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2018-2019学年高中物理人教版必修二 第五章 6 向心力

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第五章 曲线运动
6 向心力
[学习目标]
1.了解向心力的概念,知道它是根据力的作用效果命名的.
2.会分析向心力的来源,掌握向心力的表达式,并能用来进行计算.
3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力,知道合外力的
作用效果.
内容索引


    自主预习                             重点探究                              达标检测
 预习新知 夯实基础                         启迪思维 探究重点                        检测评价 达标过关
自主预习
一、向心力
1.定义:做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指
向  圆心的合力                    ,这个合力叫做向心力.
2.方向:始终沿着 半径         指向  圆心        .
3.表达式:

(1)Fn=____
        2
(2)Fn=__mω___r
4.向心力是根据力的 作用效果               来命名的,凡是产生向心加速度的力,
不管属于哪种性质,都是向心力.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力:变速圆周运动的合
力产生两个方向的效果,如图1所示.
                       切向
(1)跟圆周相切的分力Ft:产生       加速度,
此加速度描述线速度 大小        变化的快慢.
                      向心
(2)指向圆心的分力Fn:产生              加速度,
此加速度描述线速度 方向         改变的快慢.                 图1
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动:运动轨迹既不是 直线        也不是 圆周        的曲线运动.
(2)处理方法:可以把曲线分割成许多很短的小段,每一小段可看做
一小段 圆弧      .研究质点在这一小段的运动时,可以采用圆周运动的分
析方法进行处理.
[即学即用] 
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力.(  ×            )
(2)向心力和重力、弹力一样,都是根据性质命名的.(  ×               )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力,也可以是物体受到的合力.
                                                  (  √ )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心.(  ×           )
(5)变速圆周运动的向心力大小改变.(  √          )
(6)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变.(  √                 )

                                                      答案
2.(多选)如图2所示,用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)
做匀速圆周运动,关于小球的受力,下列说法正确的是 


                           图2
√A.重力、支持力、绳子拉力
B.重力、支持力、绳子拉力和向心力
C.重力、支持力、向心力
√D.绳子拉力充当向心力

                                                       答案
重点探究
                  一、向心力的概念和来源
[导学探究] 
1.如图3所示,用细绳拉着小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,若小
球的线速度为v,运动半径为r,是什么力产生的向心加速度?该力的
大小、方向如何?小球运动的速度v增大,绳的拉力大小如何变化?


                          图3
答案 产生向心加速度的力是小球受到的重力、支持力和绳的拉力的

合力,合力等于绳的拉力,大小为F=man=      ,方向指向圆心.v增大
,绳的拉力增大.
                                                      答案
2.若月球绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω,月地距离为r,是什么
力产生的加速度?该力的大小、方向如何?

                   2
答案 向心加速度an=ω        r,是地球对月球的引力产生的加速度,引
                   2
力的大小为F=man=mω       r,方向指向地心.


                                                      答案
[知识深化]
向心力的理解
(1)向心力:使物体做圆周运动的指向圆心的合力.

                             2
(2)向心力大小:Fn=man=       =mω   r=
(3)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动,其向心力总是沿着半径指向圆心,方向时
刻改变,故向心力是变力.
(4)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心
,其方向与物体运动方向始终垂直,故向心力不改变线速度的大小.
(5)向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各
种性质的力提供,也可以由它们的合力提供,还可以由某个力的分力
提供.
①当物体做匀速圆周运动时,由于物体沿切线方向的加速度为零,即
切线方向的合力为零,物体受到的合外力一定指向圆心,以提供向心
力产生向心加速度.
②当物体做非匀速圆周运动时,其向心力为物体所受的合外力在半径
方向上的分力,而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
 例1 (多选)下列关于向心力的说法中正确的是 
 A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
√B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
√C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
 D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
 解析 当物体所受的外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时,物
 体将做圆周运动,该分力即为向心力,故先有向心力然后才使物体做
 圆周运动.因向心力始终垂直于速度方向,所以它不改变线速度的大小
 ,只改变线速度的方向.匀速圆周运动所受合外力指向圆心,完全提供
 向心力.非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力.
                                                 解析    答案
 例2 (多选)如图4所示,用长为L的细线拴住一个质量为M的小球,使
 小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向的夹角为θ,关于
 小球的受力情况,下列说法中正确的是 
 A.小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
√B.向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
√C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
√D.向心力的大小等于Mgtan θ
                                               图4

                                                       答案
                 二、匀速圆周运动问题分析

1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题,无非是由物体的受力情况确
定物体的运动情况,或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤:
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析,确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程,必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位,代入数据计算,求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例

