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2018年高中数学第二章数列2.2等差数列学案新人教A版必修5

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高中数学审核员

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                                2.2 等差数列

                        第一课时 等差数列的概念及通项公式


     预习课本    P36~38,思考并完成以下问题 

    (1)等差数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等差数列?

    (2)等差数列的通项公式是什么?

     
    (3)等差中项的定义是什么?


        

                                    [新知初探]
    1.等差数列的定义
    如果一个数列从第        2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列
就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母                          d 表示.
    [点睛] (1)“从第      2 项起”是指第      1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的
差”相吻合.
    (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了:
①作差的顺序;②这两项必须相邻.
    (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数
列不能称为等差数列.
    2.等差中项
    如果三个数     a,A,b   成等差数列,那么        A 叫做 a 与 b 的等差中项.这三个数满足的关
         a+b
系式是   A=   2 .
    3.等差数列的通项公式

    已知等差数列{an}的首项为          a1,公差为   d.
                     递推公式                    通项公式

                                                          *
                an-an-1=d(n≥2)         an=a1+(n-1)d(n∈N   )


    [点睛] 由等差数列的通项公式             an=a1+(n-1)d  可得   an=dn+(a1-d),如果设      p=

d,q=a1-d,那么      an=pn+q,其中     p,q 是常数.当     p≠0  时,an 是关于    n 的一次函数;
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当  p=0 时,an=q,等差数列为常数列.

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)若一个数列从第       2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列

(  )

    (2)等差数列{an}的单调性与公差          d 有关(  )
    (3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项(  )
    (4)若三个数    a,b,c   满足  2b=a+c,则    a,b,c  一定是等差数列(  )
    解析:(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,
则这个数列就不是等差数列.
    (2)正确.当    d>0 时为递增数列;d=0        时为常数列;d<0      时为递减数列.
    (3)正确.只需将项数        n 代入即可求出数列中的任意一项.
    (4)正确.若    a,b,c   满足  2b=a+c,即    b-a=c-b,故     a,b,c  为等差数列.
    答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√

    2.等差数列{an}中,a1=1,d=3,an=298,则            n 的值等于(  )
    A.98                               B.100
    C.99                                D.101 

    解析:选    B an=a1+(n-1)d=3n-2,令       an=298,即   3n-2=298⇒n=100.

    3.在等差数列{an}中,若         a1·a3=8,a2=3,则公差      d=(  )
    A.1                                 B.-1
    C.±1                                D.±2

    解析:选    C 由已知得,Error!解得       d=±1.

                     x           x
    4.若  log32,log3(2 -1),log3(2  +11)成等差数列.则        x 的值为________.

                  x            x           x                  x 2     x
    解析:由    log3(2 +11)-log3(2 -1)=log3(2  -1)-log32,得:(2     ) -4·2  -21=

      x
0,∴2   =7,∴x=log27.

    答案:log27


                                      等差数列的通项公式及应用

    [典例] 在等差数列{an}中,

    (1)已知  a5=-1,a8=2,求      a1 与 d;

    (2)已知  a1+a6=12,a4=7,求     a9.

    [解] (1)∵a5=-1,a8=2,
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    ∴Error!解得Error!

    (2)设数列{an}的公差为       d.

    由已知得,Error!解得Error!

    ∴an=1+(n-1)×2=2n-1,

    ∴a9=2×9-1=17.


    在等差数列{an}中,首项         a1 与公差  d 是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如

果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关                    a1,d  的关系列方程组求解,但是要注意
公式的变形及整体计算,以减少计算量.   

     
    [活学活用]
    1.2 016 是等差数列      4,6,8,…的(  )
    A.第  1 006 项                       B.第   1 007 项
    C.第  1 008 项                        D.第  1 009 项

    解析:选    B ∵此等差数列的公差          d=2,∴an=4+(n-1)×2,an=2n+2,即           2 
016=2n+2,∴n=1 007.

    2.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断              153 是不是这个数列的项,如果
是,是第几项?

    解:设首项为      a1,公差为    d,则  an=a1+(n-1)d,

    由已知Error!

    解得Error!

