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2018年高考物理一轮复习第10章磁场微专题54带电粒子在圆形边界磁场中的运动

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                 54 带电粒子在圆形边界磁场中的运动

[方法点拨] (1)带电粒子进入圆形边界磁场,一般需要连接磁场圆圆心与两圆交点(入射点
与出射点)连线,轨迹圆圆心与两交点连线;(2)轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦
现象;(3)沿磁场圆半径方向入射的粒子,将沿半径方向出射.
1.如图   1 所示圆形区域内,有垂直于纸面方向的匀强磁场.一束质量和电荷量都相同的带
电粒子,以不同的速率,沿着相同的方向,对准圆心                      O 射入匀强磁场,又都从该磁场中射
出.这些粒子在磁场中的运动时间有的较长,有的较短.若带电粒子在磁场中只受磁场力的
作用,则在磁场中运动的带电粒子(  )


                                     图 1
A.速率越大的运动时间越长                             B.运动时间越长的周期越大
C.速率越小的速度方向变化的角度越小                        D.运动时间越长的半径越小
2.如图   2 所示,半径为      R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小
为 B,方向垂直于纸面向外,一电荷量为                q、质量为    m 的负离子沿平行于直径         ab 的方向射入
                            R
磁场区域,射入点与         ab 的距离为2.已知离子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为
60°,则离子的速率为(不计重力)(  )


                                     图 2
  qBR                                       qBR
A. 2m                                     B. m
  3qBR                                      2qBR
C. 2m                                     D. m
3.如图   3 所示,空间有一圆柱形匀强磁场区域,O                点为圆心,磁场方向垂直于纸面向
外.一带正电的粒子从          A 点沿图示箭头方向以速率          v 射入磁场,θ=30°,粒子在纸面内运
                                                                         v
动,经过时间      t 离开磁场时速度方向与半径           OA 垂直.不计粒子重力.若粒子速率变为2,其
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

他条件不变,粒子在圆柱形磁场中运动的时间为(  )


                                     图 3
  t
A.2                                       B.t
  3t
C. 2                                      D.2t
4.(多选)如图     4 所示,圆心角为      90°的扇形     COD 内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,
E 点为半径   OD 的中点.现有比荷大小相等的两个带电粒子                  a、b(不计重力)以大小不等的速
度分别从    O、E 点均沿    OC 方向射入磁场,粒子        a 恰从  D 点射出磁场,粒子       b 恰从  C 点射出磁
场,已知    sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法中正确的是(  )


                                     图 4
A.粒子   a 带正电,粒子      b 带负电
B.粒子   a、b 在磁场中运动的加速度大小之比为               5∶2
C.粒子   a、b 的速率之比为       2∶5
D.粒子   a、b 在磁场中运动的时间之比为            180∶53
                                           1
5.(多选)如图     5 所示,匀强磁场分布在半径为            R 的4圆形区域     MON 内,Q 为半径    ON 上的一
         2
点且  OQ=  2 R,P 点为边界上一点,且        PQ 与 OM 平行.现有两个完全相同的带电粒子以相同
的速度射入磁场(不计粒子重力及粒子间的相互作用),其中粒子                          1 从 M 点正对圆心射入,恰
从 N 点射出,粒子      2 从 P 点沿 PQ 射入,下列说法正确的是(  )


                                     图 5
A.粒子   2 一定从   N 点射出磁场
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B.粒子   2 在 P、N 之间某点射出磁场
C.粒子   1 与粒子   2 在磁场中的运行时间之比为           3∶2
D.粒子   1 与粒子   2 在磁场中的运行时间之比为           2∶1
6.如图   6 所示,以    O 为圆心、半径为      R 的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为
B 的匀强磁场,一粒子源位于圆周上的               M 点,可向磁场区域垂直磁场沿各个方向发射质量为
m、电荷量为-q      的粒子,不计粒子重力,N           为圆周上另一点,半径          OM 和 ON 间的夹角   θ,
          θ
且满足   tan 2=0.5.


                                     图 6
                      qBR

(1)若某一粒子以速率        v1= m  沿与  MO 成 60°角斜向上方向射入磁场,求此粒子在磁场中
运动的时间;

(2)若某一粒子以速率        v2 沿 MO 方向射入磁场,恰能从        N 点离开磁场,求此粒子的速率             v2;

(3)若由  M 点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为                 v2,求磁场中有粒子通过的区域面积.
7.如图   7 所示,在半径分别为        r 和 2r 的同心圆(圆心在       O 点)所形成的圆环区域内,存在垂
直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为                  B.在大圆边界上      A 点有一粒子源,垂直         AO 向左
                                     qBr
发射一质量为      m,电荷量为+q,速度大小为            m 的粒子.求:


                                     图 7
(1)若粒子能进入磁场发生偏转,则该粒子第一次到达磁场小圆边界时,粒子速度相对于初
始方向偏转的角度;
(2)若粒子每次到达磁场大圆边界时都未从磁场中射出,那么至少经过多长时间该粒子能够
回到出发点     A.
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                                   答案精析

1.D

2.D [设带电离子在匀强磁场中运动轨迹的半径为                    r,速率为    v.根据题述,带电离子射出

磁场与射入磁场时速度方向之间的夹角为                 60°,可知带电离子运动轨迹所对的圆心角为
                          v2          2qBR
60°,rsin 30°=R.由     qvB=m r ,解得   v=  m  ,选项   D 正确.]
3.C [粒子以速率       v 垂直  OA 方向射出磁场,由几何关系可知,粒子轨
              mv
迹半径为    r=R=qB,粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于粒子
               2π                v                   R
速度的偏转角,即        3 ;当粒子速率变为2时,粒子轨迹半径减为2,如图
所示,粒子偏转角为         π,由粒子在磁场中运动时间            t 与轨迹所对圆心角
                          2πm
成正比和匀速圆周运动周期            T= qB 可知,粒子减速后在磁场中运动时间为                1.5t,C  项正
确.]

