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2017-2018学年高中创新设计物理粤教版选修3-5学案:1-2 物体的碰撞 动量 动量守恒定律

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                  第三节 动量守恒定律在碰撞中的应用

 [目标定位] 1.进一步理解弹性碰撞和非弹性碰撞,会用动量和能量的观点解决
碰撞问题.2.了解动量守恒定律在研究粒子物理中的重要作用.

 一、应用动量守恒定律解题的一般步骤

 1.确定研究对象组成的系统,分析所研究的物理过程是否满足动量守恒的应用
 条件.

 2.设定正方向,分别写出系统初、末状态的总动量.
 3.根据动量守恒定律列方程.
 4.解方程,统一单位后代入数值进行运算写出结果.
 二、动量守恒定律的普遍应用

 1.在自然界中,大到天体的相互作用,小到质子、中子等基本粒子间的相互作
 用都遵守动量守恒定律.

 2.动量守恒定律是比牛顿运动定律应用更为普遍的定律.


 预习完成后,请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

                  问题  1
                  问题  2
                  问题  3

 一、对碰撞问题的理解

 1.碰撞
 (1)碰撞时间非常短,可以忽略不计.
 (2)碰撞过程中内力往往远大于外力,系统所受外力可以忽略不计,所以系统的
 动量守恒.

 2.三种碰撞类型
 (1)弹性碰撞

 动量守恒:m1v10+m2v20=m1v1+m2v2
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            1  102   1   202  1      1

机械能守恒:2m1v         +2m2v    =2m1v21+2m2v2
                  m1-m2          2m1
                    +             +
当 v20=0 时,有   v1=m1   m2v10,v2=m1   m2v10
推论:质量相等,大小、材料完全相同的弹性小球发生弹性碰撞,碰后交换速
度.

(2)非弹性碰撞

动量守恒:m1v10+m2v20=m1v1+m2v2
机械能减少,损失的机械能转化为内能

|ΔEk|=Ek 初-Ek 末=Q
(3)完全非弹性碰撞

动量守恒:m1v10+m2v20=(m1+m2)v      共
碰撞中机械能损失最多

     1   102   1   202  1

|ΔEk|=2m1v   +2m2v    -2(m1+m2)v共2
【例  1】 形状、大小完全相同,质量分别为                  300 g 和 200 g 的两个物体在光滑
的水平面上相向运动,速度分别为               50 cm/s 和 100 cm/s.
(1)如果两物体碰撞并粘合在一起,求它们共同的速度大小;
(2)求碰撞后损失的动能;
(3)如果碰撞是弹性碰撞,求两物体碰撞后的速度大小.
答案 (1)0.1 m/s (2)0.135 J
(3)0.7 m/s 0.8 m/s

解析 (1)v10=50 cm/s=0.5 m/s,

v20=-100 cm/s=-1 m/s,
设两物体碰撞后粘合在一起的共同速度为                  v,

由动量守恒定律得        m1v10+m2v20=(m1+m2)v,
代入数据解得      v=-0.1 m/s,

负号表示方向与       v10 的方向相反.
(2)碰撞后两物体损失的动能为

     1   102  1   202  1           1            1
                                 2           2             2
ΔEk=2m1v    +2m2v    -2(m1+m2)v  =2×0.3×0.5   +2×0.2×(-1)   -
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 1
 2×(0.3+0.2)×(-0.1)2 J=0.135 J.
 (3)如果碰撞是弹性碰撞,

 设碰后两物体的速度分别为            v1、v2,
 由动量守恒定律得

 m1v10+m2v20=m1v1+m2v2,
 由机械能守恒定律得

 1  102   1   202  1      1

 2m1v   +2m2v    =2m1v21+2m2v2,

 代入数据得     v1=-0.7 m/s,v2=0.8 m/s.
 二、弹性正碰模型及拓展应用

 1.两质量分别为       m1、m2  的小球发生弹性正碰,v10≠0,v20=0,则碰后两球速
             m1-m2          2m1
               +             +
 度分别为    v1=m1  m2v10,v2=m1   m2v10.

 (1)若 m1=m2 的两球发生弹性正碰,v10≠0,v20=0,则碰后                v1=0,v2=v10,
 即二者碰后交换速度.

 (2)若 m1≫m2,v10≠0,v20=0,则二者弹性正碰后,                 v1=v10,v2=2v10.表明

 m1 的速度不变,m2     以  2v10 的速度被撞出去.

 (3)若 m1≪m2,v10≠0,v20=0,则二者弹性正碰后,v1=-v10,v2=0.表明

 m1 被反向以原速率弹回,而          m2 仍静止.
 2.如果两个相互作用的物体,满足动量守恒的条件,且相互作用过程初、末状
 态的总机械能不变,广义上也可以看成是弹性正碰.

