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2019版二轮提分宝典:第2课 运动的图像 追及、相遇问题

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                        第 2 课 运动的图像 追及、相遇问题

1.解决运动学图像问题的关键是明确图像要素的物理意义
a.通过理解     v-t 图像的物理意义解决运动学问题

(1)(2014 全国Ⅱ,6   分)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在                   t=0 到 t=t1 的时间内,
它们的   v-t 图像如图所示。在这段时间内(  )


A.汽车甲的平均速度比乙的大
                       v1+v2
B.汽车乙的平均速度等于             2
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案:A

解析:根据     v-t 图像可以看出,在        0~t1 这段时间内,汽车甲的位移            x 甲大于汽车乙的位移
                        x

x 乙,故  C 项错误。根据      v=t得,汽车甲的平均速度            甲大于汽车乙的平均速度            乙,故

A 项正确。作出初速度为          v2、末速度为     v1 的匀减速直线运动的图线如图所示,由图可知汽

车乙的位移     x 乙小于初速度为      v2、末速度为     v1 的匀减速直线运动的位移,即汽车乙的平均
        v1+v2
速度小于      2  ,故   B 项错误。v-t    图像的斜率反映了加速度的大小,因此汽车甲、乙的
加速度大小都逐渐减小,故            D 项错误。


(2)(2018 改编,10  分)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶,前                    20 s 内摩托车做匀加速
运动至速度达到       30 m/s,20  s 至 45 s 内摩托车做匀速直线运动,而后摩托车匀减速到停止
用了   30 s,求:
①摩托车在     0~20 s 这段时间内的加速度大小           a;

②摩托车在     0~75 s 这段时间内的平均速度大小             。
答案:①1.5 m/s2(3  分) ②20 m/s(7  分)
                 v1-v0
解析:①加速度       a=    t  (2 分)
解得   a=1.5 m/s2(1 分)
②根据题意作出       0~75 s 的 v-t 图像如图所示
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

则由图得    0~75 s 的位移
   1
x=2×30×(75+25)m=1 500 m(4    分)
    x  1 500
  =t=   75 m/s=20 m/s(3 分)


b.通过解读     x-t 图像的物理意义解决运动学问题
(3)(多选)(2013 全国Ⅰ,6    分)如图,直线      a 和曲线  b 分别是在平直公路上行驶的汽车              a 和
b 的位置—时间(x-t)图线,由图可知(  ) 


A.在时刻     t1,a 车追上   b 车

B.在时刻     t2,a、b 两车运动方向相反

C.在   t1 到 t2 这段时间内,b   车的速率先减小后增加

D.在   t1 到 t2 这段时间内,b    车的速率一直比       a 车大
答案:BC

解析:开始时      a 在 b 的前边,在时刻       t1,a、b 两车的位置坐标相同,故           b 车追上   a 车,故

A 项错误。在时刻       t2,由两图线切线的斜率方向相反,知两车运动方向相反,故                        B 项正确。

由图知在    t1 到 t2 这段时间内,b    车图线斜率先减小到         0,再反向增大,则        b 车的速率先减

小后增大,故      C 项正确。在     t1 到 t2 这段时间内,a    车图线斜率始终大于         0 且大小不变,而
b 车的速率在某一时刻减小到           0,所以    b 车的速率不是一直比        a 车大,故    D 项错误。

c.通过理解     x 与 v 的关系图像的物理意义解决运动学问题
(4)(2018 改编,12  分)研究表明,一般人的刹车反应时间,即图(a)中“反应过程”所用时间

t0=0.4 s,但饮酒会导致反应时间延长,在某次试验中,志愿者少量饮酒后驾车在试验场的
水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶距离                        L=39 m。减速过程中汽车位移
x 与速度   v 的关系曲线如图(b)所示,此过程可视为匀变速直线运动。求:


                                          
①减速过程汽车加速度的大小及所用时间;
②饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少?
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答案:①8 m/s2,2.5 s(6   分) ② 0.3 s(6 分)

解析:①设减速过程中汽车加速度的大小为                   a,所用时间为      t,由题图(b)可得初速度        v0=

72 km/h=20 m/s,末速度    vt=0,位移    x=25 m,由运动学公式得
v02=2ax①(2 分)
   v0
t= a ②(2 分)
①②联立解得
a=8 m/s2③(1 分)
t=2.5 s④(1 分)

②设志愿者反应时间为            ,反应时间的增加量为          Δt,由运动学公式得


L=v0   +x⑤(2  分)


Δt=   -t0⑥(2 分)
⑤⑥联立解得      Δt=0.3 s⑦(2 分)

d.理解直线运动的加速度、速度、位移、时间的关系,选择符合题意的运动学图像
(5)(多选)(经典题,4    分)一物体做直线运动,其加速度随时间变化的                   a-t 图像如图所示。下
列  v-t 图像中,可能正确描述此物体运动的是(  )


答案:AC
           T                                                         T
解析:在    0~2内,物体沿加速度方向做匀变速运动,v-t                  图像是倾斜的直线。在2~T            内,
加速度为    0,物体做匀速直线运动或处于静止状态,v-t                  图像是平行于      t 轴的直线。在      T~
2T 内,加速度反向,物体做匀变速直线运动,到                   2T 时刻速度与初速度相同,v-t           图像是
向下倾斜的直线,故         A 项、C   项均正确,B     项、D   项均错误。
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 (6)(2014 福建理综,6   分)如图所示,滑块以初速度            v0 沿表面粗糙且足够长的固定斜面,从
顶端下滑,直至速度为零。对于该运动过程,若用                      h、s、v、a   分别表示滑块的下降高度、
  位移、速度和加速度的大小,t            表示时间,则下列图像最能正确描述这一运动规律的是(  