4.CD [两个粒子的运动轨迹如图所示,根据左手定则判断知粒子                          a 带

负电,粒子     b 带正电,A    错误;设扇形      COD 的半径为   r,粒子    a、b 的轨
                         r              r              r
                                    Rb-
                             2   2 (     )2
道半径分别为      Ra、Rb,则  Ra=2,Rb=r   +      2 ,sin    θ=Rb,得

Rb=
5                     v2       qB
4r,θ=53°,由      qvB=m R ,得  v= m R,所以粒子     a、b 的速率之比为
va  Ra  2                                  qvB
vb=Rb=5,C   正确;由牛顿第二定律得加速度              a= m  ,所以粒子     a、b 在磁场中运动的加
             aa  va  2                                    πRa

速度大小之比为ab=vb=5,B         错误;粒子     a 在磁场中运动的时间         ta= va ,粒子   b 在磁场中
              53°
                 πRb
              180°      ta 180

运动的时间     tb=   vb  ,则tb=   53 ,D 正确.]
5.AD [如图所示,粒子         1 从 M 点正对圆心射入,恰从         N 点射出,根据洛伦兹力指向圆心,

和 MN 的中垂线过圆心,可确定圆心为             O1,半径为    R.两个完全相同的带电粒子以相同的速度

射入磁场,粒子运动的半径相同.粒子                2 从 P 点沿  PQ 射入,根据洛伦兹力指向圆心,圆心

O2 应在 P 点上方   R 处,连接    O2P、ON、OP、O2N,O2PON  为菱形,O2N    大小为    R,所以粒子     2 一

定从  N 点射出磁场.A      正确,B   错误.
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                                      OQ

∠MO1N=90°,∠PO2N=∠POQ,cos       ∠POQ=OP,所以∠PO2N=∠POQ=45°.两个完全相同
的带电粒子以相同的速度射入磁场,粒子运动的周期相同.粒子运动时间与圆心角成正比,

所以粒子    1 与粒子   2 在磁场中的运行时间之比为           2∶1.C 错误,D    正确.]


      5mπ     qBR     11      3
6.(1)6qB (2)  2m  (3)24πR2-   4 R2

解析 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,设轨迹半径为                                 r1,由
                      v12

牛顿第二定律可得        qv1B=mr1
        mv1

解得  r1= qB =R
粒子沿与    MO 成 60°角的方向射入磁场,设粒子从区域边界                P 点射出,其运动轨迹如图甲所

示.


                                      甲

由图中几何关系可知粒子轨迹所对应的圆心角为                    α=150°
               2πm
粒子运动周期      T= Bq
                          150°
粒子在磁场中的运动的时间            t=360°T
       5mπ
解得  t=6qB

(2)粒子以速率     v2 沿 MO 方向射入磁场,在磁场中做匀速圆周运动,恰好从                    N 点离开磁场,

其运动轨迹如图乙所示,
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                                      乙
                                               θ  1

设粒子轨迹半径为        r2,由图中几何关系可得:r2=Rtan 2=2R
                        v2

由牛顿第二定律可得         qv2B=mr2
                   qBR

解得:粒子的速度        v2= 2m

(3)粒子沿各个方向以        v2 进入磁场做匀速圆周运动时的轨迹半径都为                 r2,且不变.由图丙可

知,


                                      丙

粒子在磁场中通过的面积           S 等于以  O3 为圆心的半圆的面积        S1,以  M 为圆心的扇形      MOQ 的面

积 S2 和以 O 点为圆心的圆弧       MQ 与直线   MQ 围成的面积    S3 之和.
   1   R   1
      ( )2     2
S1=2π  2 =8πR
   1
       2
S2=6πR
   1       3
       2     2
S3=6πR  - 4 R
                11      3
                     2    2
则 S=S1+S2+S3=24πR    -  4 R
               4π+3  3m
7.(1)120° (2)       Bq
                                                       mv0

解析 (1)粒子做匀速圆周运动,设初速度为                 v0,轨迹半径为      R= qB =r

如图甲所示,粒子将沿着           AB 弧(圆心在   O1)运动,交内边界于        B 点.


                                      甲

△OO1B 为等边三角形,则∠BO1O=60°

粒子的轨迹     AB 弧对应的圆心角为∠BO1A=120°.
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则速度偏转角为       120°.

(2)粒子从   B 点进入中间小圆区域沿直线           BC 运动,又进入磁场区域,经偏转与外边界相切于

D 点.在磁场中运动的轨迹如图乙所示,


                                      乙
                              4
                               π
                              3

粒子在磁场区域运动的时间            t1=3×2π·T=2T
   2πm
T= Bq
每通过一次无磁场区域,粒子在该区域运动的距离                     l=2rcos 30°=    3r
                               3l

粒子在无磁场区域运动的总时间             t2=v0
        qBr       3 3m

代入  v0= m ,得   t2= qB
                                     4π+3  3m

则粒子回到     A 点所用的总时间:t=t1+t2=             Bq     .
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