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2017-2018物理教科版必修1教学案:第三章 第5节 牛顿运动定律的应用

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                         第 5 节         牛顿运动定律的应用


                                 1.如果已知物体的受力情况,可以由牛顿第二定
                                      律求出物体的加速度,再通过运动学公式确定
                                      物体的运动情况。

                                    2.如果已知物体的运动情况,根据运动学公式
求
                                       出物体的加速度,再根据牛顿第二定律确定
物
                                       体所受的力。

                                   3.加速度是联系运动学公式和牛顿第二定律的
                                       桥梁。


    一、牛顿第二定律的作用
    牛顿第二定律给出了质量、力及加速度三者之间的定量关系。我们可由这个关系式利
用一些已知物理量求得未知的物理量。
    二、动力学的两类基本问题

    1.从受力情况确定运动情况
    如果已知物体的受力情况,可以由牛顿第二定律求出物体的加速度,再通过运动学的
规律确定物体的运动情况。

    2.从运动情况确定受力情况
    如果已知物体的运动情况,根据运动学公式求出物体的加速度,再根据牛顿第二定律
确定物体所受的力。

    3.解决动力学问题的关键
    对物体进行正确的受力分析和运动情况分析,并抓住受力情况和运动情况之间联系的
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桥梁——加速度。


    1.自主思考——判一判
    (1)根据物体加速度的方向可以判断物体所受合外力的方向。(√)
    (2)根据物体加速度的方向可以判断物体受到的每个力的方向。(×)
    (3)物体运动状态的变化情况是由它的受力决定的。(√)
    (4)物体运动状态的变化情况是由它对其他物体的施力情况决定的。(×)
    (5)物体的运动情况仅由物体所受的合力所决定的。(×)
    2.合作探究——议一议
    (1)求物体的加速度有哪些途径?
    [提示] 途径一:由运动学的关系(包括运动公式和运动图像),通过初速度、末速度、
位移、时间等物理量求加速度;途径二:根据牛顿第二定律列方程求解加速度。

    (2)如图  3­5­1 所示为某次真空实验中用频闪照相机拍摄到的金属球与羽毛在真空中下
落时的照片,由照片可以看出,在真空中金属球与羽毛的下落运动是同步的,即它们有相
同的加速度。


                                     图  3­5­1
    问题:根据牛顿第二定律,物体的加速度与其质量成反比,羽毛与金属球具有不同质
量,为何它们的加速度相同呢?
    [提示] 牛顿第二定律中物体的加速度与其质量成反比的前提是合力不变。本问题真
                                                      F
空中羽毛及金属球都是只受重力作用,故根据牛顿第二定律                         a=m知,它们的加速度均为自
由落体加速度      g。


                                   由物体的受力情况分析运动情况
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    1.解题思路


    2.解题的一般步骤


    [典例] 如图     3­5­2 所示,质量为    2   kg 的物体静止放在水平地面上,已知物体与水平
地面间的动摩擦因数为          0.2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,现给物体施加一个与水平面成
37°角的斜向上的拉力        F=5 N  的作用。(取    g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:


                                     图  3­5­2
    (1)物体与地面间的摩擦力大小;
    (2)5 s 内的位移大小。
    [审题指导] 物体沿水平面做匀加速直线运动,加速度在水平方向上,建立坐标系时把
其中的一条坐标轴建在水平方向上。

    [解析] 对物体受力分析如图所示,建立直角坐标系并分解
F。
    (1)在 y 轴方向有:N+Fsin         37°=mg,代入数据解得        N=17 
N,物体与地面间的摩擦力大小为              f=μN=0.2×17 N=3.4 N。
    (2)水平方向,由牛顿第二定律
    Fcos 37°-f=ma
    得 a=0.3 m/s2
                     1    1
    5 s 内的位移为:x=2at2=2×0.3×52 m=3.75 m。
    [答案] (1)3.4 N (2)3.75 m
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    若物体受两个力作用,用合成法求加速度往往要简便一些;若物体受三个或三个以上

