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2017-2018学年同步备课教科版选修3-4 第一章 2.单摆

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                                 2 单摆

[学习目标] 1.理解单摆模型及其振动的特点.2.理解单摆做简谐运动的条件,知道单摆振动
时回复力的来源.3.了解影响单摆周期的因素,会用周期公式计算周期和摆长.


                   
一、单摆的简谐运动

[导学探究]     (1)如图  1 所示,小球和细线构成一个振动系统,在什么情况下能把该振动系统
看成单摆?

(2)小球受到几个力的作用?是什么力充当了小球振动的回复力?
(3)在什么情况下小球的运动可看成是简谐运动?


                                     图 1
答案 (1)如果细线的质量与小球的质量相比可以忽略,


球的直径与线的长度相比也可以忽略时,该振动系统可看成单摆.

(2)小球受两个力的作用:重力和细线的拉力,重力沿圆弧切线方向的分力                             G1=mgsin θ 提供
了使小球振动的回复力,如图            2 所示.
(3)小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总是指向平衡位置,单摆的运
动可看成是简谐运动.

[知识梳理]
1.单摆
(1)模型:如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略,线长又比球的直径大得多,这样的
装置叫做单摆.单摆是实际摆的理想化物理模型.

(2)单摆的平衡位置:摆球静止时所在的位置.
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2.单摆的回复力
(1)回复力的提供:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力.
                                  mg
(2)回复力的大小:在偏角很小时,F=-               l x.
3.单摆的运动特点
小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总是指向平衡位置,单摆的运动可
看成是简谐运动.

[即学即用] 判断下列说法的正误.
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.                          (×)
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力.(√)
(3)单摆经过平衡位置时受到的回复力为零.                             (√)
(4)单摆是一个理想化的模型.                                   (√)
二、单摆做简谐运动的周期

[导学探究] 如图      2 所示,摆长不同的两个单摆同时释放,我们可以观察到振动的周期不
同.影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长,如何研究周期与这些量的关系?请设
计实验方案.


                                     图 2
答案 由于变量比较多,所以需按下面的方案进行探究:

(1)摆长、质量相同,两摆的振幅不同(都在小偏角情况下).
(2)摆长、振幅相同,两摆摆球的质量不同.
(3)质量、振幅相同,两摆的摆长不同.
比较以上三种情况下两摆的周期,可以得到周期与振幅、质量、摆长之间的定性关系.

[知识梳理]
1.单摆的等时性
(1)原理:伽利略发现单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”),与振幅无关
(填“有关”或“无关”).
(2)应用:惠更斯利用摆的等时性原理制成第一座摆钟.
                   l
2.单摆的周期      T=2π  g
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立.
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                                                                      d
(2)l 为单摆的摆长.对于实际的单摆,摆长是指从悬点到摆球重心的长度,l=l′+2,
                                                             lsin α
l′为摆线长,d     为摆球直径.图       3(a)中的等效摆长为       lsin α,周期 T=2π    g .
(3)g 为单摆所在处的重力加速度.
①在地球上,g      随纬度的升高而增大,随高度的升高而减小.
②不同星球上的       g 值也不同.
图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,与甲等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙等效.


                                   
                                     图 3
[即学即用] 判断下列说法的正误.
(1)单摆的振幅变为原来的一半,则周期也将变为原来的一半.                                 (×)
(2)如果重力加速度减为原来的四分之一,则单摆的周期变为原来的                          2 倍.(√)
(3)单摆的周期与摆长成正比.                                                (×)
(4)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期.                                  (√)


一、单摆的回复力

1.单摆振动中的回复力不是它受到的合外力,而是重力沿圆弧切线方向的一个分力.单摆
振动过程中,与弹簧振子不同之处是有向心力.

2.在最大位移处时,因速度为零,所以向心力为零,故此时合外力也就是回复力.
3.在平衡位置处时,由于速度不为零,故向心力也不为零,即此时回复力为零,但合外力
不为零.

例  1  振动的单摆小球通过平衡位置时,关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是(  )
A.回复力为零,合力不为零,方向指向悬点
B.回复力不为零,方向沿轨迹的切线
C.回复力就是合力
D.回复力为零,合力也为零
答案 A
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解析 单摆的回复力不是它的合力,而是重力沿圆弧切线方向的分力;当摆球运动到平衡位
置时,回复力为零,但合力不为零,因为小球还有向心力,方向指向悬点(即指向圆心).
二、单摆的周期
                                                  T
例  2  某单摆原来的周期为         T,下列情况会使单摆周期变为2的是(  )
                 1                                    1
A.摆长减为原来的4                     B.摆球的质量减为原来的4
                 1                                    1
C.振幅减为原来的4                     D.重力加速度减为原来的4
答案 A
                          L
解析 由单摆周期公式          T=2π  g可知周期与摆球的质量和振幅无关,B、C                 错误;当摆长减
        1                 1                               1
为原来的4时,周期变为原来的2,A              正确;当重力加速度减为原来的4时,周期变为原来的
2 倍,D  错误.