    所以  an=-23+(n-1)×4=4n-27,

                                          *
    令 an=153,即   4n-27=153,解得     n=45∈N   ,所以   153 是所给数列的第       45 项.

                                           等差中项的应用


    [典例] 已知等差数列{an},满足           a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公
式.

    [解] 在等差数列{an}中,

    ∵ a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.

    ∴Error!解得Error!或Error!

    当Error!时,a1=16,d=-5.

    an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.
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    当Error!时,a1=-4,d=5.

    an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.


                                     a+c
    三数  a,b,c   成等差数列的条件是         b=  2 (或  2b=a+c),可用来进行等差数列的判

                                                                       *
定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证                        2an+1=an+an+2(n∈N  ). 

       
    [活学活用]
    1.已知数列     8,a,2,b,c   是等差数列,则       a,b,c   的值分别为________,
________,________.
    解析:因为     8,a,2,b,c   是等差数列,

    所以Error!解得Error!
    答案:5 -1 -4
                                            1
                                         {  + }
    2.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列             an 1 为等差数列,则       a5=________.
                  1                    1      1     2              7
                { +  }                 +      +     +
    解析:由数列       an 1 为等差数列,则有a3         1+a7   1=a5  1,可解得    a5=5.
          7
    答案:5

                                                    等差数列的判定与证明

                                          4                 1

    [典例] 已知数列{an}满足         a1=4,an=4-an-1(n>1),记     bn=an-2.求证:数列

{bn}是等差数列.
    证明:[法一 定义法]
                         1
               1         4         an
                     4-    -2
             +  -    (    )        -
    ∵bn+1=an   1  2=    an   =2an   2,
                  an       1      an-2    1
                                                        *
    ∴bn+1-bn=2an-2-an-2=2an-2=2,为常数(n∈N             ).
            1    1

    又 b1=a1-2=2,
                     1        1

    ∴数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列.
    [法二 等差中项法]
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           1

    ∵bn=an-2,
                         1
               1         4         an
                     4-    -2
             +  -    (    )        -
    ∴bn+1=an   1  2=    an   =2an   2.
                              4
                           4-
                              an
               an+1          4      an-1
                         2 4-  -2
                + -      (       )    -
    ∴bn+2=2an   1  2=      an   =an   2.
                       1    an-1         an

    ∴bn+bn+2-2bn+1=an-2+an-2-2×2an-2=0.

                        *
    ∴bn+bn+2=2bn+1(n∈N   ),

    ∴数列{bn}是等差数列.


                           等差数列判定的常用的          2 种方法

                                   *
    (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N        )⇔{an}为等差数列.

                                     *
    (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N        )⇔{an}为等差数列.

       
    [活学活用]
        1  1  1
    已知a,b,c成等差数列,并且            a+c,a-c,a+c-2b      均为正数,求证:lg(a+c),
lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.
          1  1  1             2  1  1
    解:∵a,b,c成等差数列,∴b=a+c,
      2  a+c
    ∴b=   ac ,即  2ac=b(a+c).
    (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-

c)2.
    ∵a+c,a+c-2b,a-c       均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a+c)(a+c-
2b)]=lg(a-c)2,即    lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c),
    ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.


                               层级一 学业水平达标

    1.已知等差数列{an}的通项公式为            an=3-2n,则它的公差为(  )
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    A.2                                B.3
    C.-2                                D.-3

    解析:选    C ∵an=3-2n=1+(n-1)×(-2),∴d=-2,故选               C.
                                1

    2.若等差数列{an}中,已知          a1=3,a2+a5=4,an=35,则      n=(  )
    A.50                                B.51
    C.52                                D.53
                                                       1       2

    解析:选    D 依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入            a1=3,得   d=3.
                        1          2  2   1

    所以  an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×3=3n-3,令          an=35,解得    n=53.
    3.设  x 是 a 与 b 的等差中项,x2     是  a2 与-b2 的等差中项,则       a,b 的关系是(  )
    A.a=-b                              B.a=3b
    C.a=-b   或  a=3b                    D.a=b=0
                                      a+b
    解析:选    C 由等差中项的定义知:x=             2 ,
        a2-b2
    x2=   2  ,
      a2-b2   a+b
    ∴   2  =(  2  )2,即 a2-2ab-3b2=0.
    故 a=-b   或 a=3b.