的力作用时,一般要用正交分解法求加速度。     


    1.如图  3­5­3 所示,ad、bd、cd    是竖直面内三根固定的光滑细杆,每根杆上套着一个

小滑环(图中未画出),三个滑环分别从               a、b、c  处释放(初速度为       0),用  t1、t2、t3 依次表示
各滑环到达     d 处所用的时间,则(  )


                                     图  3­5­3

    A.t1<t2<t3                      B.t1>t2>t3

    C.t3>t1>t2                       D.t1=t2=t3
    解析:选    D 小滑环下滑过程中受重力和杆的弹力作用,下滑的加速度可认为是由重
力沿细杆方向的分力产生的,设细杆与竖直方向夹角为                       θ,由牛顿第二定律知
    mgcos θ=ma①
    设圆心为    O,半径为     R,由几何关系得,滑环由开始运动至                d 点的位移为     x=2Rcos 

θ②
                     1
    由运动学公式得       x=2at2③
                          R
    由①②③联立解得         t=2  g。

    小滑环下滑的时间与细杆的倾斜情况无关,故                   t1=t2=t3。
    2.如图   3­5­4 所示,ACD   是一滑雪场示意图,其中           AC 是长   L=8   m、倾角   θ=37°的
斜坡,CD    段是与斜坡平滑连接的水平面。人从                A 点由静止下滑,经过         C 点时速度大小不
变,又在水平面上滑行一段距离后停下。人与接触面间的动摩擦因数均为                               μ=0.25,不计
空气阻力,(取      g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:


                                     图  3­5­4
    (1)人从斜坡顶端     A 滑至底端     C 所用的时间;
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    (2)人在离   C 点多远处停下?
    解析:(1)人在斜坡上下滑时,受力如图所示。
    设人沿斜坡下滑的加速度为            a,沿斜坡方向,由牛顿第二定律得
    mgsin θ-f=ma
    f=μN
    垂直于斜坡方向有
    N-mgcos θ=0
                         1
    由匀变速运动规律得         L=2at2
    联立以上各式得       a=gsin θ-μgcos θ=4 m/s2
    t=2 s。

    (2)人在水平面上滑行时,水平方向只受到地面的摩擦力作用。设在水平面上人减速运
动的加速度为      a′,由牛顿第二定律得          μmg=ma′

    设人到达    C 处的速度为     vt,则由匀变速直线运动规律得

                           2
    人在斜面上下滑的过程:vt           =2aL

                            2
    人在水平面上滑行时:0-vt           =-2a′x
    联立以上各式解得        x=12.8 m。

    答案:(1)2 s (2)12.8 m

                                   由物体的运动情况分析受力情况


    1.解题思路


    2.解题的一般步骤
    (1)确定研究对象,对研究对象进行受力分析和运动过程分析,并画出受力图和运动草
图。

    (2)选择合适的运动学公式,求出物体的加速度。
    (3)根据牛顿第二定律列方程,求物体所受的合外力。
    (4)根据力的合成与分解的方法,由合力求出所需求的力。
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    [典例] 如图     3­5­5 甲所示,质量    m=4   kg 的物体在水平面上向右做直线运动。过                a 点
时给物体作用一个水平向左的恒力               F 并开始计时,选水平向右为速度的正方向,通过速度

传感器测出物体的瞬时速度,所得               v­t 图像如图乙所示。(取重力加速度为             10 m/s2)求:


                                     图  3­5­5
    (1)8 s 末物体离  a 点的距离;
    (2)力 F 的大小和物体与水平面间的动摩擦因数                μ。
    [审题指导]
    (1)从图像可知物体的运动情况。
    (2)从图像求出物体运动的加速度;利用牛顿第二定律可求出相应的合外力。

    [解析] (1)设   8  s 末物体离   a 点的距离为     s,s 应为  v­t 图与横轴所围的面积,则:s=
1          1
2×4×8 m-2×4×4 m=8 m,故物体在           a 点右侧   8 m 处。

