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2018年二轮专题闯关导练专练卷:六 力学综合计算题

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六 力学综合计算题

                       时间:60    分钟 满分:100      分
                                 

    非选择题:共      8 小题,解答应写出必要的文字说明,方程式和重要演算步
骤.只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值
和单位.

                                  1          1
    1.(12 分)如图,在竖直平面内有由4圆弧              AB 和2圆弧   BC 组成的光滑固定
                                                           R
轨道,两者在最低点         B 平滑连接.AB      弧的半径为     R,BC  弧的半径为2.一小球
                    R
在 A 点正上方与     A 相距4处由静止开始自由下落,经               A 点沿圆弧轨道运动.


    (1)求小球在   B、A  两点的动能之比;

    (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到               C 点.
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     2.(14 分)下暴雨时,有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害.某地有一

                      3
倾角为    θ=37°(sin 37°=5)的山坡    C,上面有一质量为         m 的石板   B,其上下表面
 与斜坡平行;B      上有一碎石堆       A(含有大量泥土),A       和 B 均处于静止状态,如图

 所示.假设某次暴雨中,A           浸透雨水后总质量也为           m(可视为质量不变的滑块),

                                          3

 在极短时间内,A、B        间的动摩擦因数        μ1 减小为8,B、C     间的动摩擦因数       μ2 减
 小为  0.5,A、B  开始运动,此时刻为计时起点;在第                 2 s 末,B  的上表面突然变

 为光滑,μ2    保持不变.已知       A 开始运动时,A      离  B 下边缘的距离      l=27 m,C   足
 够长,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.取重力加速度大小                          g=10 m/s2.求:

     (1)在 0~2 s 时间内   A 和 B 加速度的大小;
     (2)A 在 B 上总的运动时间.
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    3.   (12 分)细管  AB 内壁光滑,加工成如图所示形状、细管厚度不计,长

L=0.8 m 的 BD 段固定在竖直平面内,其            B 端与半径    R=0.4 m 的光滑圆弧轨道

                                     1
BP 平滑连接,CD      段是半径    R=0.4    m 的4圆弧,AC     段在水平面上,与长          S=
1.25 m、动摩擦因数      μ=0.25 的水平轨道      AQ 平滑相连,管中有一个可视为质点

                                                           2
的小球质量为      m,小球以速度       v0 向右运动,(重力加速度         g 取 10 m/s ).

    (1)速度 v0 满足什么条件,小球能够越过轨道最高点                  P;

    (2)速度 v0 满足什么条件小球能滑出           AQ.


    4.(12 分)如图所示,物块        A 和 B 通过一根轻质不可伸长的细绳相连,跨

放在质量不计的光滑定滑轮两侧,质量分别为                    mA=2  kg、mB=1   kg.初始时   A 静
止于水平地面上,B        悬于空中.现将        B 竖直向上再举高       h=1.8   m(未触及滑轮)

,然后由静止释放.一段时间后细绳绷直,A、B                    以大小相等的速度一起运动,

之后  B 恰好可以和地面接触.取           g=10 m/s2,空气阻力不计.求:
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     (1)B 从释放到细绳绷直时的运动时间             t;

     (2)A 的最大速度    v 的大小;
     (3)初始时  B 离地面的高度       H.


     5.(12 分)一长为    L 的传送带与水平面的倾角为            θ,传送带沿顺时针转动,

在传送带上端接有一斜面,斜面长也为                  L,斜面表面与传送带表面在同一平面

上,在斜面的顶端有一质量为              m 的滑块由静止释放,滑块滑到传送带下端时速

度恰好减为零,物块与斜面的动摩擦因数为                    μ1,求:
     (1)物块与传送带的动摩擦因数;
     (2)要使物块还能返回到斜面顶端,传送带的速度至少多大?

