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2017-2018学年同步备课教科版选修3-4 第一章 5.学生实验:用单摆测定重力加速度

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              5 学生实验:用单摆测定重力加速度

[学习目标] 1.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法.2.体会单摆做简谐运动的条件.


1.实验目的
利用单摆测定当地的重力加速度.

2.原理

        l     4π2l
由 T=2π  g得  g= T2 .所以,只要测出单摆的摆长           l 和周期  T,就可测出当地的重力加速
度.

3.器材
铁架台及铁夹,金属小球(有孔)、停表、细线(1 m                 左右)、刻度尺、游标卡尺.
4.实验步骤
(1)让细线的一端穿过摆球的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的线结,制成一个单
摆.

(2)将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,使铁夹伸出桌面之外,然后把单摆上
端固定在铁夹上,使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.

(3)用刻度尺量出悬线长        l′(准确到   mm),用游标卡尺测出摆球的直径              d(准确到   mm),然后
                             d
计算出悬点到球心的距离           l=l′+2,即为摆长.
(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度,角度不大于                   5°,再释放摆球.当摆球经过最低位置
时,用秒表开始计时,测量单摆全振动                30 次(或  50 次)的时间,求出一次全振动的时间,即
单摆的振动周期.

(5)改变摆长,重做几次实验,将所得数据填入表格.
5.数据处理
方法一:将每次测出的周期            T 及测得的摆长     l 代入公式
   4π2l
g= T2 ,求出重力加速度的值,然后求              g 的平均值.
                                                               4π2
方法二:多做几次实验,由几组             l、T 值作出    T2-l 图像,则图像的斜率        k=  g ,从而求出
重力加速度     g.
6.注意事项
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(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线,比如用单根尼龙丝、丝线等,长度一般不应短于                                   1 
m,摆球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超过                         2 cm.
(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应不大于                  5°.
(3)摆球摆动时,要使之保持在同一竖直平面内,不要形成圆锥摆.
(4)测量单摆的振动次数时,应从摆球通过最低点时开始计时,以后摆球从同一方向通过最
低点时计数,要测多次(如          30 次或  50 次)全振动的时间,用取平均值的办法求周期.


例  1  “在用单摆测定重力加速度”的实验中
(1)用摆长  L 和周期   T 计算重力加速度的公式是           g=____________.
(2)如果用  10 分度的游标卡尺测得的摆球直径如图               1 甲所示,则摆球的直径          d=
________cm;用最小刻度为       1  mm  的刻度尺的零点对准摆线的悬点,测得的摆线长如图乙
所示,则单摆的摆长为          L=________ cm;如果测量了       40 次全振动的时间如图丙所示,则此
单摆的振动周期       T=________s.
(3)由实验数据得出重力加速度           g=________π2.


                                     图 1
        4π2L
答案 (1)   T2
(2)1.35 96.825 1.98
(3)0.987 9
                              L         4π2L
解析 (1)根据单摆周期公式          T=2π  g,得到   g=  T2
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(2)由图示游标卡尺可知,主尺的示数是               13 mm,游标尺的示数是        5×0.1 mm=0.5 mm,
则游标卡尺示数,即小球直径            d=13 mm+0.5 mm=13.5 mm=1.35 cm;
摆线的长度:l=96.15 cm
                 d           1.35
单摆的摆长为      L=l+2=96.15 cm+    2  cm=96.825 cm
由图示秒表可知,分针示数是            1 min=60  s,秒针示数是      19.2 s,秒表示数是     60 s+19.2 s=
79.2 s
           t  79.2
单摆周期    T=n=   40  s=1.98 s;
(3)重力加速度:
   4π2L  4 × 96.825 × 10-2
g=  T2 =      1.982    ×π2=0.987 9π2
例  2  在“用单摆测定重力加速度”的实验中,由于没有游标卡尺,无法测小球的直径                                 d,
实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长                  l,测得多组周期       T 和 l 的数据,作出     l-T2 图像,
如图  2 所示.