    4.数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则        a2 015 的值是(  )
    A.1 006                             B.1 007
    C.1 008                             D.1 009
                                           1

    解析:选    D 由   2an+1=2an+1,得   an+1-an=2,所以{an}是等差数列,首项           a1=2,
       1
公差   d=2,
               1        n+3

    所以  an=2+2(n-1)=     2 ,
               2 015+3

    所以  a2 015=   2   =1 009.

    5.等差数列{an}的首项为         70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为(  )

    A.a8                                B.a9

    C.a10                               D.a11
                                                     7
                                                    |8 -n|
    解析:选    B |an|=|70+(n-1)×(-9)|=|79-9n|=9         9   ,∴n=9   时,|an|最
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小.

    6.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则            a6=________.

    解析:设等差数列{an}的公差为           d,

    由题意,得Error!

    解得Error!

    ∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1.

    ∴a6=2×6+1=13.
    答案:13

    7.已知{an}为等差数列,且          a7-2a4=-1,a3=0,则公差       d=________.
    解析:根据题意得:

    a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,

    ∴a1=1.

    又 a3=a1+2d=1+2d=0,
           1
    ∴d=-2.
            1
    答案:-2

    8.已知数列{an}满足:an+2       1=an2+4,且   a1=1,an>0,则   an=________.
    解析:根据已知条件         an+2 1=an2+4,即  an+2 1-an2=4.
    ∴数列{an2}是公差为      4 的等差数列,
    则 an2=a12+(n-1)×4=4n-3.
                    -
    ∵an>0,∴an=    4n  3.
    答案:    4n-3
                                    2an         1
                                    +          {  }
    9.已知数列{an}满足       a1=2,an+1=an   2,则数列     an 是否为等差数列?说明理由.
             1
    解:数列{an}是等差数列,理由如下:
                     2an

    因为  a1=2,an+1=an+2,
          1   an+2   1  1
    所以an+1=    2an =2+an,
          1    1  1
    所以an+1-an=2(常数).
         1      1  1              1
    所以{an}是以a1=2为首项,公差为2的等差数列.
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           1     1    1
    10.若b+c,a+c,a+b是等差数列,求证:a2,b2,c2               成等差数列.
                   1     1    2            2b+a+c       2
    证明:由已知得b+c+a+b=a+c,通分有b+ca+b=a+c.
    进一步变形有      2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理,得           a2+c2=2b2,
    所以  a2,b2,c2  成等差数列.
                               层级二 应试能力达标

    1.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则              ap+q 为(  )
    A.p+q                              B.0
                                         p+q
    C.-(p+q)                           D.  2

    解析:选    B ∵ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,

    ∴Error!
    ①-②,得(p-q)d=q-p.
    ∵p≠q,∴d=-1.

    代入①,有     a1+(p-1)×(-1)=q,∴a1=p+q-1.

    ∴ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)×(-1)=0.

    2.已知   x≠y,且两个数列       x,a1,a2,…,am,y     与  x,b1,b2,…,bn,y     各自都成
            a2-a1
等差数列,则b2-b1等于(  )
      m                                 m+1
    A. n                               B. n+1
      n                                  n+1
    C.m                                D.m+1

    解析:选    D 设这两个等差数列公差分别是              d1,d2,则   a2-a1=d1,b2-b1=d2.第一个
                     y-x                              y-x            a2-a1

数列共(m+2)项,∴d1=m+1;第二个数列共(n+2)项,∴d2=n+1.这样可求出b2-b1=
d1  n+1
d2=m+1.

                                *
    3.已知数列{an},对任意的          n∈N ,点  Pn(n,an)都在直线     y=2x+1  上,则{an}为(  
)
    A.公差为    2 的等差数列                    B.公差为    1 的等差数列
    C.公差为-2     的等差数列                   D.非等差数列

    解析:选    A 由题意知     an=2n+1,∴an+1-an=2,应选        A.