针对训练 一个单摆的摆长为            l,在其悬点     O 的正下方    0.19l 处有一钉子    P,如图    4 所示,
现将摆球向左拉开到         A.摆线偏角    θ<5°,放手后使其摆动,求出单摆的振动周期.


                                     图 4
          l
答案 1.9π   g
解析 释放后摆球到达右边最高点              B 处,由机械能守恒可知          B 和 A 等高,则摆球始终做简
谐运动,它的周期为两个不同单摆的半周期的和.

   T1  T2    l     0.81l     l
T= 2 + 2 =π  g+π    g =1.9π  g.
例  3  如图  5 所示,光滑轨道的半径为           2 m,C  点为圆心正下方的点,A、B            两点与   C 点相
距分别为    6 cm 与 2 cm,a、b   两小球分别从      A、B  两点由静止同时放开,则两小球相碰的位
置是(  )


                                     图 5
A.C  点                         B.C  点右侧
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C.C  点左侧                       D.不能确定
答案 A
解析 由于半径远远地大于运动的弧长,小球都做简谐运动,类似于单摆.因此周期只与半
径有关,与运动的弧长无关,故选项               A 正确.


1.  (多选)图   6 中 O 点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至                   A 点,此时细线处于

张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的                   A、C  之间来回摆动,B       点为运动中的最低位
置,则在摆动过程中(  )


                                     图 6
A.摆球在    A 点和  C 点处,速度为零,合力也为零
B.摆球在    A 点和  C 点处,速度为零,回复力最大
C.摆球在    B 点处,速度最大,回复力也最大
D.摆球在    B 点处,速度最大,细线拉力也最大
答案 BD
解析 摆球在摆动过程中,在最高点               A、C  处速度为零,回复力最大,合力不为零,故
A 错误,B   正确;在最低点       B 处,速度最大,回复力为零,摆球做圆周运动,细线的拉力
最大,故    C 错误,D    正确.

2.两个单摆都做简谐运动,在同一地点甲摆振动                    20 次时,乙摆振动了       40 次,则(  )
A.甲、乙摆的振动周期之比为             1∶2
B.甲、乙摆的振动周期之比为              2∶1
C.甲、乙摆的摆长之比为           1∶4
D.甲、乙摆的摆长之比为           4∶1
答案 D
                                                               l
                                                               g
解析 由题意知       20T 甲=40T 乙,故   T 甲∶T 乙=2∶1,A、B     错;而    T=2π   ,所以   l 甲∶l 乙
=T甲2 ∶T乙2 =4∶1,C   错,D   对.

3.一单摆的摆长为        40 cm,摆球在    t=0   时刻正从平衡位置向右运动,若             g 取 10 m/s2,则
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在 1 s 时摆球的运动情况是(  )
A.正向左做减速运动,加速度正在增大
B.正向左做加速运动,加速度正在减小
C.正向右做减速运动,加速度正在增大
D.正向右做加速运动,加速度正在减小
答案 D

              l                                            1
解析 由    T=2π  g,代入数据得      T=1.256  s,则  1 s 时,正处于第四个4T       内,由左侧最大位
移向平衡位置运动,即向右非匀加速运动,a                  减小,D    正确.

4.  如图  7 所示,MN    为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球                   A 放在  MN  的圆心处,
再把另一小球      B 放在  MN 上离最低点      C 很近的一处,今使两球同时自由释放,则在不计空
气阻力时有(  )


                                     图 7
A.A  球先到达    C 点
B.B  球先到达    C 点
C.两球同时到达       C 点
D.无法确定哪一个球先到达            C 点
答案 A
                                              2R
                                               g
解析 A   球做自由落体运动,到达           C 点所需时间     tA=     ,R 为圆弧轨道的半径.因为圆弧
轨道的半径     R 很大,B   球离最低点     C 又很近,所以      B 球可看作沿圆弧做简谐运动,等同于

                                                         1       T  π   R
                                                                        g
摆长为   R 的单摆,则运动到最低点           C 所用的时间是单摆振动周期的4,即              tB=4=2     >tA,
所以  A 球先到达    C 点.