                                     图 2
(1)实验得到的    l-T2 图像是________(选填“a”“b”或“c”);
(2)小球的直径是________cm;
(3)实验测得当地重力加速度的大小是________m/s2(π=3.14,结果取三位有效数字).
答案 (1)c (2)1.2 (3)9.86

                   d
                l-
                   2     g     d                    g         d
解析 (1)由   T=2π   g  得 l=4π2T2+2,由数学知识得斜率为4π2,截距为2,截距为正值,
则图像为    c.
          d
(2)由截距为2=0.6 cm,可知      d=1.2 cm.
            g   0.6
(3)由斜率  k=4π2=2.4=0.25,可知     g=9.86 m/s2.
例  3  用单摆做测定重力加速度的实验,某同学做实验时,操作上错误或不合理的有
________.
A.单摆的偏角大于        10°
B.摆球摆动到最高点开始计时
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C.防止摆球在水平面内做圆周运动或椭圆运动
D.测出的摆线长就是摆长
E.在平衡位置启动秒表,并开始计数,当摆球第                    30 次经过平衡位置时制动秒表,若读数
           t
为 t,则  T=30
答案 ABDE
解析 A.单摆应保证偏角小于             5°,做简谐运动.
B.应在通过最低点时开始计时,误差较小.
D.摆长应为摆线长加摆球半径.
                   t
E.如此计数,则       T=14.5,应在摆球经过平衡位置时开始计数,在摆球下一次以相同方向
通过平衡位置时,计数为           1.

例  4  在用单摆测定重力加速度时,某同学用同一套实验装置,用同样的步骤进行实验,
但所测得的重力加速度总是偏大,其原因可能是(  )
A.测定周期时,振动次数少数了一次
B.测定周期时,振动次数多数了一次
C.摆球的质量过大
D.计算摆长时,只考虑悬线的长度,没有加上摆球的半径
答案 B
                       4π2l
解析 由计算      g 的公式   g= T2 可知,如果振动次数多数了一次,即               T 偏小,使    g 偏大,选
项 A 错,B   对;摆球的质量过大,不影响单摆的周期与摆长,所以不影响测得的重力加速
度,选项    C 错;当   l 偏小时,求得的      g 偏小,选项     D 错.


                                   误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求.即:悬点是否固定,是单摆还
是复摆,球、线是否符合要求,摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动,以及测量哪段长
度作为摆长等等.
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上,因此,要注意测准时间(周期).要
从摆球通过平衡位置开始计时,不能多记或漏记振动次数.为了减小偶然误差,应进行多次
测量取平均值.


1.某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作:
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(1)用游标卡尺测量摆球的直径如图             3 甲所示,可读出摆球的直径为________cm.把摆球用细
线悬挂在铁架台上,测量摆线长,通过计算得到摆长                      l.


                                     图 3
(2)用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为                              n=1,单摆每
经过最低点记一次数,当数到            n=60  时秒表的示数如图乙所示,该单摆的周期是                  T=
________s(结果保留三位有效数字).
(3)测量出多组周期      T、摆长   L 的数值后,画出       T2-l 图线如图丙所示,此图线斜率的物理意
义是(  )
              1            4π2             g
A.g         B.g           C. g            D.4π2
(4)在(3)中,描点时若误将摆线长当作摆长,那么画出的直线将不通过原点,由图线斜率得
到的重力加速度与原来相比,其大小(  )
A.偏大                           B.偏小
C.不变                           D.都有可能
(5)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度,他采用的方法是:先测出一

摆线较长的单摆的振周期           T1,然后把摆线缩短适当的长度            Δl,再测出其振动周期         T2 用该同
学测出的物理量表示重力加速度             g=________.
                                   4π2Δl
答案 (1)2.07 (2)2.28 (3)C (4)C (5)T12-T2
                                  1
解析 (1)摆球的直径为        d=20  mm+7×10    mm=20.7  mm=2.07   cm.(2)秒表的读数为     t=60 
                         60-1    59              2t
s+7.4 s=67.4 s,根据题意    t=  2  T=  2 T,所以周期    T=59≈2.28 s.(3)根据单摆的周期公

        l      T2  4π2                                T2  4π2
式 T=2π  g,可得    l = g =k(常数),所以选项       C 正确.(4)因为    l =  g =k(常数),所以
ΔT2  4π2
 Δl = g =k,若误将摆线长当作摆长,画出的直线将不通过原点,但图线的斜率仍然满足
T12-T2  4π2                                                         ΔT2   4π2
l1-l2 =  g =k,所以由图线的斜率得到的重力加速度不变.(5)根据(4)的分析,                        Δl = g ,
       4π2Δl  4π2Δl
所以  g=  ΔT2 =T12-T2.
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2.某同学利用单摆测定重力加速度.
(1)为了使实验误差尽量小,下列说法正确的是________.
A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.摆长一定的情况下,摆的振幅尽量大
(2)下表是用单摆测定重力加速度的实验中获得的有关数据:

                 摆长  l/m       0.4   0.5   0.6   0.8   1.0   1.2
             周期的平方      T2/s2  1.6   2.2   2.4   3.2   4.0   4.8
①利用上述数据,在图          4 中描出  l-T2 的图像.


