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全国通用2019届高考物理二轮复习专题4万有引力与航天

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专题4   万有引力与航天
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             考题一    天体质量(密度)的估算

             考题二    人造卫星问题

             考题三    双星与多星问题
         考题一 天体质量(密度)的估算

 方法指导
求解中心天体质量密度的方法                                                                                                                                                                                                                            GMm
1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解
(1)已知卫星的轨道半径Mm                                                          gR2                   r     和该轨道上的重力加速度                                                                                           g,根据                                      2         =mg,得
由于                 2  =          ,故天体质量                            =
           G    R          mg                                  M          G    .                                                                                                                                                                r

2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解
                 gr2                                                                                                                                                                                 GMm                           mv2                                       rv2
        =                   ;                  已知卫星线速度                                                                 和轨道半径                                              ,根据                                   2         =                      得                  =                  ;
M                  G                 (2)                                                                        v                                                      r                                    r                           r                   M                  G                 
                                                                                                                                                                 GMm                                 4π2                                           4π2r3
           已知卫星运转周期                                                                         和轨道半径                                              ,由                           2         =                     2          得                  =                     2    ;
(3)                                                                                  T                                                      r                           r                      m       T         r                M                  GT                        
                                                                                                                                                                  GMm                                      2π                               vT                                     v3T
           已知卫星线速度                                                                 和运转周期                                               ,根据                                   2         =                            和              =                 得                  =
(4)                                                                         v                                                     T                                      r                      mv           T                 r            2π                   M               2πG. 
                                                                                                                                                                                                                              4
       天体密度的估算一般在质量估算的基础上,利用                                                                                                                                                                                  =                             3    进行
3.                                                                                                                                                                                                    M                ρ·3πR                                       . 
 典例剖析

例1   宇宙中有两颗相距无限远的恒星S1、S2,半径均为R0.图1分别是两
颗恒星周围行星的公转周期T2与半径r3的图象,则(                  )

A.恒星S1的质量大于恒星S2的质量
B.恒星S  的密度小于恒星S      的密度
√      1             2

C.恒星S1的第一宇宙速度大于恒星S2的第一宇宙速度
D.距两恒星表面高度相同的行星,S            的行星向心加
                            1                    图1
  速度较大


                                                         解析
                                                    1 2 3
[变式训练]
1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化,怀疑地下有
空腔区域.进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天
然气,如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ,天然气的密度远小于ρ,
可忽略不计.如果没有该空腔,地球表面正常的重力加速度大小为g;由于
空腔的存在,现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1).
已知引力常量为G,球形空腔的球心深度为d,则此球形
空腔的体积是(        )
                  kgd                                                                                                               kgd                                                                                                               1-kgd                                                                                                                                         1-kgd2
A.                                                                                                                B.                                                                                                                C.                                                                                                                                             D.                                                                                            
                     Gρ√                                                                                                              Gρ                                                                                                                                     Gρ                                                                                                                                                 Gρ
                                                  图2
                                                         解析
                                                    1 2 3
2.某行星外围有一圈厚度为d的发光带(发光的物质),简化为如图3甲所示模型,
R为该行星除发光带以外的半径.现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕
该行星的卫星群,某科学家做了精确地观测,发现发光带绕行星中心的运行
速度与到行星中心的距离r的关系如图乙所示(图中所标量为已知),则下列
说法正确的是(        )


                             图3
 A.发光带是该行星的组成部分 

                                                                                                                                                                                   v 2R
                   该行星的质量                                                                                                                                      =                             0
 B.                                                                                                                                            M                                             G                        
                                                                                                                                                                                                                                                            v 2
                   行星表面的重力加速度                                                                                                                                                                                                           =                             0
 C.                                                                                                                                                                                                                           g                                 R                 
                                                                                                                                                                                                                                                                   3v 2R
 D.该行星的平均密度为                                                                                                                                                                                               ρ=                                                                          0                                                 
                                                                                                                                                                                                                                         4πGR+d3


                                                                      1  2  3

√
√


                                                                             解析
                                                     1 2 3
 3.“嫦娥二号”绕月卫星于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心
 发射升空,并获得了圆满成功.“嫦娥二号”新开辟了地月之间的“直航航线”,
 即直接发射至地月转移轨道,再进入距月面约h=1×105                 m的圆形工作轨道,

 开始进行科学探测活动.设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g月,万有
 引力常量为G,则下列说法正确的是(               )
                                                                                                                                                                                                                          3g月
 A.由题目条件可知月球的平均密度为                                                                                                                                                                                                                                    
√                                                                                                                                                                                                                    4πGR                                                                                                                                                                                                                                                                             R
 B.“嫦娥二号”在工作轨道上绕月球运行的周期为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               2π                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               G月

 C.“嫦娥二号”在工作轨道上的绕行速度为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         g月R+h                                                                                                                                        R                                2
 D.“嫦娥二号”在工作轨道上运行时的向心加速度为(                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              )           g              月 
√                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             R+h
                                                     解析   返回
解答卫星问题的三个关键点 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              2                                                                                                                                                                                                                                                 2
                                                                                                                                         Mm                                                                                                                                                                                                                 v                                                                                                                                     2                                                                                        4π                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               GM
                            根据                                                                                                                                         2                          =                                                                                          =                                                                                            =                                                                                                                  =                                                                                                          2                   =                                                                                ,推导、记忆                                                                                                                                                                                                                                                  =                                                                                                                                                                、
1.                                                                                                            G                                          r                                                                             F                              向                                                          m                                  r                                                          mrω                                                                                                                mr                                               T                                                                            ma                                                                                                                                                                                                                                                                                v                                                                                                                                               r                                                                        
                                                                                                                                  GM                                                                                                                                                                                                                        4π2r3                                                                                                                                                                 GM
                          =                                                                                                                                    3                           、                                                        =                                                                                                                                                                                 、                                                      =                                                                  2                          等公式
ω                                                                                                                                                r                                                                              T                                                                                                                                   GM                                                                                                     a                                                                     r                                                                                                                                                       . 
2.理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值、单位. 