     (3)若传送带的速度只有(2)问中所求速度的一半,则物块第一次在传送带上
 运动过程中电动机做的功是多少?
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     6.(14 分)一长木板置于粗糙水平地面上,木板左端放置一小物块;在木板

右方有一墙壁,木板右端与墙壁的距离为                   4.5 m,如图(a)所示.t=0      时刻开始,

小物块与木板一起以共同速度向右运动,直至                     t=1  s 时木板与墙壁碰撞(碰撞时

间极短).碰撞前后木板速度大小不变,方向相反;运动过程中小物块始终未离

开木板.已知碰撞后          1 s 时间内小物块的       v­t 图线如图(b)所示.木板的质量是小
物块质量的      15 倍,重力加速度大小         g 取 10 m/s2.求:


     (1)木板与地面间的动摩擦因数           μ1 及小物块与木板间的动摩擦因数              μ2;
     (2)木板的最小长度;
     (3)木板右端离墙壁的最终距离.


     7. (10 分)由于高速公路维修只允许单车道通行,某段时间有甲、乙两辆车
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 通行,甲车在前,乙车在后,速度均为                 v0=30  m/s,两车相距      s0=100  m.t=
 0 开始两车按图示规律运动,两车能避免相撞吗?


     8.(14 分)如图甲所示,倾角         θ=37°斜面上,轻弹簧一端固定在             A 点,自

 然状态时另一端位于         B 点,A、B    间的距离    L=1    m,斜面上方有一半径          R=1 

m、圆心角等于        143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于                D 处,圆弧轨道的最

 高点为   M.现有一小物块质量为          1  kg,将弹簧缓慢压缩到          C 点后释放,物块经

 过 B 点后的速度与时间的图象,如图乙所示,若物块经过                       D 点到达    M 点时,

 物块对轨道的压力恰好等于其重力,取                 g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,
 求:


     (1)写出物块经过     B 点后位移与时间的关系式;
     (2)物块与斜面间的动摩擦因数           μ;

     (3)BD 间的距离   xBD;
     (4)弹簧对物块做的功.
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 六 力学综合计算题


     1.解:(1)设小球的质量为         m,小球在     A 点的动能为     EkA,由机械能守恒定

            R

 律得  EkA=mg4 ①
                                            5R

     设小球在    B 点的动能为     EkB,同理有    EkB=mg  4  ②
                EkB
     由①②式得      EkA=5 ③
     (2)若小球能沿轨道运动到         C 点,则小球在       C 点所受轨道的正压力         N 应满

足  N≥0 ④

     设小球在    C 点的速度大小为       vC,由牛顿第二定律和向心加速度公式有                  N+

      vC2
       R
 mg=m  2  ⑤
                               2vC2

     由④⑤式得,vC      应满足   mg≤m   R  ⑥
                         R   1
     由机械能守恒定律得         mg4=2mvC2 ⑦
     由⑥⑦式可知,小球恰好可以沿轨道运动到                   C 点.

     2.解:(1)在   0~2   s 时间内,A    和 B 的受力如图所示,其中          f1、N1 是 A 与

 B 之间的摩擦力和正压力的大小,f2、N2              是 B 与 C 之间的摩擦力和正压力的大
小,方向如图所示.由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得


     f1=μ1N1 ①

     N1=mgcos θ ②

     f2=μ2N2 ③

     N2=N1′+mgcos θ ④
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     规定沿斜面向下为正.设           A 和 B 的加速度分别为        a1 和 a2,由牛顿第二定
 律得

     mgsin θ-f1=ma1 ⑤

     mgsin θ-f2+f1′=ma2 ⑥

     N1=N1′ ⑦

     f1=f1′ ⑧
     联立①②③④⑤⑥⑦⑧式,并代入题给数据得

             2
     a1=3 m/s  ⑨

             2
     a2=1 m/s  ⑩ 

     (2)在 t1=2 s 时,设  A 和 B 的速度分别为       v1 和 v2,则

     v1=a1t1=6 m/s ⑪

     v2=a2t1=2 m/s ⑫

     t>t1 时,设  A 和  B 的加速度分别为       a′1 和 a′2.此时   A 与  B 之间的摩擦力
为零,同理可得

               2
     a′1=6 m/s  ⑬

                 2
     a′2=-2 m/s   ⑭

     B 做减速运动.设经过时间           t2,B 的速度减为零,则有

     v2+a′2t2=0 ⑮
     联立⑫⑭⑮式得

     t2=1 s ⑯

     在 t1+t2 时间内,A    相对于   B 运动的距离为

        1         1      1         1
         a1t21+v1t2+ a′1t2 a2t21+v2t2+ a′2t2
     s=(2         2   )-(2         2   )
     =12 m<27 m ⑰