                                                                 2
    (2)设物体向右做匀减速直线运动的加速度为                 a1,则由   v­t 图得 a1=2 m/s ①

    根据牛顿第二定律,有          F+μmg=ma1②

                                                               2
    设物体向左做匀加速直线运动的加速度为                  a2,则由  v­t 图得  a2=1 m/s ③

    根据牛顿第二定律,有          F-μmg=ma2④
    解①②③④得:F=6 N,μ=0.05。

    [答案] (1)在   a 点右侧   8 m 处 (2)6 N 0.05

                         从运动情况确定受力情况的注意事项
    (1)由运动学规律求加速度,要特别注意加速度的方向,从而确定合外力的方向,不能
将速度的方向和加速度的方向混淆。
    (2)题目中所求的力可能是合力,也可能是某一特定的力,均要先求出合力的大小、方
向,再根据力的合成与分解求分力。     


    1.质量为    0.8  kg 的物体在一水平面上运动,如图             3­5­6 中 a、b 分别表示物体不受拉

力作用和受到水平拉力作用时的              v­t 图像,则拉力和摩擦力之比为(  )
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                                     图  3­5­6
    A.9∶8                           B.3∶2
    C.2∶1                            D.4∶3

    解析:选    B 由   v­t 图像可知,图线     a 为仅受摩擦力的运动,加速度大小               a1=1.5 

   2                                                                 2
m/s ,摩擦力大小      f=ma1=0.8×1.5 N=1.2  N;图线   b 的加速度大小      a2=0.75 m/s ,由牛顿

第二定律有     F-f=ma2,F=f+ma2=1.2       N+0.8×0.75  N=1.8 N,则   F∶f=3∶2,选项   B 正
确。

    2.民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口,发生意外情况的飞机着陆后,
打开紧急出口的舱门,会自动生成一个由气囊组成的斜面,机舱中的乘客就可以沿斜面迅

速滑行到地面上来。若某型号的客机紧急出口离地面高度为                         4.0  m,构成斜面的气囊长度
为  5.0 m。要求紧急疏散时,乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过                            2.0 s(g 取 10 
m/s2),则:
    (1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大?
    (2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多大?
    解析:(1)由题意可知,h=4.0 m,L=5.0 m,t=2.0 s。
                            h
    设斜面倾角为      θ,则   sin θ=L。
                               1
    乘客沿气囊下滑过程中,由            L=2at2 得
       2L
    a= t2 ,代入数据得     a=2.5 m/s2。


    (2)在乘客下滑过程中,对乘客受力分析如图所示,沿                     x 轴方向有
    mgsin θ-f=ma,
                                                        gsin θ-a
    沿 y 轴方向有    N-mgcos θ=0,又    f=μN,联立方程解得        μ=   gcos θ ≈0.92。
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    答案:(1)2.5 m/s2 (2)0.92

                                       动力学中的连接体问题


    1.连接体
    两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体。如几个物体
叠放在一起,或并排挤放在一起,或用绳子、细杆等连在一起。

    2.处理连接体问题的方法
    (1)整体法:把整个系统作为一个研究对象来分析的方法。不必考虑系统内力的影响,
只考虑系统受到的外力。
    (2)隔离法:把系统中的各个部分(或某一部分)隔离,作为一个单独的研究对象来分析
的方法。此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力,在分析时要特别注意。
    整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来联合、交叉运用,这将
会更快捷有效。


    [典例] 如图     3­5­7 所示,一辆汽车     A 拉着装有集装箱的拖车          B,以速度     v1=30m/s 进
入向下倾斜的直车道。车道每             100 m 下降  2 m。为使汽车速度在         x=200  m 的距离内减到

v2=10   m/s,驾驶员必须刹车。假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力,且该力的                           70%作用于

拖车   B,30%作用于汽车     A。已知    A 的质量   m1=2  000 kg,B 的质量    m2=6  000 kg。求汽车
与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力大小。(重力加速度                         g 取 10 m/s2)


                                     图  3­5­7
    [审题指导] 本题求的是汽车对拖车的力,属于汽车、拖车系统的内力,因此思路是先
采用整体法求加速度         a,再用隔离法分析内力。

                                                                2   2
    [解析] 汽车沿倾斜车道做匀减速运动,用                 a 表示加速度的大小,有         v2 -v1 =-
2ax①
    用 F 表示刹车时的阻力,根据牛顿第二定律有

    F-(m1+m2)gsin α=(m1+m2)a②
               2
    式中  sinα=100=2×10-2③
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                                                        30