    图形      受力分析     力的分解方法      满足的方程及向心加速度
       

                           
                                 或mgtan θ=mω2lsin θ

                                 an=gtan θ
                          或mgtan θ=mrω2

                          an=gtan θ
 

                     
                          或mgtan θ=mrω2

                          an=gtan θ
     2
an=ω r
例3 如图5所示,已知绳长为L=20 cm,水平杆长为L′=0.1 m,小
球质量m=0.3    kg,整个装置可绕竖直轴转动.g取10          m/s2,问:(结果
保留两位小数)
(1)要使绳子与竖直方向成45°角,试求该装置必须
以多大的角速度转动才行?
答案 6.44 rad/s                                  图5
(2)此时绳子的张力为多大?
答案 4.24 N

                                                解析    答案
解析 小球绕竖直轴做圆周运动,其轨道平面在水平面内,对小球受

力分析如图所示,设绳对小球拉力为FT,小球重力为mg,则绳的拉
力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力.
对小球利用牛顿第二定律可得:
mgtan 45°=mω2r          ①
r=L′+Lsin 45°           ②
联立①②两式,将数值代入可得
ω≈6.44 rad/s
方法总结

                   匀速圆周运动解题策略
 在解决匀速圆周运动问题的过程中,要注意以下几个方面:
 (1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面,明确圆心和半径是解题的
 一个关键环节.
 (2)分析清楚向心力的来源,明确向心力是由什么力提供的.
 (3)根据线速度、角速度的特点,选择合适的公式列式求解.
针对训练      如图6所示,一只质量为m的老鹰,以速率v在水平面内做
半径为R的匀速圆周运动,则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加
速度为g) 


                          图6
√


                                                解析    答案
解析 对老鹰进行受力分析,其受力情况如图所示,
老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可知
,力F沿水平方向的分力提供老鹰做圆周运动的向心力
,且其沿竖直方向的分力与重力平衡,
例4    如图7所示,水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔,质量为
m的物体A放在转盘上,物体A到圆孔的距离为r,物体A通过轻绳与物
体B相连,物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ,则
转盘转动的角速度ω在什么范围内,才能使物体A随转盘转动而不滑动
?(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g)


                                          图7
                                                解析    答案
解析 当A将要沿转盘背离圆心滑动时,A所受的摩擦力为最大静摩擦
力,方向指向圆心,此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大
静摩擦力的合力,即

            2                  
F+Ffmax=mrω1          ①
由于B静止,故有F=mg                                              ②

又Ffmax=μFN=μmg            ③
当A将要沿转盘向圆心滑动时,A所受的摩擦力为最大静摩擦力,方向
背离圆心,此时A做圆周运动所需的向心力为

            2
F-Ffmax=mrω2              ④


故要使A随转盘一起转动而不滑动,其角速度ω的范围为
规律总结

关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,要特别注意分析物体做圆周
运动的向心力来源,考虑达到临界条件时物体所处的状态,即临界速
度、临界角速度,然后分析该状态下物体的受力特点,结合圆周运动
的知识,列方程求解.通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用:
(1)与绳的弹力有关的临界条件:绳弹力恰好为0.
(2)与支持面弹力有关的临界条件:支持力恰好为0.
(3)因静摩擦力而产生的临界问题:静摩擦力达到最大值.
              三、变速圆周运动和一般的曲线运动

[导学探究] 
用绳拴一沙袋,使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动,如图8.
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
答案 绳对沙袋的拉力方向不经过圆心,即不与
沙袋的速度方向垂直,而是与沙袋的速度方向成
一锐角θ,如题图,拉力F有两个作用效果,一是
改变线速度的大小,二是改变线速度的方向.
                                              图8

                                                      答案
(2)如果将拉力按照其作用效果进行分解,两个分
力各产生了怎样的加速度?分加速度的作用效果
如何?

答案 根据F产生的作用效果,可以把F分解为两

个相互垂直的分力:跟圆周相切的分力Ft和指向

圆心的分力Fn;Ft产生切线方向的加速度,改变线

速度的大小,Fn产生向心加速度,改变线速度的
方向.