    4.如果   a1,a2,…,a8   为各项都大于零的等差数列,且公差                d≠0,则(  )

    A.a3a6>a4a5                         B.a3a6a4+a5                       D.a3a6=a4a5

    解析:选    B 由通项公式,得        a3=a1+2d,a6=a1+5d,那么       a3+a6=2a1+7d,a3a6=

                             2                                       2
(a1+2d)(a1+5d)=a12+7a1d+10d   ,同理   a4+a5=2a1+7d,a4a5=a12+7a1d+12d    ,显然

              2
a3a6-a4a5=-2d  <0,故选   B.

    5.数列{an}是首项为       2,公差为    3 的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为               4 的等

差数列.若     an=bn,则   n 的值为________.

    解析:an=2+(n-1)×3=3n-1,

    bn=-2+(n-1)×4=4n-6,

    令 an=bn,得   3n-1=4n-6,∴n=5.
    答案:5
                                                                 -
    6.在数列{an}中,a1=3,且对于任意大于              1 的正整数    n,点(  an,   an  1)都在直线

x-y-   3=0 上,则    an=________.
    解析:由题意得        an- an-1=   3,所以数列{      an}是首项为    3,公差为     3的等差数列,

                   2
所以   an=  3n,an=3n  .
    答案:3n2

                                           n           *
    7.已知数列{an}满足       a1=1,且   an=2an-1+2 (n≥2,且∈N     ).

    (1)求 a2,a3;
                  an
    (2)证明:数列{2n}是等差数列;

    (3)求数列{an}的通项公式        an.

                    2              3
    解:(1)a2=2a1+2    =6,a3=2a2+2   =20.

                          n             *
    (2)证明:∵an=2an-1+2     (n≥2,且    n∈N ),
      an  an-1
    ∴2n=2n-1+1(n≥2,且       n∈N*),
      an  an-1
    即2n-2n-1=1(n≥2,且       n∈N*),
           an        a1  1
    ∴数列{2n}是首项为21=2,公差          d=1  的等差数列.
                an  1               1
    (3)由(2),得2n=2+(n-1)×1=n-2,
             1
          n-
          (   )  n
    ∴an=     2 ·2 .


                                          n     *
    8.数列{an}满足     a1=2,an+1=(λ-3)an+2     (n∈N ).

    (1)当 a2=-1  时,求    λ 及  a3 的值;
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    (2)是否存在    λ  的值,使数列{an}为等差数列?若存在求其通项公式;若不存在说明
理由.
                                                  3

    解:(1)∵a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,∴λ=2.
            3            11
                 2
    ∴a3=-2a2+2    ,∴a3=   2 .

                                n
    (2)∵a1=2,an+1=(λ-3)an+2      ,

    ∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4.

                        2
    a3=(λ-3)a2+4=2λ     -10λ+16.

    若数列{an}为等差数列,则          a1+a3=2a2.
    即 λ2-7λ+13=0.
    ∵Δ=49-4×13<0,∴方程无实数解.

    ∴λ  值不存在.∴不存在         λ  的值使{an}成等差数列.
                             第二课时 等差数列的性质


    预习课本     P39 练习第   4、5 题,思考并完成以下问题 

    (1)等差数列通项公式的推广形式是什么?

     
    (2)等差数列的运算性质是什么?

     


                                    [新知初探]
    1.等差数列通项公式的推广
                      通项公式                  通项公式的推广

                                            an=am+(n-m)d
                   an=a1+(n-1)d
                                       (揭示任意两项之间的关系)
                (揭示首末两项的关系)

    2.等差数列的性质

    若{an}是公差为     d 的等差数列,正整数        m,n,p,q   满足   m+n=p+q,则     am+an=ap+

aq.

                                    *
    (1)特别地,当     m+n=2k(m,n,k∈N     )时,am+an=2ak.

    (2)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即                                a1+

an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
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    (3)若{an}是公差为     d 的等差数列,则

    ①{c+an}(c  为任一常数)是公差为         d 的等差数列;

    ②{can}(c 为任一常数)是公差为         cd 的等差数列;

                             *
    ③{an+an+k}(k  为常数,k∈N     )是公差为    2d 的等差数列.