    设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为                 F1,根据题意有      F1=100F④
    方向与汽车前进方向相反,用             N 表示拖车作用于汽车的力,设其方向与汽车前进方向

相同。以汽车为研究对象,由牛顿第二定律有                    F1-N-m1gsin α=m1a⑤

    由②④⑤式得
        30

    N=100(m1+m2)(a+gsin α)-m1(a+gsin α)⑥
    由以上各式,代入有关数据得             N=880 N。

    [答案] 880 N

    整体法主要适用于各物体的加速度相同,不需要求内力的情况;隔离法对系统中各部
分物体的加速度相同或不相同的情况均适用,而求系统内物体间的相互作用力时,一定要
用隔离法。    


    1.如图   3­5­8 所示,50  个大小相同、质量均为          m 的小物块,在平行于斜面向上的恒
力  F 作用下一起沿斜面向上运动。已知斜面足够长,倾角为                       30°,各物块与斜面间的动摩
擦因数相同,重力加速度为            g,则第   3 个小物块对第      2 个小物块的作用力大小为(  )


                                     图  3­5­8
      1
    A.25F
      24
    B.25F
              F
    C.24mg+2
    D.因为动摩擦因数未知,所以不能确定
    解析:选    B 将   50 个小物块看作一个整体,根据牛顿第二定律,整体的加速度                        a=
F-50mgsin 30°-50 μmgcos 30°  F
           50m            =50m-gsin   30°-μgcos 30°。对  1、2  两个物块分析有       F-
                                          24
2mgsin 30°-μ×2mgcos 30°-N=2ma,解得       N=25F,B   正确。
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    2.如图   3­5­9 所示,两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块,质量分别为                          m1 和

m2。拉力    F1 和 F2 方向相反,与轻线沿同一水平直线,且               F1>F2。试求在两个物块运动过
程中轻线的拉力       T 的大小。


                                     图  3­5­9
    解析:以两物块整体为研究对象,根据牛顿第二定律得

    F1-F2=(m1+m2)a①

    隔离物块    m1,由牛顿第二定律得

    F1-T=m1a②
                      m1F2+m2F1
    由①②两式解得        T=   m1+m2    。
          m1F2+m2F1
    答案:     m1+m2


    1.假设汽车突然紧急制动后所受到的阻力的大小与汽车所受的重力的大小差不多,当
汽车以   20 m/s 的速度行驶时突然制动,它还能继续滑动的距离约为(  )
    A.40 m                          B.20 m
    C.10 m                           D.5 m
                  f  mg                            v2   202
    解析:选    B a=m=    m =g=10 m/s2,由   v2=2ax 得  x=2a=2  × 10 m=20 m,B  对。
    2.质量为    1 kg 的物体,受水平恒力作用,由静止开始在光滑的水平面上做加速运动,
它在   t s 内的位移为   x m,则  F 的大小为(  )
      2x                              2x
    A.t2                           B.2t-1
       2x                             2x
    C.2t+1                         D.t-1
                     1         2x                                          2x
    解析:选    A 由   x=2at2 得:a=t2     m/s2,对物体由牛顿第二定律得:F=ma=1×t2 
    2x
N=t2 N,故    A 正确。
    3.一物体在多个力的作用下处于静止状态,如果仅使其中某个力的大小逐渐减小到零,
然后又逐渐从零恢复到原来大小(在上述过程中,此力的方向一直保持不变),那么如图所
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示的   v­t 图像中,符合此过程中物体运动情况的图像可能是(  )


    解析:选    D 其中的一个力逐渐减小到零的过程中,物体受到的合力逐渐增大,则其
加速度逐渐增大,速度时间图像中图像的斜率表示加速度,所以在力逐渐减小到零的过程
中图像的斜率逐渐增大,当这个力又从零恢复到原来大小时,合力逐渐减小,加速度逐渐
减小,图像的斜率逐渐减小,故              D 正确。

    4.一条不可伸长的轻绳跨过质量可忽略不计的定滑轮,绳的一端系一质量                             m=15   kg 的
重物,重物静止于地面上,有一质量                m′=10    kg 的猴子,从绳子的另一端沿绳向上爬,
如图   1 所示,不计滑轮与绳子间的摩擦,在重物不离开地面的条件下,猴子向上爬的最大
加速度为(g    取 10 m/s2)(  )