3.灵活应用同步卫星的特点,注意同步卫星与地球赤道上物体的运动规律的

                                      考题二     人造卫星问题

  方法指导
区别与联系. 
  典例剖析
 例2  为“照亮”嫦娥四号“驾临”月球背面之路,一颗承载地月中转通信

 任务的中继卫星将在嫦娥四号发射前半年进入到地月拉格朗日L2点.如图4
 所示,在该点,地球、月球和中继卫星位于同一直线上,且中继卫星绕地球
 做圆周运动的轨道周期与月球绕地球做圆周运动的
 轨道周期相同,则(         )
√A.中继卫星做圆周运动的向心力由地球和月球的
   引力共同提供
 B.中继卫星的线速度大小小于月球的线速度大小
√C.中继卫星的加速度大小大于月球的加速度大小
 D.在地面发射中继卫星的速度应大于第二宇宙速度                        图4
                                                          解析
                                                       4 5

 [变式训练]

 4.(2016·全国丙卷·14)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是(                    )
 A.开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律
√B.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律
 C.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因
 D.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律
 解析    开普勒在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律,
 找出了行星运动的规律,而牛顿发现了万有引力定律.


                                                          解析
                                                       4 5
 5.水星或金星运行到地球和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,
 天文学称为“行星凌日”.已知地球的公转周期为365天,若将水星、金星
 和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道,理论计算得到水星相邻两次
 凌日的时间间隔为116天,金星相邻两次凌日的时间间隔为584天,则下列
 判断合理的是(        )
 A.地球的公转周期大约是水星的2倍
√B.地球的公转周期大约是金星的1.6倍
 C.金星的轨道半径大约是水星的3倍
√D.实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角,所以水星或
   金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据

                                                     解析   返回
1.双                                                             星                                    问题的                                                                                                            模型构建 

对于做匀速圆周运动的双星问题,双                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             星的角速度(周期)以及向心力大小相 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          M1M2                                                                                                                                                                                                                     2                                                                                                                                               2
等,基                                                                                                           本                                    方程式为G                                                                                                                                                                                                                 2                                      =M1r1ω                                                                                                                                         =M2r2ω                                                                                                                                         ,式                                                                        中L                                                          表示双星间的距离,r1,
                                    考题三     双星与多星问题                                                                                                                                                                                                                                                                                                  L

 方法指导

r2                              分别表示两颗星的轨道半径,L=r1+r2. 
2.做匀速圆周运动的双星问题中需要注意的几个关键点
(1)双星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动,两星轨道半径之和与两星
距离相等;
(2)双星做匀速圆周运动的角速度必相等,因此周期也必然相等;
(3)双星做匀速圆周运动的向心力由双星间相互作用的万有引力提供,大小
相等;
(4)列式时须注意,万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离,而不是
轨道半径(双星系统中两颗星的轨道半径一般不同).抓住以上四个“相等”,
即向心力、角速度、周期相等,轨道半径之和与两星距离相等,即可顺利
求解此类问题.
 典例剖析

例3   天体A和B组成双星系统,围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动
的周期均为T.天体A、B的半径之比为2∶1,两天体球心之间的距离为R,
且R远大于两天体的半径.忽略天体的自转,天体A、B表面重力加速度之
比为4∶1,引力常量为G,求A天体的质量.
[思维规范流程]
                                         4π2
                              M1M2    M1   2 R1 
     对A、B分别列牛顿          对A:G     2  =    T    ①
                                R        4π2
      第二定律表达式                 M1M2    M2   2 R2 
                                         T
                        对B:G   R2  =          ②

 轨道半径与两天体之间关系            R1+R2 =R         ③
                                  GM1m
                                       2  
                        对A:4mg=    2r   ④
    在A、B表面:FB=G                  GM2m
                                     2   
                        对B:mg=     r      ⑤
                              64π2R3
          结论                  17GT2    
                        得M1=              ⑥
 每式各2分
                                                         答案
 [变式训练]                                                6 7
 6.美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”.天文学家通过观测
 双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在,证实了GW150914是一个
 36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件.假设这两个黑洞
 绕它们连线上的某点做圆周运动,且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞
 系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响,则关于这两个黑
 洞的运动,下列说法正确的是(             )
 A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
 B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
 C.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径大
√D.随两个黑洞的间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期也在减小
                                                          解析
                                                      6 7
7.由三颗星体构成的系统,叫做三星系统.有这样一种简单的三星系统:
质量刚好都相同的三个星体a、b、c在三者相互之间的万有引力作用下,
分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的
平面内做相同周期的圆周运动,若三个星体的质量均为m,三角形的边长
为a,万有引力常量为G,则下列说法正确的是(                   )
A.三个星体做圆周运动的轨道半径为a                                                                                                                                                                                                                                                             a
              三个星体做圆周运动的周期均为
√B.                                                                                                                                                                                                                         2πa                                      3Gm 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     3Gm
               三个星体做圆周运动的线速度大小均为
C.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               a                   
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     3Gm
               三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为                                                                                                                                                                                                                                                                                                   2
D.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            a                     
                                                    解析   返回
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