    (4)若{an},{bn}分别是公差为       d1,d2 的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q          是常数)是

公差为   pd1+qd2 的等差数列.

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列(  )

    (2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列(  )

                                    *
    (3)若{an}是等差数列,则对任意          n∈N  都有  2an+1=an+an+2(  )

    (4)数列{an}的通项公式为        an=3n+5,则数列{an}的公差与函数           y=3x+5  的图象的斜
率相等(  )
    解析:(1)错误.如-2,-1,0,1,2          是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.
    (2)错误.如数列-1,2,-3,4,-5           其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列.

                                              *
    (3)正确.根据等差数列的通项可判定对任意                 n∈N  ,都有   2an+1=an+an+2 成立.

    (4)正确.因为     an=3n+5  的公差   d=3,而直线      y=3x+5  的斜率也是     3.
    答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√

    2.在等差数列{an}中,若         a5=6,a8=15,则    a14 等于(  )
    A.32                               B.33
    C.-33                               D.29

    解析:选    B ∵数列{an}是等差数列,

    ∴a5,a8,a11,a14  也成等差数列且公差为          9,

    ∴a14=6+9×3=33.

    3.在等差数列{an}中,已知          a3+a4+a5+a6+a7=450,则     a2+a8=(  )
    A.90                                B.270
    C.180                               D.360

    解析:选    C 因为    a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,

    所以  a5=90,所以    a2+a8=2a5=2×90=180.

    4.在等差数列{an}中,已知          a2+2a8+a14=120,则   2a9-a10 的值为________.

    解析:∵a2+a14=2a8,∴a2+2a8+a14=4a8=120,∴a8=30.∴2a9-a10=(a8+a10)-

a10=a8=30.
    答案:30
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                                         等差数列的性质应用


    [典例] (1)已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则             a1+a2+a3+a4+a5=(  )
    A.30                               B.15
    C.5  6                             D.10  6

    (2)设{an},{bn}都是等差数列,且         a1=25,b1=75,a2+b2=100,则      a37+b37=(  
)
    A.0                                 B.37
    C.100                               D.-37

    [解析] (1)∵数列{an}为等差数列,
                                              5         5

    ∴a1+a2+a3+a4+a5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3=2(a2+a4)=2×6=15.

    (2)设 cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,

    则{cn}也是等差数列,且         c1=a1+b1=25+75=100,

    c2=a2+b2=100,

    ∴{cn}的公差    d=c2-c1=0.

    ∴c37=100,即    a37+b37=100.
    [答案] (1)B (2)C


    本例(1)求解主要用到了等差数列的性质:若                 m+n=p+q,则      am+an=ap+aq.
    对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,

a15≠a7+a8,但   a6+a9=a7+a8;a1+a21≠a22,但     a1+a21=2a11.

    本例(2)应用了等差数列的性质:若{an},{bn}是等差数列,则{an+bn}也是等差数
列.灵活运用等差数列的某些性质,可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力,应注
意加强这方面的锻炼.

        
    [活学活用]

    1.已知{an}为等差数列,若          a1+a5+a9=π,则     cos(a2+a8)的值为(  )
         1                                   3
    A.-2                                B.-  2
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      1                                   3
    C.2                                D. 2
                                          π                2π

    解析:选    A a1+a5+a9=3a5=π,所以        a5=3,而   a2+a8=2a5=  3 ,所以  cos(a2+
         2π   1

a8)=cos  3 =-2,故选     A.

    2.在等差数列{an}中,已知          a3+a8=10,则   3a5+a7=(  )
    A.10                                B.18
    C.20                                D.28

    解析:选    C 由等差数列的性质得:3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+(2a6)=2(a5+

a6)=2(a3+a8)=20,故选     C.

                                        灵活设元求解等差数列


    [典例] (1)三个数成等差数列,其和为               9,前两项之积为后一项的          6 倍,求这三个
数.
    (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为                 2,首末两项的积为-8,求这四个数.
    [解] (1)设这三个数依次为          a-d,a,a+d,

    则Error!