                                       图 1
    A.25 m/s2                        B.5 m/s2
    C.10 m/s2                        D.15 m/s2
    解析:选    B 重物不离开地面,绳对猴子的最大拉力为                   F=mg=150   N,对猴子应用牛
顿第二定律得
    F-m′g=m′a
    所以  a 的最大值为     a=5 m/s2。

    5.如图  2 所示,在光滑地面上,水平外力             F 拉动小车和木块一起做无相对滑动的加速
运动。小车质量是        M,木块质量是       m,外力大小是       F,木块和小车之间动摩擦因数是              μ,
则在这个过程中,木块受到的摩擦力大小是(  )


                                       图 2
                                      mF
    A.μmg                          B.M+m
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                                      MF
    C.μ(M+m)g                      D.M+m
    解析:选    B 对   m 和 M 整体,由牛顿第二定律:
    F=(M+m)a①
    对 m:f=ma②
                   m
    由①②得:f=M+mF,故           B 正确。
    6. (多选)如图   3 所示,质量为     m=1   kg 的物体与水平地面之间的动摩擦因数为                0.3,当
物体运动的速度为        10 m/s 时,给物体施加一个与速度方向相反的大小为                   F=2  N 的恒力,
在此恒力作用下(取        g=10 m/s2)(  )


                                       图 3
    A.物体经     10 s 速度减为零
    B.物体经     2 s 速度减为零
    C.物体速度减为零后将保持静止
    D.物体速度减为零后将向右运动
    解析:选    BC 物体受到向右的恒力和滑动摩擦力的作用,做匀减速直线运动。滑动摩
                                 F+f
擦力大小为     f=μN=μmg=3 N,故      a=  m  =5 m/s2,方向向右,物体减速到          0 所需时间为
   v0
t= a =2  s,故  B 正确,A    错误。减速到零后        F<f,物体处于静止状态,故            C 正确,D   错
误。


    7. (多选)如图    4 所示,质量为     m 的球与弹簧Ⅰ和水平细线Ⅱ相连,Ⅰ、Ⅱ的另一端分

别固定于    P、Q  两点。球静止时,Ⅰ中拉力大小为               T1,Ⅱ中拉力大小为        T2,当仅剪断Ⅰ、
Ⅱ中的一根的瞬间,球的加速度              a 应是(  )


                                       图 4
    A.若断Ⅰ,则       a=g,方向竖直向下
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                    T2
    B.若断Ⅱ,则       a= m ,方向水平向左
                     T2
    C.若断Ⅰ,则       a= m ,方向沿Ⅰ的延长线
    D.若断Ⅱ,则       a=g,方向竖直向上
    解析:选    AB 若断Ⅰ,则水平细线Ⅱ中的拉力突变为                0,则加速度      a=g,方向竖直向
下,A   正确、C    错误;若断Ⅱ,则弹簧Ⅰ中的拉力还没有来得及变化,与小球的重力的合力
                                       T2

大小为   T2,方向为水平向左,所以加速度              a= m ,方向水平向左,B        正确、D    错误。
    8.某消防队员从一平台上跳下,下落                2  m 后双脚触地,接着他用双腿弯曲的方法缓
冲,使自身重心又下降了           0.5 m,在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为(  )
    A.自身所受重力的         2 倍
    B.自身所受重力的        5 倍
    C.自身所受重力的         8 倍
    D.自身所受重力的         10 倍

                                    2
    解析:选    B 由自由落体规律可知:vt           =2gH

                   2
    缓冲减速过程:vt       =2ah
    由牛顿第二定律列方程          N-mg=ma
                  H
    解得  N=mg(1+h)=5mg,故       B 正确。


    9. (多选)如图   5 所示,置于水平地面上的相同材料的质量分别为                   m 和  m0 的两物体用细

绳连接,在     m0 上施加一水平恒力        F,使两物体做匀加速直线运动,对两物体间细绳上的拉
力,下列说法正确的是(  )


