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2017-2018学年同步备课教科版选修3-4 第一章 3.简谐运动的图像和公式

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第一章       3 简谐运动的图像和公式
学习目标
1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.
2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅,并能分析有关问题.
3.理解简谐运动的表达式,能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相
位、初相等相关信息.
内容索引


  知识探究              题型探究                达标检测
知识探究
一、简谐运动的图像
 导学探究
1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x-t图像
:
如图1所示,取一张白纸,在正中间画一条直
线OO′,将白纸平铺在桌面上,甲同学用手                           图1
使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线
(1),乙同学沿白纸不动时,甲同学画出的轨迹是怎样的?O′O方向水平向右匀速拖动白纸.
答案 是一条垂直于OO′的直线.

                                                        答案
(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时,甲同学画出的轨迹又是怎样的?
答案 轨迹如图所示,类似于正弦曲线.


                                                        答案
(3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线,沿O′O与垂直O′O方向分别建立
坐标轴,说说两坐标轴可表示什么物理量?图线上点的坐标表示什么物
理意义?
答案    垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点,也可以
说是位移坐标轴),沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某
时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置.


                                                        答案
2.绘制简谐运动的x-t图像
如图2所示,使漏斗在竖直平面内做小角度摆动,并垂直于摆动平面匀速
拉动薄板,则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点,
沿着振动方向建立x轴,垂直于振动方向建立t轴,则这些曲线就是漏斗的
位移—时间图像.


                            图2
(1)为什么这就是漏斗的位移—时间图像?

答案 当单摆摆动时,薄板从左向右匀速运动,所以薄板运动的距离与
时间成正比,因此可用薄板运动的距离代表时间轴,图像上每一个点的
位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移,即位移随时间变化
的规律.

(2)位移—时间图像与什么函数图像类似?

答案 与正弦(或余弦)函数图像类似.


                                                        答案
知识梳理
对简谐运动图像的理解
1.图像的建立
以横轴表示做简谐运动的物体的运动 时间      t,纵轴表示做简谐运动的物体运
动过程中相对平衡位置的  位移        x  .
2.图像的特点
一条 正弦         (或 余弦        )曲线,如图3所示.


                                        图3
3.图像的应用

(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图3所示,对应t1、t2时刻的位移分

别为x1=7cm,x2=-5cm.
(2)确定振动的振幅.由图可知,振动的振幅是10cm.
(3)确定振动的周期和频率.由图可知,T=0.2s,频率f=  =5Hz.


                            图3
(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻,质点正远离平衡位置向正

方向运动;在t3时刻,质点正向着平衡位置运动.

(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为

正,则加速度a1为负,t2时刻质点位移x2为负,则加速度a2为正,又因为

|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|.
即学即用

关于简谐运动的振动图像,判断下列说法的正误.
(1)图像表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线.                           × (       
)                                                  √
(2)由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向.                            √(       
)
(3)由图像可判断任一时刻质点的速度方向和加速度方向.           √ (       
)                                                  √
(4)由图像可以比较质点在不同时刻的速度大小、位移大小和加速度
大小.                                                                                                    (       
)
(5)由图像可知质点在平衡位置处速度最大.                                    (       
)
二、简谐运动的表达式及相位差 

·· 导学探究
1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度,然后同时释放.两个单
摆的振动有什么特点?它们的相位差是多大?
答案 它们同时到达同侧的最大位移处,也同时到达平衡位置,它们总
是“步调一致”,相位相同,相位差为0.

2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度,然后同时释放,
观察两个单摆的振动有什么特点?它们的相位差是多大?
答案 它们各时刻的位移总是相反,相位差为π.

                                                        答案
3.图4是弹簧振子做简谐运动的x-t图像,它是一条正弦曲线,请根据数
学知识写出此图像的函数表达式,并说明各量的物理意义.