    解得Error!∴这三个数为       4,3,2.
    (2)法一:设这四个数为         a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为          2d),
    依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
    即 a=1,a2-9d2=-8,
    ∴d2=1,∴d=1     或 d=-1.
    又四个数成递增等差数列,所以              d>0,
    ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
    法二:若设这四个数为          a,a+d,a+2d,a+3d(公差为         d),
    依题意,2a+3d=2,且        a(a+3d)=-8,
            3
    把 a=1-2d   代入  a(a+3d)=-8,
         3     3
       1- d 1+  d
    得(   2 )(  2 )=-8,
         9
    即 1-4d2=-8,
    化简得   d2=4,所以    d=2  或-2.
    又四个数成递增等差数列,所以              d>0,所以    d=2,
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    a=-2.
    故所求的四个数为-2,0,2,4.


                                   常见设元技巧
    (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:a-d,a+d,公
差为   2d;
    (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a-d,a,a+d,公差为                           d;
    (3)四个数成等差数列且知其和,常设成                a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为          2d.


    [活学活用]
    已知成等差数列的四个数,四个数之和为                  26,第二个数与第三个数之积为            40,求这个
等差数列.
    解:设这四个数依次为          a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为          2d).
    由题设知

    Error!
    解得Error!或Error!
    ∴这个数列为      2,5,8,11 或 11,8,5,2.

                                         等差数列的实际应用


    [典例] 某公司经销一种数码产品,第一年可获利                    200 万元,从第二年起由于市场竞
争方面的原因,其利润每年比上一年减少                  20 万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,
也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?

    [解] 设从第一年起,第          n 年的利润为     an 万元,

                                 *
    则 a1=200,an+1-an=-20(n∈N     ),

    ∴每年的利润构成一个等差数列{an},

    从而  an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n.

    若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损.

    ∴由  an=220-20n<0,得    n>11,
    即从第   12 年起,该公司经销此产品将亏损.


    解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组
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数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
    合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、
项数等关键的问题.

        
    [活学活用]
    某市出租车的计价标准为           1.2 元/km,起步价为     10 元,即最初的      4 km(不含  4 km)计费
10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往               14  km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为                0,
需要支付车费________元.
    解析:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于                     4  km 时,每增加     1 km,乘客需要

支付   1.2 元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令                   a1=11.2,表示    4 km 处的车

费,公差    d=1.2,那么当出租车行至          14  km 处时,n=11,此时需要支付车费            a11=11.2+
(11-1)×1.2=23.2(元).
    答案:23.2


                               层级一 学业水平达标

    1.在等差数列{an}中,已知          a4+a8=16,则   a2+a10=(  )
    A.12                               B.16
    C.20                                D.24

    解析:选    B 因为数列{an}是等差数列,所以             a2+a10=a4+a8=16.

    2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则           a5 的值为(  )
    A.5                                 B.6
    C.8                                 D.10

    解析:选    A 由等差数列的性质,得           a1+a9=2a5,

    又∵a1+a9=10,即     2a5=10,

    ∴a5=5.
    3.下列说法中正确的是(  )
    A.若  a,b,c   成等差数列,则       a2,b2,c2 成等差数列

    B.若  a,b,c   成等差数列,则       log2a,log2b,log2c 成等差数列
    C.若  a,b,c   成等差数列,则       a+2,b+2,c+2     成等差数列
    D.若  a,b,c   成等差数列,则       2a,2b,2c 成等差数列
    解析:选    C 因为    a,b,c  成等差数列,则       2b=a+c,
    所以  2b+4=a+c+4,
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    即 2(b+2)=(a+2)+(c+2),
    所以  a+2,b+2,c+2     成等差数列.

    4.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则            a7=(  )
    A.5                                 B.8
    C.10                                D.14

    解析:选    B 由等差数列的性质可得           a1+a7=a3+a5=10,又     a1=2,所以    a7=8.