                 )

答案:    B
解析:滑块沿斜面下滑过程中,受重力、支持力和滑动摩擦力作用,做匀减速直线运动,
故速度—时间图像为向下倾斜的直线,故                  C 项错误。滑块加速度保持不变,故              D 项错误。
                                          1

                                            2
设滑块的加速度大小为          a,则滑块的位移       s=v0t-2at ,s-t  图像为开口向下的抛物线,故
B 项正确。设斜面倾角为          θ,滑块下降高度       h=ssin θ,所以    h-t 图像也是开口向下的抛物
线,故   A 项错误。
2.求解追及、相遇问题的关键是求两物体的相对位移
a.运用函数法、相对运动法和图像法解决速度小的物体追速度大的物体类型的题目
(7)(2018 改编,14  分)一辆汽车在平直公路上以           3 m/s2 的加速度由静止开始行驶,此时在汽
车前方   18 m 处一辆自行车正以        6 m/s 的速度匀速行驶,求:
①汽车开动后,追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多少?
②经过多长时间汽车追上自行车,此时汽车的速度是多少?
答案:①2 s,24 m(8    分) ②6 s,18 m/s(6  分)
解析:①两车相距最远时速度相等,即有

v 汽=  v 自=6 m/s(1 分)
                     v汽

此时汽车运动的时间         t1= a =2 s(2 分)

此过程中自行车位移         x 自=  v 自 t1=12 m (2 分)
               1

                  2
汽车的位移     x 汽=2at1 =6 m (2 分)
故汽车追上自行车前两车的最远距离为

Δxmax=x0+x 自-  x 汽=24 m(1 分)
②汽车追上自行车时有
1

   2
2at =v 自 t+x0(3 分)
解得   t=6 s(1 分)
此时汽车的速度       v=at=18 m/s(2 分)

b.速度大的物体追速度小的物体类型的追及、相遇问题

(8)(经典题,8   分)一辆客车以速度        v1 前进,司机发现前面在同一直线上有辆货车正在以
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v2 匀速前进,且     v2<v1,货车车尾与客车车头距离为             s,客车立即刹车,做匀减速运动,
而货车仍保持原速度前进。求客车的加速度大小符合什么条件时,客车与货车不会相撞?
        (v1-v2)2
答案:a>      2 s  (8 分)
解析:设客车的加速度大小为             a 时,刚好撞上货车,所用时间为             t,则
                1

                  2 
客车位移    x1=v1t-2at ①(2 分)

货车位移    x2=v2t ②(2 分)

刚撞上时有     x1-x2=s ③(1  分)

v2=v1-at ④(2 分)
                   (v1-v2)2
①②③④联立解得        a=    2s   (1 分)
                       (v1-v2)2
故客车的加速度大小至少为               2s   时,客车与货车不会相撞。

(9)(多选)(2016   全国Ⅰ,6    分)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其                 v-t 图像如图所示。
已知两车在     t=3 s 时并排行驶,则(  )


A.在   t=1 s 时,甲车在乙车后
B.在   t=0 时,甲车在乙车前        7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是              t=2 s
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为                         40 m
答案:BD
解析:由图像知,在         1~3  s 内,两车的位移相等,又两车在             t=3 s 时并排行驶,所以两车
在  t=1 s 时也并排行驶,故       A 项、C   项均错误。t=1      s 时两车并排行驶,即两车相遇,则

0~1  s 内有  x 乙=x 甲+Δx,v-t   图线与坐标轴围成的面积表示位移,则在                 t=0 时,甲车在
                (10+5) × 1
乙车前的距离      Δx=      2     m=7.5  m,故   B 项正确。甲、乙两车两次并排行驶的位置
                                                               (10+30) × 2
之间沿公路方向的距离也就是从第               1 s 末到第  3 s 末两车运动的位移       Δx′=     2      m=
40 m,故  D 项正确。

c.在限制条件发生前后分阶段研究有限制条件的追及、相遇问题
(10)(经典题,20   分)一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以                       10 m/s 的速度匀
速行驶的货车严重超载时,决定前去追赶,经过                    5.5 s 后警车发动起来,并以         2.5 m/s2 的加
速度做匀加速运动,但警车的行驶速度必须控制在                     90 km/h 以内。
①警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少?
②判定警车在加速阶段能否追上货车(要求通过计算说明);
③警车发动后要多长时间才能追上货车?
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

答案:①75 m(6    分) ②不能(计算说明见解析)(7          分) ③12 s(7  分)
解析:①警车在追赶货车的过程中,当两车速度相等时,它们的距离最大,设警车发动后

经过   t1 时间两车的速度相等,则
   v货

t1= a ①(2 分)
两车速度相等时两车的位移分别为

x 货=  v 货(t0+t1)②(1 分)
     1

        2
x 警=2at1 ③(1 分)

所以两车间的最大距离          Δx=x  货-x 警④(1 分)
①②③④联立解得        Δx=75 m(1 分)
②当警车刚达到最大速度时,运动时间
   vm

t2= a ⑤(2 分)

x 货 1= v 货(t0+t2) ⑥(2 分)
      1
        2
x 警 1=2at2⑦(2 分)

⑤⑥⑦联立解得       x 货 1=155 m>x 警 1=125 m,故此时警车尚未追上货车。(1            分)
③警车刚达到最大速度时两车距离

Δx1=x 货 1-x 警 1⑧(2 分)
警车达到最大速度后做匀速运动,设再经过                   Δt 时间追赶上货车,以货车为参考系,则
      Δx1
Δt=vm-v货⑨(2    分)

t=t2+Δt⑩(2  分)
⑧⑨⑩联立得      t=12 s(1 分)
即警车发动后      12 s 才能追上货车。
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