一、选择题

1.关于单摆,下列说法中正确的是(  )
A.摆球所受的合外力指向平衡位置
B.摆球经过平衡位置时加速度为零
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C.摆球运动到平衡位置时,回复力等于零
D.摆角很小时,摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
答案 C
2.(多选)关于单摆运动,下列说法正确的是(  )

A.单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B.单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
C.单摆的周期与摆球质量无关,与振幅无关,与摆长和当地的重力加速度有关
D.单摆做简谐运动的条件是摆角很小,如小于                    5°
答案 BCD
解析 单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力,千万不要误认为是摆球所受的合外

                                                l
力,所以    A 错误,B    正确;根据单摆的周期公式           T=2π  g可知,单摆的周期与摆球质量无关,
与振幅无关,与摆长和当地的重力加速度有关,C                    正确;当摆角很小时,摆球的运动轨迹可
以近似地看作直线,回复力即重力沿摆球运动轨迹切向的分力可以近似地看作沿这条直线,
                                mg

这时可以证明:F       回=-mgsin    θ=-   l x=-kx,可见,在摆角很小时,单摆近似做简谐运
动,D   正确.

3.当单摆的摆球摆到最大位移处时,摆球所受的(  )
A.合外力为零                        B.回复力为零
C.向心力为零                        D.摆线中张力为零
答案 C
解析 当摆球摆到最大位移处时,回复力最大,不为零,所以选项                            A、B  均错;摆球在最大
                                 mv2
位移处,速度为零,由向心力公式              F=   r 可知,向心力也为零,此时摆线中的张力等于重
力沿摆线方向上的分力,所以选项              C 对,D   错.

4.(多选)某单摆由      1 m 长的摆线连接一个直径为           2 cm 的铁球组成,关于单摆周期的下列说

法正确的是(  )
A.用等大的铜球替代铁球,单摆的周期不变
B.用大球替代小球,单摆的周期不变
C.摆角从    5°改为  3°,单摆的周期会变小
D.将单摆从赤道移到北极,单摆的周期会变小
答案 AD
                                                         l
解析 用等大的铜球替代铁球,摆长不变,由单摆周期公式                         T=2π  g可知,单摆的周期不变,
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                                                           l
故 A 正确;用大球替代小球,单摆摆长变长,由单摆周期公式                        T=2π  g可知,单摆的周期
                                    l
变大,故    B 错误;由单摆周期公式          T=2π  g可知,在小摆角情况下,单摆做简谐运动的周期
与摆角无关,摆角从         5°改为  3°时,单摆周期不变,故          C 错误;将单摆从赤道移到北极,重

                                    l
力加速度    g 变大,由单摆周期公式         T=2π  g可知,单摆周期变小,故           D 正确.
5.单摆在振动过程中,当摆球的重力势能增大时,摆球的(  )
A.位移一定减小                       B.回复力一定减小
C.速度一定减小                       D.加速度一定减小
答案 C
解析 当摆球的重力势能增大时,摆球的位移增大,回复力、加速度增大,速度减小,故
C 正确.

6.(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器,叫摆钟.摆钟运行时克服摩擦所需
的能量由重力势能提供,运动的速率由钟摆控制.旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿

摆杆上下移动,如图         1 所示,下列说法正确的是(  )


                                     图 1
A.当摆钟不准时需要调整圆盘位置
B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移
答案 AC
解析 调整圆盘位置可改变摆长,从而达到调整周期的作用.若摆钟变快,是因为周期变小,
应增大摆长,即下移圆盘.由冬季变为夏季,摆杆变长,应上移圆盘.从广州到北京,g                                    值
变大,周期变小,应增加摆长.综上所述,选项                    A、C  正确.

7. (多选)图  2 中两单摆摆长相同,平衡时两摆球刚好接触,现将摆球                      A 在两摆球所在平面内

向左拉开一小角度后释放,碰撞后,两摆球分开,各自做简谐运动,以                             mA、mB  分别表示摆
球 A、B  的质量,则(  )
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                                     图 2

A.如果   mA>mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧

B.如果   mA<mB,下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
答案 CD
解析 A、B    两球碰撞后,B       球一定向右摆,A       球可能向右摆,也可能向左摆,还可能停下
来.由于两单摆摆长相同,因此摆动的周期相同,它们在第一次碰后半个周期回到平衡位置
而发生第二次碰撞,C、D          正确.