                                                2
    5.等差数列{an}中,          a2+a5+a8=9,那么方程      x +(a4+a6)x+10=0   的根的情况(  
)
    A.没有实根                              B.两个相等实根
    C.两个不等实根                            D.无法判断  

                                                              2
    解析:选    A 由   a2+a5+a8=9  得 a5=3,∴a4+a6=6,方程转化为          x +6x+10=0.因
为  Δ<0,所以方程没有实根.
    6.若三个数成等差数列,它们的和为                9,平方和为     59,则这三个数的积为________.
    解析:设这三个数为         a-d,a,a+d,

    则Error!

    解得Error!或Error!
    ∴这三个数为-1,3,7       或 7,3,-1.∴它们的积为-21.
    答案:-21
    7.若  a,b,c   成等差数列,则二次函数           y=ax2-2bx+c  的图象与     x 轴的交点的个数
为________.
    解析:∵a,b,c      成等差数列,∴2b=a+c,
    ∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
    ∴二次函数     y=ax2-2bx+c   的图象与    x 轴的交点个数为       1 或 2.
    答案:1   或  2

    8.已知等差数列{an}满足         am-1+am+1-am2 -1=0,且   m>1,则   a1+a2m-1=________.

    解析:因为数列{an}为等差数列,则               am-1+am+1=2am,则   am-1+am+1-am2 -1=0  可

化为   2am-am2 -1=0,解得    am=1,所以    a1+a2m-1=2am=2.
    答案:2

    9.在等差数列{an}中,若         a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求          a11+

a12+…+a15.
    解:法一:由等差数列的性质得

    a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.

    ∴(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).

    ∴a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.
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    法二:∵数列{an}是等差数列,∴a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+

a15 也成等差数列,即       30,80,a11+a12+…+a15   成等差数列.∴30+(a11+a12+…+a15)=

2×80,∴a11+a12+…+a15=130.
    10.有一批影碟机原销售价为每台              800 元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场
用如下的方法促销:买一台单价为               780 元,买两台单价都为        760 元,依次类推,每多买一
台则所买各台单价均再减少            20 元,但每台最低价不能低于           440 元;乙商场一律都按原价的
75%销售.某单位购买一批此类影碟机,问去哪家商场买花费较少.
    解:设单位需购买影碟机           n 台,在甲商场购买每台售价不低于              440 元,售价依台数

n 成等差数列.设该数列为{an}.

    an=780+(n-1)(-20)=800-20n,

    解不等式    an≥440,即   800-20n≥440,得    n≤18.
    当购买台数小于等于         18 台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于               18 台时,每台
售价为   440 元.
    到乙商场购买,每台售价为            800×75%=600  元.
    作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n),
    当 n<10 时,600n<(800-20n)n,
    当 n=10  时,600n=(800-20n)n,
    当 1018 时,440n<600n.
    即当购买少于      10 台时到乙商场花费较少,当购买             10 台时到两商场购买花费相同,当
购买多于    10 台时到甲商场购买花费较少.
                               层级二 应试能力达标

    1.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数

列{an+bn}是(  )
    A.公差为-1     的等差数列  B.公差为          20 的等差数列
    C.公差为-20     的等差数列                  D.公差为    19 的等差数列

    解析:选    D (a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.

    2.已知数列{an}为等差数列且          a1+a7+a13=4π,则     tan(a2+a12)的值为(  )
    A. 3                               B.±   3
          3
    C.-  3                             D.-   3
                                                           4π

    解析:选    D 由等差数列的性质得          a1+a7+a13=3a7=4π,∴a7=      3 .
                                8π      2π

    ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan   3 =tan  3 =-  3.
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                                                          1
    3.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0        的四个根组成一个首项为4的等差数列,则|m-
n|=(  )
                                         3
    A.1                                 B.4
      1                                  3
    C.2                                D.8

    解析:选    C 设方程的四个根        a1,a2,a3,a4  依次成等差数列,则         a1+a4=a2+a3=
2,

    再设此等差数列的公差为           d,则  2a1+3d=2,
          1      1

    ∵a1=4,∴d=2,
          1 1  3      1     5

    ∴a2=4+2=4,a3=4+1=4,
        1 3  7

    a4=4+2=4,

    ∴|m-n|=|a1a4-a2a3|
      1  7  3  5  1
        × -  ×
    =|4  4  4  4|=2.
    4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根                  9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差
数列,上面     4 节的容积共     3 升,下面    3 节的容积共    4 升,则第    5 节的容积为(  )
                                         67
    A.1 升                               B.66升
      47                                 37
    C.44升                               D.33升

    解析:选    B 设所构成的等差数列{an}的首项为              a1,公差为   d,则有Error!
                                67

    即Error!解得Error!则 a5=a1+4d=66,
                    67
    故第  5 节的容积为66升.