                                       图 5
                                    mF
    A.地面光滑时,绳子拉力大小等于m0+m
                                      mF
    B.地面不光滑时,绳子拉力大小等于m0+m
                                  mF
    C.地面不光滑时,绳子拉力大于m0+m
                                  mF
    D.地面不光滑时,绳子拉力小于m0+m
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    解析:选    AB 地面光滑时,将两物体看做一个整体,则由牛顿第二定律可得:F=
                                              Fm
                                              +
(m+m0)a,对   m 分析可得:T=ma,联立解得:T=m                m0;当地面不光滑时,将两者看

做一个整体,可得        F-μ(m+m0)g=(m+m0)a,对       m 分析可得:T-μmg=ma,联立可得
     Fm
T=m+m0,故     A、B  正确。
    10.(多选)(2015·全国卷Ⅰ)如图       6(a)所示,一物块在      t=0 时刻滑上一固定斜面,其运

动的   v­t 图线如图(b)所示。若重力加速度及图中的              v0、v1、t1 均为已知量,则可求出(  )


                                       图 6
    A.斜面的倾角
    B.物块的质量
    C.物块与斜面间的动摩擦因数
    D.物块沿斜面向上滑行的最大高度
                                                             v0

    解析:选    ACD 由题图(b)可以求出物块上升过程中的加速度为                    a1=t1,下降过程中的
            v1

加速度为    a2=t1。物块在上升和下降过程中,由牛顿第二定律得                     mgsin  θ+f=ma1,mgsin 
                                   v0+v1                mv0-v1

θ-f=ma2,由以上各式可求得           sin   θ=  2t1g ,滑动摩擦力     f=     2t1   ,而  f=μN=
μmgcos θ,由以上分析可知,选项           A、C  正确。由    v­t 图像中横轴上方的面积可求出物块沿
斜面上滑的最大距离,可以求出物块沿斜面向上滑行的最大高度,选项                              D 正确。

    11.航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器,其质量                    m=2    kg,动力系统提供的恒定升
力  F=28   N。试飞时,飞行器从地面由静止开始竖直上升,设飞行器飞行时所受的阻力大
小不变,g    取  10 m/s2,飞行器飞行     t=8 s 时到达高度    H=64 m,求:
    (1)飞行器匀加速上升的加速度           a 的大小;

    (2)t=8 s 时飞行器的速度      v 的大小;
    (3)飞行器所受阻力      f 的大小。
                                               1                      2H
    解析:(1)由匀变速直线运动的位移公式可得:H=2at2,飞行器的加速度:a=                            t2 =
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2 × 64
  82  m/s2=2 m/s2;
    (2)飞行器的速度:v=at=2×8 m/s=16 m/s;
    (3)由牛顿第二定律得:F-mg-f=ma,解得:f=F-m(g+a)=28                       N-2×(10+2) 
N=4 N。

    答案:(1)2 m/s2 (2)16 m/s (3)4 N
    12.质量为   2 kg 的物体在水平推力        F 的作用下沿水平面做直线运动,一段时间后撤去

F,其运动的      v­t 图像如图   7 所示,g  取  10 m/s2,求:


                                       图 7
    (1)物体与水平面间的动摩擦因数            μ;
    (2)水平推力    F 的大小;
    (3)0~10 s 内物体运动位移的大小。

    解析:(1)设物体做匀减速直线运动的时间为                 Δt2、初速度为    v20、末速度为     v2t、加速度

为  a2,则
        v2t-v20

                       2
    a2=   Δt2  =-2 m/s  ①

    设物体所受的摩擦力为          f,根据牛顿第二定律,有           f=ma2②
    f=-μmg③
    联立解得    μ=0.2。

    (2)设物体做匀加速直线运动的时间为              Δt1,初速度为     v10、末速度为    v1t、加速度为    a1,
    v1t-v10

                 2
a1=   Δt1  =1 m/s

    根据牛顿第二定律,有:F-f=ma1
    F=6 N。
    (3)由匀变速直线运动位移公式,得
                     1             1

                          2             2
    x=x1+x2=v10Δt1+2a1Δt1 +v20Δt2+2a2Δt2 =46 m。
    答案:(1)0.2 (2)6 N (3)46 m
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