                                     图 4
②利用图像,取       T2=5.2 s2 时,l=________ m,重力加速度      g=________ m/s2.
答案 (1)BC

(2)①见解析图 ②1.3 9.86
解析 (1)应选用密度较大且直径较小的摆球,A                  错.在摆动中要尽力保证摆长不变,故应
选用不易伸长的细线,
B 对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆,摆球要在同一竖直面内摆动,C                            对.摆角要控制在
5°以内,所以     D 错.

(2)①描点作图如图所示.


                       Δl   1.2-0.4 1       T2
②由图可知图线的斜率          k=ΔT2=4.8-1.6=4,即    l= 4 ,当  T2=5.2 s2 时,l=1.3  m,由   k=
 g
4π2得 g=π2≈9.86 m/s2.
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一、选择题

1.用单摆测定重力加速度,根据的原理是(  )
        4π2l
A.由   g= T2 看出,T   一定时,g    与  l 成正比
        4π2l
B.由  g=  T2 看出,l  一定时,g     与 T2 成反比
                                                   4π2l
C.由于单摆的振动周期          T 和摆长   l 可用实验测定,利用        g= T2 可算出当地的重力加速度
D.同一地区单摆的周期不变,不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
答案 C
解析 g   是由所处的地理位置的情况来决定的,与                  l 及 T 无关,故只有     C 正确.

2.在“用单摆测定重力加速度”的实验中,有如下器材供选用,请把应选用的器材填在横
线上________________(填字母).
A.1 m  长的粗绳                    B.1 m  长的细线
C.半径为    1 cm 的小木球             D.半径为     1 cm 的小铅球
E.时钟                           F.停表
G.分度值为     1 mm 的米尺            H.分度值为      1 cm 的米尺
I.铁架台                          J.附砝码的天平
答案 BDFGI
3.对“用单摆测定重力加速度”的实验,下列说法正确的是(  )
A.如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球,应选用铁球作摆球
B.单摆偏角不应超过         5°
C.为便于改变摆长,可将摆线的一头绕在铁架台上的圆杆上以代替铁夹
D.测量摆长时,应用力拉紧摆线
答案 AB
解析 要符合单摆模型要求,则             A、B   项正确.摆动过程中悬点位置变化,会导致摆长变化,
C 项错误.测摆长时,用力拉紧摆线会使形变量变大,摆长偏大,故                           D 项错误.
二、非选择题

4.某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验.
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                                     图 1
测摆长时测量结果如图          1 甲所示(摆线的另一端与刻度尺的零刻线对齐),摆长为
________cm;然后用秒表记录了单摆全振动              50 次所用的时间如图乙所示,秒表读数为
________s.
答案 99.80 100.6
解析 摆长应是悬点到球心的距离,故摆长为                   99.80 cm,分针上的示数为         1.5 min,即   90 
s,秒针上的示数为        10.6 s,故秒表读数为(90+10.6) s=100.6 s.

5.利用单摆测重力加速度的实验中,测出单摆偏角小于                       5°时完成   n 次全振动的时间为       t,
用毫米刻度尺测得摆线长为            l,用螺旋测微器测得摆球的直径为              d.
(1)用上述物理量和符号写出测重力加速度的一般表达式                     g=________________.
(2)实验中有同学发现他测的重力加速度值总是偏大,其原因可能是(  )
A.实验室在高山上,高出海平面太高
B.单摆所用摆球太重
C.测出   n 次全振动的时间       t,误作为(n+1)次全振动时间进行计算
D.以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算
              d
        4π2 l+ n2
           (  2)
答案 (1)      t2    (2)CD
6.一组同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中,用正确的操作方法,测定了                                  6 组摆
长 l 和周期   T 的对应值.为了求出当地的重力加速度                g,4 位同学提出了     4 种不同的数据处理
方法:
                                           4π2l
A.从测定的     6 组数据中任意选取        1 组,用公式     g= T2 求出  g 作为测量值
                                                        4π2l
B.分别求出     6 个 l 值的平均值l和     6 个 T 值的平均值T,用公式        g=  T2 求出  g 作为测量值
                                    4π2l
C.分别用    6 组 l、T 的对应值,用公式        g=  T2 求出  6 个对应的    g 值,再求出这     6 个 g 的平
均值作为测量值
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                                                              4π2
D.在坐标纸上作出        T2-l 图像,从图像中计算出图线的斜率               k,根据   g=  k 求出  g 作为测
量值.