     此后  B 静止,A    继续在   B 上滑动.设再经过时间           t3 后 A 离开 B,则有

                       1

     l-s=(v1+a′1t2)t3+2a′1t23 ⑱
     可得

     t3=1 s(另一解不合题意,舍去) ⑲

     设 A 在 B 上总的运动时间为         t 总,有
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    t 总=t1+t2+t3=4 s
                                         vP2
    3.解:(1)欲使小球能通过最高点,应有               m R ≥mg
                                1     1
    由动能定理知小球在上升过程中2mvP2-2mv20=-mg·(2R+L)
                  gR
    联立解得    v0≥3

    代入数据得     v0≥6 m/s
    (2)要使小球能滑出      AQ,则小球上升的高度不能超过(R+L)

    1
    2mv20≤mg(R+L)
             2g R+L 
    解得  v0≤
                    6
    代入数据得     v0≤2   m/s
    小球通过粗糙区域时做匀减速运动,f=ma

    f=μmg
    所以  a=μg
    要使小球能通过粗糙区域,有

         v20
    S′=2a≥S
                 2μgS
    联立解得    v0≥

    代入数据得     v0≥2.5 m/s
                                     6
    所以小球的速度应满足          2.5 m/s≤v0≤2   m/s
    4.解:(1)B   从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动,有

       1
    h=2gt2 ①
    代入数据解得

    t=0.6 s ②

    (2)设细绳绷直前瞬间       B 速度大小为      vB,有

    vB=gt ③
    细绳绷直瞬间,细绳张力远大于              A、B  的重力,A、B      相互作用,由动量守
恒得

    mBvB=(mA+mB)v ④
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    之后  A 做匀减速运动,所以细绳绷直后瞬间的速度                   v 即为最大速度,联立
②③④式,代入数据解得

    v=2 m/s ⑤
    (3)细绳绷直后,A、B       一起运动,B     恰好可以和地面接触,说明此时               A、

                                                     1
                                                              2
B 的速度为零,这一过程中           A、B  组成的系统机械能守恒,有2(mA+mB)v             +

mBgH=mAgH ⑥
    代入数据解得

    H=0.6 m ⑦
    5.解:(1)由于传送带沿顺时针转动,因此物块在斜面上做匀加速运动,

在传送带上做匀减速运动,设物块与传送带的动摩擦因数为                          μ2,根据动能定理

    mgsinθ×2L-μ1mgcosθL-μ2mgcosθL=0

    解得  μ2=2tanθ-μ1
    (2)物块在传送带对它向上的摩擦力的作用下向上做匀加速运动,加速度和
在传送带上下滑时的加速度相同,要使物块能返回到斜面顶端,则物块必须一

直加速到传送带顶端,因此传送带的速度至少等于物块一直加速到传送带顶端

时的速度,即沿斜面下滑到传送带时的速度,根据动能定理

                           1
                               2
    mgsinθ×L-μ1mgcosθ×L=2mv
    解得:v=    2gL sinθ-μ1cosθ 
                        1
    (3)如果传送带的速度为2v,
               1          1
                v2=2ax得x=  L
    由 v2=2aL,(2           4 )
                                         1
    物块在传送带底端向上加速运动距离为                 x=4L 时与传送带具有共同速度一
起匀速向上运动.
    物块在传送带上向下减速运动,再向上加速后匀速运动过程中,根据功能

关系
    电动机做功
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                      L                  x
                  1   1            1   1  1          3
                       v                × v
     W=μ2mgcosθ×2v×2   +μ2mgcosθ×2v×2     2 +mgsinθ×4L
       3          3

     =2μ2mgLcosθ+4mgLsinθ
       15        3

     = 4 mgLsinθ-2μ1mgLcosθ
       3   5
            sinθ-μ1cosθ
     =2mgL(2         ) 
     6.解:(1)规定向右为正方向.木板与墙壁相碰前,小物块和木板一起向

