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2017-2018学年同步备课教科版选修3-4 第一章 机械振动 章末总结

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                                 章末总结


一、简谐运动的图象
例  1  (多选)一质点做简谐运动的位移            x 与时间   t 的关系图像如图      2 所示,由图可知(  )


                                     图 2
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A.频率是    2 Hz
B.振幅是    5 cm
C.t=1.7 s 时的加速度为正,速度为负
D.t=0.5 s 时质点的回复力为零
E.图中   a、b  两点速度大小相等、方向相反
F.图中   a、b  两点的加速度大小相等,方向相反
答案 CDE
                                                      1
解析 由题图可知,质点振动的振幅为                5 m,周期为     2 s,由 f=T得频率为     0.5 Hz,A、B   选
项错误.t=1.7    s 时的位移为负,加速度为正,速度为负,C                 选项正确.t=0.5      s 时质点在平
衡位置,回复力为零,D          选项正确.a、b      两点速度大小相等、方向相反,但加速度大小相
等、方向相同,加速度方向都为负方向,指向平衡位置,故                         E 正确,F   错误.


结合图像分析描述简谐运动的物理量的关系,分析的顺序为:
                                                                     1
                                                             ―E―k ―= ―-―m―v2→
位移  xF=-kx回复力     FF=ma加速度     a加速度和速度方向之间的关系速度                      2    动
     ――→           ――→          ――――――――――――→               v
能 E   总能量守恒      势能  E
   k――――――→            p
或者按下列顺序分析:

位移  xError!
二、简谐运动的周期性和对称性

1.周期性
做简谐运动的物体在完成一次全振动后,再次振动时则是重复上一个全振动的形式,所以做
简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻,做简谐运动的物体具有周期性.

2.对称性
(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率.
(2)加速度和回复力的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和
回复力.

(3)时间的对称性:系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等.振动过程中通过任
意两点   A、B  的时间与逆向通过的时间相等.

例  2  物体做简谐运动,通过          A 点时的速度为      v,经过   1 s 后物体第一次以相同速度          v 通过
B 点,再经过     1 s 物体紧接着又通过      B 点,已知物体在       2 s 内所走过的总路程为        12 cm,则该
简谐运动的周期和振幅分别是多大?
                          4
答案 T=4 s,A=6 cm     或  T=3 s,A=2 cm
解析 物体通过       A 点和  B 点时的速度大小相等,A、B           两点一定关于平衡位置          O 对称.依题
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意作出物体可能的振动路径图如图甲、乙所示,在图甲中物体从                           A 向右运动到     B,即图中
从 1 运动到   2,时间为    1 s,从  2 运动到   3,又经过    1 s,从  1 到 3 共经历了   0.5T,即  0.5T=2 
s,T=4 s,2A=12 cm,A=6 cm.


在图乙中,物体从        A 先向左运动,当物体第一次以相同的速度通过                   B 点时,即图中从       1 运
动到  2 时,时间为     1 s,从  2 运动到   3,又经过    1 s,同样   A、B  两点关于    O 点对称,从图中
                                                4
可以看出从     1 运动到   3 共经历了   1.5T,即  1.5T=2 s,T=3 s,1.5×4A=12 cm,A=2 cm.
针对训练        (多选)一个质点在平衡位置          O 点附近做机械振动.若从           O 点开始计时,经过        3 

s 质点第一次经过      M 点(如图   2 所示);再继续运动,又经过           2 s 它第二次经过      M 点;则该质
点第三次经过      M 点还需要的时间可能是(  )

                                     图 2
A.8 s                          B.4 s
                                 10
C.14 s                         D. 3  s
答案 CD
解析 设图中      a、b 两点为质点振动过程的最大位移处,若开始计时时刻,质点从                          O 点向右
                                                      T
运动,O→M     过程历时    3 s,M→b→M    运动过程历时      2 s,显然,4=4 s,T=16 s.质点第三

次经过   M 点还需要的时间       Δt3=T-2 s=(16-2) s=14 s,故选项      C 正确.若开始计时时刻,
质点从   O 点向左运动,O→a→O→M          运动过程历时      3 s,M→b→M    运动过程历时      2 s,显然,
T′ T′           16                                                  16

2 + 4 =4 s,T′=   3  s.质点第三次经过       M 点还需要的时间       Δt3′=T′-2    s=( 3 -2) s=
10
3  s,故选项   D 正确.


三、单摆周期公式的应用

                       l
1.单摆的周期公式        T=2π  g,是在单摆摆角不大于          5°的情况下才成立,该公式提供了一种
测定重力加速度的方法.

2.注意:(1)单摆的周期        T 只与摆长    l 和 g 有关,而与振子的质量及振幅无关.
(2)l 为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离,要区分摆长和摆线长.小球在光滑圆周轨
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道上小角度振动和双线摆也属于单摆,“l”实际为摆球重心到摆动所在圆弧的圆心的距
离.

(3)g 为当地的重力加速度,当单摆处于超重或失重状态时                     g 为等效重力加速度.
例  3  有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室,并各自在那里
利用先进的     DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期              T 与摆长   l 的关系”,他们通过校园网交
换实验数据,并由计算机绘制了             T2-l 图线,如图     3 甲所示,去北大的同学所测实验结果对
应的图线是______(填“A”或“B”).另外,在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两个

单摆(位于同一地点)的振动图像(如图乙),由图可知,两单摆摆长之比                           la∶lb=________.


                                     图 3
答案 B 4∶9
                                     T2  4π2
解析 纬度越高,重力加速度            g 越大,由于     l =  g ,所以   B 图线是在北大的同学做的.
                     4

从题图乙中可以看出         Ta=3 s,Tb=2 s
    la T2a 4
所以lb=Tb2=9.
例  4  在科学研究中,科学家常将未知现象同已知现象进行比较,找出其共同点,进一步
推测未知现象的特性和规律.法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时,曾将扭秤
的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系.已知单摆摆

长为  l,引力常量为      G,地球质量为      M,摆球到地心的距离为           r,则单摆振动周期        T 与距离
r 的关系式为(  )
          GM                              l
A.T=2πr    l                   B.T=2πr   GM

      2π GM                                r
C.T=   r   l                   D.T=2πl    GM
答案 B
                          l                               l
解析 由单摆周期公式          T=2π  g及黄金代换式      GM=gr2,得   T=2πr  GM.
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