8. 如图  3,竖直平面内有一半径为          1.6 m、长为   10 cm 的光滑圆弧轨道,小球置于圆弧左端,
t=0 时刻起由静止释放,取          g=10 m/s2,t=2 s 时小球正在(  )

                                     图 3
A.向右加速运动                       B.向右减速运动
C.向左加速运动                       D.向左减速运动
答案 D
解析 将小球的运动等效成单摆运动,则小球的周期:

      R     1.6
T=2π  g=2π  10 s=0.8π s≈2.5 s.
              4
所以在   t=2   s=5T 时刻,小球在最低点向左侧的运动过程中,所以是向左做减速运动.故
D 正确.

9.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的                    4 倍,摆球经过平衡位置的速度减小为原
来的一半,则单摆振动的(  )
A.频率不变,振幅改变                    B.频率改变,振幅不变
C.频率不变,振幅不变                    D.频率改变,振幅改变
答案 A

                            l                       1
解析 由单摆的周期公式           T=2π  g,因  l 不变,故   T 不变,f=T不变;当       l 一定时,单摆的
振幅  A 取决于偏角     θ,根据机械能守恒定律,摆球从最大位移处到平衡位置                       mgl(1-cos θ)=
1
2mv2 得 v2=2gl(1-cos  θ),与  m 无关;由摆球通过最低点的速度减小知,单摆的偏角                      θ 减
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小,所以振幅减小,故选项            A 正确.

10.(多选)如图    4 所示,乙图中图像记录了单摆中摆球的动能、势能随摆球位置变化的关系,

不计空气阻力,下列关于图像的说法正确的是(  )


                                     图 4
A.a  图线表示势能随位置的变化关系
B.b 图线表示动能随位置的变化关系
C.c 图线表示机械能随位置的变化关系
D.图像表明摆动过程中机械能不变
答案 CD
解析 单摆摆动过程中,只有重力做功,机械能守恒,在                        A、C  两点动能最小,势能最大,
在 B 点动能最大,势能最小,故            a 图线表示动能随位置的变化关系,b              图线表示重力势能随
位置的变化关系,c        图线表示摆球的机械能不变,故             C、D  对.
二、非选择题

11.有一单摆,其摆长         l=1.02 m,摆球的质量       m=0.10   kg,已知单摆做简谐运动,单摆
30 次全振动用的时间       t=60.8 s,试求: 
(1)当地的重力加速度是多大? 
(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为            2 s),摆长应怎样改变?改变多少?
答案 (1)9.79 m/s2 (2)缩短 0.027 m

                                            l             4π2l
解析 (1)当单摆做简谐运动时,其周期公式                T=2π  g,由此可得      g= T2 ,只要求出     T 值代
入即可.
       t  60.8
因为  T=n=   30  s≈2.027 s,
       4π2l 4 × 3.142 × 1.02
所以  g=  T2 =    2.0272    m/s2≈9.79 m/s2.

(2)秒摆的周期是     2  s,设其摆长为      l0,由于在同一地点重力加速度是不变的,根据单摆的振

        T    l
动规律有T0=      l0
         T02l 22 × 1.02

故有:l0=   T2 = 2.0272  m≈0.993 m.

其摆长要缩短      Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m.
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12. 如图  5 所示,光滑的半球壳半径为           R,O  点在球心     O′的正下方,一小球甲由距            O 点很
近的  A 点由静止放开,R≫AO.


                                     图 5
(1)若另一小球乙从球心        O′处自由落下,问两球第一次到达               O 点的时间比.
(2)若另一小球丙在      O 点正上方某处自由落下,为使两球在                O 点相碰,小球应由多高处自由
落下?

答案 (1)   2π∶4
  2n-12π2R
(2)    8      (n=1,2,3,…)

                                                          1   1     R  π R
                                                                    g    g
解析 (1)甲球沿圆弧做简谐运动,它第一次到达                  O 点的时间为:t1=4T=4×2π          =2   .

乙球做自由落体运动,设到达            O 点的时间为      t2.

   1             2R
     2           g          2
R=2gt2,所以    t2=   ,t1∶t2=   π∶4.
                                             T
(2)小球甲从   A 点由静止释放运动到         O 点的时间为     t=4(2n-1),n=1,2,3…,由     O 点正上方
                                                                1
自由落下的小球丙到达          O 点的时间也为      t 时两球才能在     O 点相碰,所以      h=2gt2=
1   4π2R        2n-12π2R
2g× 16g (2n-1)2=      8     (n=1,2,3…).
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