    5.已知{an}为等差数列,且          a6=4,则  a4a7 的最大值为________.

    解析:设等差数列的公差为            d,则  a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+

  2
1) +18,即   a4a7 的最大值为    18.
    答案:18
                                  an an+1
                                   ,
                                 (    +  )
    6.已知数列{an}满足       a1=1,若点    n  n  1 在直线   x-y+1=0   上,则    an=________.
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                    an an+1           an+1  an             an
    解析:由题设可得        n - n+1 +1=0,即    n+1 - n =1,所以数列{      n }是以 1 为公差的
                               an
                                              2
等差数列,且首项为         1,故通项公式      n =n,所以    an=n .
    答案:n2
                              (1)                   21         1
    7.数列{an}为等差数列,bn=         2 an,又已知    b1+b2+b3=  8 ,b1b2b3=8,求数列

{an}的通项公式.
                     (1)  (1)   (1)   21        (1)          1
    解:∵b1+b2+b3=     2 a1+ 2 a2+ 2 a3= 8 ,b1b2b3= 2 a1+a2+a3=8,∴a1+a2+a3=
3.

    ∵a1,a2,a3  成等差数列,∴a2=1,故可设           a1=1-d,a3=1+d,
       1     1  1     21
    由(2)1-d+2+(2)1+d=  8 ,
               17
    得 2d+2-d=  4 ,解得   d=2 或  d=-2.

    当 d=2  时,a1=1-d=-1,an=-1+2(n-1)=2n-3;

    当 d=-2   时,a1=1-d=3,an=3-2(n-1)=-2n+5.


    8.下表是一个“等差数阵”:

           4        7       ( )       ( )      ( )      …    a1j   …

           7        12      ( )       ( )      ( )      …    a2j   …

         ( )       ( )      ( )       ( )      ( )      …    a3j   …

         ( )       ( )      ( )       ( )      ( )      …    a4j   …
          …         …        …         …        …       …    …     …

          ai1       ai2      ai3       ai4      ai5     …    aij   …
          …         …        …         …        …       …    …     …

    其中每行、每列都是等差数列,aij             表示位于第     i 行第  j 列的数.

    (1)写出  a45 的值;

    (2)写出  aij 的计算公式,以及       2 017 这个数在“等差数阵”中所在的一个位置.
    解:通过每行、每列都是等差数列求解.

    (1)a45 表示数阵中第     4 行第  5 列的数.

    先看第   1 行,由题意     4,7,…,a15,…成等差数列,

    公差  d=7-4=3,则      a15=4+(5-1)×3=16.

    再看第   2 行,同理可得      a25=27.
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    最后看第    5 列,由题意     a15,a25,…,a45  成等差数列,

    所以  a45=a15+3d=16+3×(27-16)=49.

    (2)该“等差数阵“的第         1 行是首项为     4,公差为    3 的等差数列     a1j=4+3(j-1);

    第 2 行是首项为     7,公差为    5 的等差数列     a2j=7+5(j-1);
    …
    第 i 行是首项为     4+3(i-1),公差为      2i+1 的等差数列,

    ∴aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)
    =2ij+i+j=i(2j+1)+j.
    要求  2   017 在该“等差数阵”中的位置,也就是要找正整数                    i,j,使得    i(2j+1)+
j=2 017,
         2 017-i
    ∴j=   2i+1 .又∵j∈N*,∴当      i=1  时,得   j=672.
    ∴2 017 在“等差数阵”中的一个位置是第               1 行第  672 列.
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