 【例  2】 在光滑的水平面上,质量为               m1 的小球  A 以速度    v0 向右运动.在小球

 A 的正前方    O 点有一质量为      m2 的小球   B 处于静止状态,如图         1 所示.小球
A 与小球    B 发生正碰后小球       A、B  均向右运动.小球        B 被在   Q 点处的墙壁弹回
后与小球     A 在 P 点相遇,PQ=1.5      PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰

 撞都是弹性的,求两小球质量之比               m1∶m2.


                                 图  1
 答案 2∶1
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 解析 从两小球碰撞后到它们再次相遇,小球                    A 和 B 的速度大小保持不变.根
 据它们通过的路程,可知小球             B 和小球   A 在碰撞后的速度大小之比为            4∶1.设碰

 撞后小球    A 和 B 的速度分别为      v1 和 v2,在碰撞过程中动量守恒,碰撞前后动能
 相等

 m1v0=m1v1+m2v2
                                                                   ①
 1  02    1   12   1   22

 2m1v   =2m1v    +2m2v
                                                                   ②
     v2
 利用v1=4,

 解得:m1∶m2=2∶1.
 借题发挥 对于物理过程较复杂的问题,应注意将复杂过程分解为若干简单的
 过程(或阶段),判断在哪个过程中系统动量守恒,哪一个过程机械能守恒或不
 守恒,但能量守恒定律却对每一过程都适用.

 【例  3】 (多选)如图      2 所示,在光滑水平面上停放质量为               m 装有弧形槽的小

车.现有一质量也为          m 的小球以    v0 的水平速度沿切线水平的槽口向小车滑去
(不计摩擦),到达某一高度后,小球又返回小车右端,则(  )


                                 图  2
                                        v0
 A.小球在小车上到达最高点时的速度大小为                   2
 B.小球离车后,对地将向右做平抛运动
 C.小球离车后,对地将做平抛运动
                            1  02
 D.此过程中小球对车做的功为2mv
 答案 AD
 解析 小球到达最高点时,小车和小球相对静止,且水平方向总动量守恒,小
 球离开车时类似完全弹性碰撞,两者速度完成互换,故选项                          A、D  都是正确
 的.
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 三、碰撞需满足的三个条件

 1.动量守恒:即       p10+p20=p1+p2.

 2.动能不增加:即        Ek10+Ek20≥Ek1+Ek2
   102   202  12   22
   p    p    p    p
 或2m1+2m2≥2m1+2m2.
 3.速度要符合情景:碰撞后,原来在前面的物体的速度一定增大,且原来在前

 面的物体的速度大于或等于原来在后面的物体的速度,即                         v 前≥v 后.
 【例  4】 如图     3 所示质量相等的       A、B 两个球,原来在光滑水平面上沿同一直
 线相向做匀速直线运动,A           球的速度是      6 m/s,B 球的速度是-2       m/s,不久   A、
 B 两球发生了对心碰撞.对于该碰撞之后的                  A、B  两球的速度可能值,某实验小
组的同学们做了很多种猜测,下面的哪一种猜测结果一定无法实现的是(  )


                                 图  3

 A.vA′=-2 m/s,vB′=6 m/s

 B.vA′=2 m/s,vB′=2 m/s

 C.vA′=1 m/s,vB′=3 m/s

 D.vA′=-3 m/s,vB′=7 m/s
 答案 D
 解析 两球碰撞前后应满足动量守恒定律及碰后两球的动能之和不大于碰前两
 球的动能之和.即

 mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′①,

 1   A2   1   B2   1         1
                          2         2
 2mAv   +2mBv    ≥2mAvA′   +2mBvB′  ②,
 D 选项满足①式,但不满足②式,所以                 D 选项错误.
 借题发挥 处理碰撞问题的思路
 (1)对一个给定的碰撞,首先要看动量是否守恒,其次再看总机械能是否增加.
 (2)一个符合实际的碰撞,除动量守恒外还要满足能量守恒,同时注意碰后的速
 度关系.

                 p2
                          2mEk
 (3)要灵活运用    Ek=2m或   p=      关系式.
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                          碰撞特点及满足条件

 1.质量相等的      A、B  两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动,A                       球的
 动量是   7 kg·m/s,B  球的动量是     5  kg·m/s,A 球追上   B 球发生碰撞,则碰撞后
 A、B 两球的动量可能值是(  )