以上  4 种方法中,错误的是________,其余正确方法中偶然误差最小的是________.
答案 B D
解析 错误的是       B,因为   l 和 T 之间不是一次函数的关系.偶然误差最小的是                   D,因为偶然
误差总是有时偏大有时偏小,而描点后画线时要求尽可能多的点在一条直线上,其余点尽可
能均衡地分布在直线两侧,实际上是把偶然误差减小到最小了.
                                                                      4π2l
7.在“用单摆测定重力加速度”的实验中,由单摆做简谐运动的周期公式得到                                g=  T2 .只
要测出多组单摆的摆长          l 和运动周期    T,作出   T2-l 图像,就可以求出当地的重力加速
度.理论上     T2-l 图像是一条过坐标原点的直线,某同学根据实验数据作出的图像如图                            2 所
示.


                                     图 2
(1)造成图像不过坐标原点的原因可能是________.
(2)由图像求出的重力加速度          g=________m/s2.(取 π2=9.87)
答案 (1)测摆长时漏掉了摆球半径 (2)9.87
解析 (1)既然所画      T2-l 图像与纵坐标有正截距,这就表明              l 的测量值与真实值相比偏小了,
                                                  4π2          4π2
则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径.(2)图像的斜率                     k=  g =4,则   g=  k =9.87 m/s2.
                          l
8.  根据单摆周期公式        T=2π  g,可以通过实验测定当地的重力加速度.如图                   3 所示,将细
线的上端固定在铁架台上,下端系一小钢球,就做成了单摆.


                                     图 3
(1)用游标卡尺测量小钢球直径,示数如图                4 所示,读数为________mm.
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                                     图 4
(2)以下是实验过程中的一些做法,其中正确的有________.
a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的,并且尽可能长一些
b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些,以方便测量,开始时拉开摆球,使摆线相距平衡位置有较大的
角度

d.拉开摆球,使摆线偏离平衡位置的角度不大于                    5°,在释放摆球的同时开始计时,当摆球
回到开始位置时停止计时,此时间间隔                Δt 即为单摆周期      T
e.拉开摆球,使摆线偏离平衡位置的角度不大于                    5°,释放摆球,当摆球振动稳定后,从平
                                                               Δt
衡位置开始计时,记下摆球做            50 次全振动所用的时间         Δt,则单摆周期      T=50
答案 (1)18.6 (2)abe
解析 (1)(18+6×0.1) mm=18.6 mm
(2)摆线要选择细些的、伸缩性小些的,并且尽可能长一些,摆球尽量选择质量大些、体积
小些的,都是为了更加符合单摆的构成条件,故                    a、b 是正确的;摆线相距平衡位置的角度,
以不大于    5°为宜,故    c 是错误的;拉开摆球,使摆线偏离平衡位置的角度不大于                       5°,释放
摆球,当摆球振动稳定后,从摆球经过平衡位置时开始计时,记下摆球做                              50 次全振动所用
                       Δt
的时间   Δt,则单摆周期      T=50,故   d 错误,e   正确.
9.某同学利用单摆测定当地重力加速度,发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方,他仍
将从悬点到球心的距离当作摆长             l,通过改变摆线的长度,测得             6 组 l 和对应的周期     T,画
出 l-T2 图线,然后在图线上选取           A、B 两个点,坐标如图        5 所示.他采用恰当的数据处理
方法,则计算重力加速度的表达式应为                g=____________.请你判断该同学得到的实验结果与
摆球重心就在球心处的情况相比,将________.(填“偏大”“偏小”或“相同”)


                                     图 5
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      4π2lB-lA
答案      TB2-TA2   相同

                      l                             4π2lB-lA
解析 由周期公式        T=2π  g,得  T2g=4π2l,结合图像得到       g=   TB2-TA2  ,因为这样处理
数据后用到的是前后两次摆长的差值,与重心位置无关,所以测量结果不受影响.

10.某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时,测量了                         5 种不同摆长情况下单摆的振
动周期,记录数据如下:

           摆长  l/m    0.500 0  0.800 0   0.900 0   1.000 0  1.200 0
           周期  T/s     1.42      1.79     1.90      2.00      2.20
             T2/s2     2.02      3.20     3.61      4.00      4.84
(1)以摆长为横坐标,周期的平方为纵坐标,根据以上数据在图                        6 中画出   T2-l 的图线.


                                     图 6
(2)求出此图线的斜率.
(3)由此图线求出重力加速度.
答案 见解析
解析 (1)根据表中数据选取适当标度,然后描点、作图,如图所示.


(2)由图线知,直线斜率        k=4.03.

                  l        4π2
(3)由周期公式    T=2π  g可得   T2= g l
               4π2       4π2  4 × 3.142
因此直线斜率      k=  g ,即  g=  k =    4.03   m/s2≈9.79 m/s2.
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