                                                      答案
[知识深化] 
1.受力特点:变速圆周运动中合外力不指向圆心,合力F产生改变速度
大小和方向两个作用效果.即

合  →  径向方向分力     →  产生向心加速度      →  改变线速度方向
力  →  切线方向分力     →  产生切向加速度      →  改变线速度大小

                                     2             2
2.某一点的向心加速度和向心力仍可用an=              =ω r,Fn=       =mω r公
式求解.
 例5 如图9所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,图中c方向
 沿半径指向圆心,a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时,下列说法
 正确的是 
√A.当转盘匀速转动时,P所受摩擦力方向为c
 B.当转盘匀速转动时,P不受转盘的摩擦力
 C.当转盘加速转动时,P所受摩擦力方向可能为a
 D.当转盘减速转动时,P所受摩擦力方向可能为b                        图9


                                                 解析    答案
解析 转盘匀速转动时,物块P所受的重力和支持力平衡,摩擦力提供
其做匀速圆周运动的向心力,故摩擦力方向指向圆心O点,A项正确,
B项错误;
当转盘加速转动时,物块P做加速圆周运动,不仅有沿c方向指向圆心
的向心力,还有指向a方向的切向力,使线速度大小增大,两方向的合
力即摩擦力可能沿b方向,C项错误;
当转盘减速转动时,物块P做减速圆周运动,不仅有沿c方向指向圆心
的向心力,还有与a方向相反的切向力,使线速度大小减小,两方向的
合力即摩擦力可能沿d方向,D项错误.
归纳总结           匀速圆周运动与变速圆周运动的比较

     运动种类
                     匀速圆周运动                变速圆周运动
 项目

               v、an、Fn大小不变但方向
      特点                                v、an、Fn、ω均变化
               变化,ω、T、n不变
   向心力来源                合力              合力沿半径方向的分力
     周期性                 有                   不一定有
               合力的大小不变,方向始终           合力大小变化,方向与线
      条件
               与线速度方向垂直               速度方向不垂直
      性质                    均是非匀变速曲线运动

      公式
达标检测
 1.(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中,正确的是 
√A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心,所以是一个变力
 B.做匀速圆周运动的物体,除了受到别的物体对它的作用力外,还一
     定受到一个向心力的作用
√C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力,也可以是这些力中
     某几个力的合力,或者是某一个力的分力
√D.向心力只改变物体速度的方向,不改变物体速度的大小

                  1  2 3 4  5                    解析    答案
解析 向心力是根据力的作用效果来命名的,它可以是物体受力的
合力,也可以是某一个力的分力,因此,在进行受力分析时,不能
再分析向心力.向心力时刻指向圆心,与速度垂直,所以向心力只改
变速度方向,不改变速度大小,A、C、D正确.


                1  2 3 4  5
2.(向心力的来源分析)如图10所示,一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直
于盘面的竖直轴转动,在圆盘上放一小木块A,它随圆盘一起运动——
做匀速圆周运动,则关于木块A的受力,下列说法中正确的是 
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力,摩擦力的方向
    与木块运动方向相反
√C.木块A受重力、支持力和静摩擦力,摩擦力的方向
    指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力,摩擦力的方向
                                                图10
    与木块运动方向相同
                  1  2 3 4  5                    解析    答案
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度,所以,它在竖
直方向上受重力和支持力的作用而平衡.而木块在水平面内做匀速圆
周运动,其所需向心力由静摩擦力提供,且静摩擦力的方向指向圆
心O,故选C.


                1  2 3 4  5
3.(圆周运动中的动力学问题)如图11所示,质量为1              kg的小球用细绳悬
挂于O点,将小球拉离竖直位置释放后,到达最低点时的速度为2                       m/s
,已知球心到悬点的距离为1          m,重力加速度g=10       m/s2,求小球在最
低点时对绳的拉力的大小.


                         图11
答案 14 N

                 1  2 3 4  5                    解析    答案
解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳

的拉力FT提供(如图所示),


小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力,所以
小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.


                 1  2 3 4  5
4.(圆周运动的向心力及有关计算)长为L的细线,拴一质量为m的小球
,细线上端固定,让小球在水平面内做匀速圆周运动,如图12所示,
求细线与竖直方向成θ角时:(重力加速度为g)
(1)细线中的拉力大小;


                                              图12


                 1  2 3 4  5                    解析    答案
解析 小球受重力及细线的拉力两力作用,如图所示,竖直方向:


FTcos θ=mg,故拉力FT=


                 1  2 3 4  5
(2)小球运动的线速度的大小.

解析 小球做圆周运动的半径r=Lsin θ,

向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ,


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5.(圆周运动的临界问题)如图13所示,水平转盘上放有一质量为m的物体(
可视为质点),连接物体和转轴的绳子长为r,物体与转盘间的最大静摩擦
力是其压力的μ倍,转盘的角速度由零逐渐增大,求:(重力加速度为g)
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度.


 解析 当恰由最大静摩擦力提供向心力时,绳子拉力

 为零时转速达到最大,设此时转盘转动的角速度为ω0,
                                                图13


                  1  2 3 4  5                    解析    答案
(2)当角速度为             时,绳子对物体拉力的大小.


解析 当ω=         时,ω>ω0,所以绳子的拉力F和最
大静摩擦力共同提供向心力,此时,F+μmg=mω2r


                  1  2 3 4  5                    解析    答案
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