 A.pA=6 kg·m/s,pB=6 kg·m/s

 B.pA=3 kg·m/s,pB=9 kg·m/s

 C.pA=-2 kg·m/s,pB=14 kg·m/s

 D.pA=-4 kg·m/s,pB=17 kg·m/s
 答案 A

 解析 从碰撞前后动量守恒            pA0+pB0=pA+pB  验证,A、B、C       三种皆有可
                     A02   B02   A2   B2
                     p    p     p    p
 能.从总动能不增加即2mA+2mB≥2mA+2mB来看,只有                    A 可能.
                            弹性碰撞的特点

 2.(多选)甲物体在光滑水平面上运动速度为                 v1,与静止的乙物体相碰,碰撞过
程中无机械能损失,下列结论正确的是(  )

 A.乙的质量等于甲的质量时,碰撞后乙的速度为                     v1

 B.乙的质量远远小于甲的质量时,碰撞后乙的速率是                       2v1

 C.乙的质量远远大于甲的质量时,碰撞后甲的速率是                       2v1
 D.碰撞过程中甲对乙做的功大于乙动能的增量
 答案 AB
 解析 由于碰撞过程中无机械能损失,故是弹性碰撞,根据动量守恒和机械能
 守恒可以解得两球碰后的速度

      m1-m2
        +
 v1′=m1   m2v1,
        2m1
        +
 v2′=m1   m2v1.

 当 m1=m2  时,v2′=v1,A     对;

 当 m1≫m2  时,v2′=2v1,B     对;

 当 m1≪m2  时,v1′=-v1,C      错误;
 根据机械能守恒可知         D 错误.
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                          非弹性碰撞的特点

3.如图  4 所示,有两个质量相同的小球             A 和 B(大小不计),A     球用细绳吊起,细
绳长度等于悬点距地面的高度,B              球静止放于悬点正下方的地面上.现将                  A 球
拉到距地面高度为        h 处由静止释放,摆动到最低点与              B 球碰撞后粘在一起共同
上摆,则它们升起的最大高度为(  )


                                图  4

 h          h     h
A.2  B.h   C.4  D. 2
答案 C
解析 本题中的物理过程比较复杂,所以应将过程细化、分段处理.A                              球由释

                                                               1
放到最低点的过程做的是圆周运动,应用动能定理可求出末速度,mgh=2mv
12

              2gh
   ,所以   v1=    ,A  球对   B 球碰撞满足动量守恒         mv1=(m+m)v2,所以     v2=
1    2gh                                               1

2v1= 2 ;对   A、B  粘在一起共同上摆的过程应用机械能守恒,2(m+m)v22=
                       h
(m+m)gh′,整理得      h′=4.
4.冰球运动员甲的质量为           80 kg.当他以   5 m/s 的速度向前运动时,与另一质量
为 100 kg、速度为     3 m/s 的迎面而来的运动员乙相撞.碰后甲恰好静止.假设
碰撞时间极短,求:

(1)碰后乙的速度的大小;
(2)碰撞中总机械能的损失.
答案 (1)1.0 m/s (2)1 400 J

解析 (1)设运动员甲、乙的质量分别为               m 甲、m   乙,碰前速度大小分别为          v10、

v20,碰后乙的速度大小为         v2.由动量守恒定律有        m 甲 v10-m 乙 v20=m 乙 v2①

代入数据得     v2=1 m/s②
(2)设碰撞过程中总机械能的损失为             ΔE,应有
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 1    102  1     202  1    22

 2m 甲 v  +2m  乙 v   =2m  乙 v   +ΔE③
 联立②③式,代入数据得            ΔE=1 400 J

                            (时间:60   分钟)
 题组一 碰撞的特点及可能性分析

 1.关于碰撞的理解正确的是(  )
 A.碰撞是指相对运动的物体相遇时,在极短时间内它们的运动状态发生了显
 著变化的过程

 B.在碰撞现象中,一般内力都远大于外力,所以可以认为碰撞时系统的动能
 守恒

 C.如果碰撞过程中机械能守恒,这样的碰撞叫做非弹性碰撞
 D.微观粒子的相互作用由于不发生直接接触,所以不能称其为碰撞
 答案 A
 解析 碰撞是十分普遍的现象,它是相对运动的物体相遇时发生的一种现象,
 一般内力远大于外力.如果碰撞过程中机械能守恒,就叫做弹性碰撞.微观粒
 子的相互作用同样具有短时间内发生强大内力作用的特点,所以仍然是碰撞.