 右做匀变速运动,设加速度为             a1,小物块和木板的质量分别为             m 和  M.由牛顿
 第二定律有

     -μ1(m+M)g=(m+M)a1 ①

     由题图(b)可知,木板与墙壁碰撞前瞬间的速度                  v1=4 m/s,由运动学公式有

     v1=v0+a1t1 ②
             1

     s0=v0t1+2a1t21 ③

     式中,t1=1    s,s0=4.5  m 是木板碰撞前的位移,v0          是小物块和木板开始运
动时的速度.
     联立①②③式和题给条件得

     μ1=0.1 ④

     在木板与墙壁碰撞后,木板以-v1              的初速度向左做匀变速运动,小物块以

 v1 的初速度向右做匀变速运动.设小物块的加速度为                     a2,由牛顿第二定律有

     -μ2mg=ma2 ⑤
     由题图(b)可得
        v2-v1
          -
     a2= t2 t1  ⑥

     式中,t2=2 s,v2=0,联立⑤⑥式和题给条件得

     μ2=0.4 ⑦

     (2)设碰撞后木板的加速度为          a3,经过时间     Δt,木板和小物块刚好具有共同

 速度  v3.由牛顿第二定律及运动学公式得

     μ2mg+μ1(M+m)g=Ma3 ⑧
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    v3=-v1+a3Δt ⑨

    v3=v1+a2Δt ⑩ 
    碰撞后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中,木板运动的位移为

       -v1+v3

    s1=   2   Δt ⑪
    小物块运动的位移为

       v1+v3

    s2=  2  Δt ⑫
    小物块相对木板的位移为

    Δs=s2-s1 ⑬
    联立⑥⑧⑨⑩⑪⑫⑬式,并代入数值得

    Δs=6.0 m ⑭
    因为运动过程中小物块没有脱离木板,所以木板的最小长度应为                            6.0 m.

    (3)在小物块和木板具有共同速度后,两者向左做匀变速运动直至停止,设

加速度为    a4,此过程中小物块和木板运动的位移为                 s3.由牛顿第二定律及运动学
公式得

    μ1(m+M)g=(m+M)a4 ⑮

    0-v23=2a4s3 ⑯
    碰后木板运动的位移为

    s=s1+s3 ⑰
    联立⑥⑧⑨⑩⑪⑮⑯⑰式,并代入数值得

    s=-6.5 m ⑱
    木板右端离墙壁的最终距离为             6.5 m.
    7.解:由图知乙车刹车的加速度

        30
        -    2      2
    a3=9  3m/s =5 m/s

    t1=3 s 末,甲车速度     v1=v0-a1t1=30-10×3=0

    3 s 过后设经过    t2 甲乙两车速度相等,此时距离最近

    a2t2=v0-a3t2
                         v0   1

    等速之前甲车位移        x 甲= 2 t1+2a2t2
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                          1

    乙车位移    x 乙=v0t1+v0t2-2a3t2

    解得  x 乙-x 甲=90 m,s0=100 m
    所以不会相撞
    8.解:(1)从图乙可看出物块从           B 点到   D 点做匀减速直线运动,物块在

B 点的速度    v0=8 m/s,从  B 到 D 过程中加速度大小

       Δv  8-0
    a=Δt=0.8-0 m/s2=10 m/s2
                                                1
                                                         2
       物块经过    B 点后位移与时间的关系式为            x=v0t-2a=8t-5t
    即 x=8t-5t2(x 单位是   m,t  单位是   s)

    (2)在 BD 段,根据牛顿第二定律          mgsin37°+μmgcos37°=ma

    解得  μ=0.5

                                     vM2
    (3)物块在  M 点的速度满足       mg+mg=m    R
                                            1      1
    物块从   D 到 M  过程中,有-mgR(1+cos37°)=2mvM2       -2mvD2
    物块在由    B 到 D 过程中,有

    vD2-vB2=-2axBD

    解得  xBD=0.4 m
                                                     1
    (4)从 A 到 B 利用动能定理      W-mgLsin37°-μmgLcos37°=2mvB2
    解得:W=42 J
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