                           图4


                                                       答案
知识梳理
对表达式x=Asin (ωt+φ)的理解
1.式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;t表示振动的时间.
2.A表示_____.振幅


                       2πf
4.ωt+φ代表简谐运动的相位;其中φ是t=0时的相位,称为初相位或初相.
相位是一个角度,单位是 弧度        或_____.度
5.相位差

若两个简谐运动的表达式为x1=A1sin          (ωt+φ1),x2=A2sin (ωt+φ2),则相

位差为Δφ= ( ωt    +    φ  2  ) -    ( ωt    +    φ   1 ) =  φ  2 -    φ   1 .
当Δφ=  0   时,两振动质点振动步调一致.
当Δφ=  π   时,两振动质点振动步调完全相反.
即学即用


                                                   √


                                                   ×
                           2∶1                 2b

2b        滞后                         π
题型探究
一、对简谐运动图像的理解

1.简谐运动的图像不是振动质点的运动轨迹.
2.分析图像问题时,要把图像与物体的振动过程联系起来.
(1)图像上的一个点表示振动中的一个状态.
(2)图像上的一段图线对应振动的一个过程.
 例1  如图5所示,为某一弹簧振子简谐运动
 的图像,则
 A.振动的振幅为6 m
 B.振动的周期为6 s
√C.t=1.5 s时和t=2.5 s时,振子的速度相同                  图5
 D.t=2.5 s时,振子的加速度正在减小,沿x轴的负方向


                                                   解析   答案
解析 由图知,振子运动的周期为T=4 s;振幅是振子离开平衡位置的最
大距离,由图知,振幅A=3 cm,故A、B错误;
在t=1.5 s时和t=2.5 s时,据图可知,振子关于平衡位置对称,所以两时
刻速度大小相等,方向相同,沿x轴的负方向,故C正确;
在第2.5 s时,振子正远离平衡位置,位移增大,其加速度增大,故D错误.
 针对训练1      如图6甲所示,水平的光滑杆上有一弹簧振子,振子以O点
 为平衡位置,在a、b两点之间做简谐运动(以向右为正方向),其振动图
 像如图乙所示.由振动图像可以得知


                            图6

 A.振子的振动周期等于t1
 B.在t=0时刻,振子的位置在a点

 C.在t=t1时刻,振子的速度为零

 D.从t1到t2,振子正从O点向b点运动
√                                                  解析   答案
解析     振子的周期是振子完成一个周期性变化所用的时间,由图直接读

出其周期T=2t1,故A错误;
由图乙知在t=0时刻,振子的位移为零,正通过平衡位置,所以振子的位
置在O点,故B错误;

在t=t1时刻,振子的位移为零,正通过平衡位置,速度最大,故C错误;

从t1到t2,振子的位移从0变化到正向最大,说明振子正从O点向b点运动
,故D正确.
二、对简谐运动的表达式的理解


                                           解析  答案
答案    π


                                                  解析   答案
 A.它们的振幅相同                         √ B.它们的周期相同
√C.它们的相位差恒定                         D.它们的振动步调一致


                                                    解析   答案

达标检测
 1.(多选)如图7表示某质点简谐运动的图像,以下说法正确的是

 A.t1、t2时刻的速度相同
 B.从t 到t 这段时间内,速度与位移同向
√    1  2
 C.从t 到t 这段时间内,速度变大,位移变小
√    2  3

 D.t1、t3时刻的回复力方向相反
                                                 图7


     1 2  3 4                                       解析   答案
解析 t1时刻振子速度最大,t2时刻振子速度为零,故A不正确;

t1到t2这段时间内,质点远离平衡位置,故速度、位移均背离平衡位置,
所以二者方向相同,则B正确;

在t2到t3这段时间内,质点向平衡位置运动,速度在增大,而位移在减小
,故C正确;

t1和t3时刻质点在平衡位置,回复力为零,故D错误.


   1 2  3 4
2.装有砂粒的试管竖直静浮于水面,如图8所示,将试管竖直提起少许,然
后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动.
若取竖直向上为正方向,则以下描述试管振动的图像中可能正确的是


                                                 图8

                             √
    1 2  3 4                                       解析   答案
解析     试管在竖直方向上做简谐运动,平衡位置是在重力与浮力相等的
位置,开始计时时向上提起的距离,就是其偏离平衡位置的位移,为正
向最大位移,因此应选D.


   1 2  3 4
 3.(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin (2.5πt),位
 移x的单位为m,时间t的单位为s.则


√
√


     1 2  3 4                                       解析   答案
1   2   3   4
4.根据如图9所示的某振子的振动图像,完成下
列各题:
(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移.

①t1=0.5s;      ②t2=1.5s.
                                              图9


   1 2  3 4                                       解析   答案
(2)将位移随时间的变化规律写成x=Asin(ωt+φ)的形式并指出振动的初相
位的大小.


   1 2  3 4                                       解析   答案
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