椭圆的对称轴一定是x轴和y轴吗?对称中
心一定是原点吗?

                  y


            F    o
             1        F2    x


说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变.
活动4:归纳
 椭圆                                  简单的几何性质
                y

              B2 (0,b)

                       A(a,0)
       A1               2
     (-a,0) F1  o    F2  x


              B1 (0,-b)
  1、范围 :-a≤x≤a,    -b≤y≤b
  2、对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
  3、顶点: A1(-a,0)    A2(a,0),
          B1(0,-b)   B2(0,b)
   根据前面所学有关知识画出下列图形

  (1)                        (2)

          y                         y
          4                         4  B2 
          3  B                      3
          2   2                     2
          1                         1
A1                   A2                        A2 
 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 x
         -2                         -2
         -3 B1                      -3
         -4                         -4
                                       B1 
 4、椭圆的离心率

离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:
       叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围:0b
离心率

 a、b、c的关
系            a2=b2+c2
分层作业 :
课本42页:必做题4、5、
          选作题9。
谢谢指导,再见!


         制作:王玉蓉
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