 2.在一条直线上相向运动的甲、乙两个小球,它们的动能相等,已知甲球的质
 量大于乙球的质量,它们正碰后可能发生的情况是(  )
 A.甲、乙两球都沿乙球的运动方向
 B.甲球反向运动,乙球停下
 C.甲、乙两球都反向运动
 D.甲、乙两球都反向运动,且动能仍相等
 答案 C

          2
 解析 由    p =2mEk 知,甲球的动量大于乙球的动量,所以总动量的方向应为甲
球的初动量的方向,可以判断              C 正确.

 3.(多选)质量为     m 的小球    A 在光滑的水平面上以速度           v 与静止在光滑水平面上

                                                          1
 的质量为    2m 的小球   B 发生正碰,碰撞后,A          球的动能变为原来的9,那么碰撞
 后 B 球的速度大小可能是(  )
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  1                                   2
 A.3v                                B.3v
  4                                   8
 C.9v                                D.9v
 答案 AB
                                     1  A2    1 1            1
                                                    2
 解析 设    A 球碰后的速度为       vA,由题意有2mv         =9×2mv  ,则   vA=3v,碰后
                                             1                   1

 A 的速度有两种可能,因此由动量守恒有                 mv=m×3v+2mvB    或  mv=-m×3v+
               1   2

 2mvB,解得   vB=3v 或3v.
 4.(多选)两个小球      A、B  在光滑的水平地面上相向运动,已知它们的质量分别

 是 mA=4 kg,mB=2 kg,A    的速度    vA=3 m/s,B  的速度   vB=-3 m/s,则它们发
 生正碰后,其速度可能分别为(  )
 A.均为   1 m/s                        B.4 m/s 和-5 m/s
 C.2 m/s 和-1 m/s                    D.-1 m/s   和 5 m/s
 答案 AD

 解析 由动量守恒,可验证四个选项都满足要求.再看动能变化情况:Ek                               前=

 1   A2   1   B2

 2mAv   +2mBv    =27 J
      1         1
             2         2
 Ek 后=2mAvA′  +2mBvB′

 由于碰撞过程中动能不可能增加,所以应有                   Ek 前≥Ek 后,据此可排除       B;选项

 C 虽满足   Ek 前≥Ek 后,但  A、B  沿同一直线相向运动,发生碰撞后各自仍然保持
原来的速度方向,这显然是不符合实际的,因此                      C 选项错误.验证       A、D   均满

足  Ek 前≥Ek 后,且碰后状态符合实际,故正确选项为                  A、D.
 题组二 碰撞模型的处理

 5.科学家试图模拟宇宙大爆炸初的情景.他们使两个带正电的不同重离子被加
 速后,沿同一条直线相向运动而发生猛烈碰撞.为了使碰撞前的动能尽可能多

 地转化为内能,关键是设法使这两个重离子在碰撞前的瞬间具有相同大小的(  )
 A.速度                                B.质量
 C.动量                                D.动能
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 答案 C
 解析 碰撞后粘在一起时动能损失最大,故碰前动量等大反向时,碰后粘在一
 起时系统静止,动能全部损失掉,故选                 C.

 6.小车  AB 静置于光滑的水平面上,A           端固定一个轻质弹簧,B           端粘有橡皮泥,
AB 车质量为     M,长为    L.质量为   m 的木块    C 放在小车上,用细绳连结于小车的
A 端并使弹簧压缩,开始时            AB 与 C 都处于静止状态,如图          1 所示.当突然烧
断细绳,弹簧被释放,使木块              C 向 B 端冲去,并跟       B 端橡皮泥粘在一起,以下
说法中不正确的是(  )


                                 图  1
 A.如果   AB 车内表面光滑,整个系统任何时刻机械能都守恒
 B.整个系统任何时刻动量都守恒
                                                m
 C.当木块对地运动速度为           v 时,小车对地运动速度为Mv
 D.整个系统最后静止
 答案 A

 7.在光滑的水平面上有         a、b 两球,其质量分别为          ma、mb,两球在     t0 时刻发生
 正碰,并且在碰撞过程中无机械能损失,两球在碰撞前后的速度-时间图象如

 图 2 所示,下列关系式正确的是(  )


                                 图  2

 A.ma>mb                             B.maμ>18gs
 解析 设    A、B  质量均为    m,它们与地面间的动摩擦因数为               μ,若   A 能与  B 相

         1  02
碰,则有2mv        -μmgs>0

 设 A 与 B 碰前速度为     v1,碰后速度为       v2,则由动能定理:
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

      1  02   1   12
μmgs=2mv    -2mv

由动量守恒定律:mv1=2mv2
A、B 粘在一起不落入坑中的条件为

1     22
2×2mv    <μ·2mg·2s
          02    02
          v     v
联立并解得2gs>μ>18gs.
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