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A版2019版高考物理一轮复习考点考法第5章万有引力与航天课件新人教版

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       第5章    万有引力与航天

 考点12    万有引力定律及其应用

 考点13    人造卫星    宇宙速度

 考点14    卫星的变轨与对接问题
        考点12    万有引力定律及其应用
必备知识      全面把握
核心方法      重点突破
  考法1   重力加速度的有关问题
  考法2   天体质量、密度的估算
  考法3   力学知识与万有引力定律的综合应用
考法例析      成就能力
  题型1   对开普勒行星运动定律的认识
  题型2   两物体间万有引力的计算
  题型3   天体表面重力加速度的计算
  题型4   有关天体质量、运动周期、轨道半径等的分析
  题型5   双星问题
                  必备知识           全面把握
1.开普勒行星运动定律
  第一定律(轨道定律):所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在
   所有椭圆的一个焦点上.
  第二定律(面积定律):对每一个行星而言,太阳与行星的连线在相等的时
   间内扫过相等的面积.
  第三定律(周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二

   次方的比值都相等.以T1、T2表示两行星公转周期,R1、R2表示两行星椭


   圆轨道的半长轴,则周期定律表示为                   T       2         R       3          R3
                              :            1    =             1    或               =k.
                                      T       2         R       3          T2                    
                 说明:开普勒第三定律不仅适用于行星2                           2                                                                                       ,也适用于其他天体,经常应用在解决天体运动
                                                                                                                                                                                          GM
 的问题上,且其应用非常方便简捷.请注意上式中                                                                                                                                                       k=                      ,M              表示中心天体的质量,所以只
                                                                                                                                                                                           4π2
                                                                                                               R3
 有各行星围绕同一天体运动时,                                                                                                        才为一定值.该定值只与中心天体有关. 
                                                                                                               T2
2.万有引力定律
(1)内容:

                           自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 F         的大小与它们
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               m             m
  的质量                                       m               和                m               的乘积成正比,跟它们之间距离                                                                                                                                                                         r      的二次方成反比.即                                                                                                              F=G                                    1             2.其中                                 G=
                                                      1                               2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  r2
  6.67×10-11 N·m2/kg2,称为引力常量. 

(2)适用条件:


                           ①公式适用于求两质点间的相互作用;②对于质点与均匀球体之间的万有引力,r                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           指该
 质点与均匀球体球心之间的距离;③对于相距不太远的两均匀球体之间的万有引力,r                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   指两
 球体球心之间的距离. 
       (1)天体质量的计算 
       ①万有引力充当向心力,这是求解中心天体质量时列方程的根源所在.即 
       GMm       v2              2π  2
             =m    =mω2r=m          r, 
         r2       r              T 
                    v2r  ω2r3   4π2r3
       由此得     M=      =      =      . 
                    G     G      GT2
                                                       GMm                    gR2               GM
       ②在天体表面上,万有引力近似等于重力,                                   =mg,得       M=       ,又可得       g=      (这
                                                         R2                    G                 R2
 是一个常被引用的式子). 
       重力的实质是万有引力,但一般重力并不等于万有引力,在地表附近忽略地球自转影响
 的情况下,可认为重力近似等于万有引力. 
       (2)万有引力定律应用的普遍方法 
       涉及万有引力定律应用的问题很多,但其基本方法是不变的,即把天体的运动看成圆周
3.万有引力定律在天文学上的应用
 运动,向心力由万有引力提供. 
                             2              2π 2             2           2
             GMm            v       2              GM     v     2   4π               GM           GM
       F 引=        ,F 向=m     =mω    r=m        r,即      =    =ω   r=     r,得  v=          ,ω=          ,
               r2            r              T       r2    r          T2               r            r3
         4π2r3
 T=           . 
          GM
4.宇宙中的双星系统
(1)双星系统
①在宇宙中有这样的一些特殊现象,两颗靠得很近的天体,它们绕其连线上的某
点做匀速圆周运动,我们把这样的两颗星称为双星系统,简称双星.其特点是这
两颗星运动的周期和角速度相等,这两颗星各自以一定的速度绕某一中心转动,
才不至于因万有引力作用而吸在一起.


已知在某一双星系统中,如图所示,两颗星的质量分别为m1、m2,m1>m2,且各自

的轨道半径为r1、r2,相距为L.
在双星系统中,两颗星运动的周期和角速度都相等,根据万有引力提供向心力对
两颗星分别列方程式为:

                          m        m                          4π2                              m         m                          4π2
                    G           1         2=m                             r     ,G                    1        2=m                             r
                               L2                           1   T2           1                       L2                          2    T2           2 

联立两式得m1r1=m2r2;
又因为v=rω,两颗星的角速度相同,所以两颗星线速度之比等于旋转轨道半径

之比,即v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1.
   ②双星系统的规律总结
   a.两颗星都在做匀速圆周运动.
   b.两颗星的向心力大小相同,是由两星之间的万有引力提供
的.
   c.两颗星的角速度相同,旋转周期相同,线速度之比等于旋转
轨道半径之比.
   d.两颗星绕共同的中心转动做圆周运动时总是位于旋转中心的
两侧,且三者在一条直线上.

   e.旋转中心距离质量较大的星较近,r1∶r2=m2∶m1.
   说明:宇宙空间大量存在这样的双星系统.地月系统也可以看
成一个双星系统,只不过,旋转中心没有出地壳而已,在不是很精
确的计算中,可以认为月球绕着地球的中心旋转.
(2)多星系统
①三星问题

                         a.第一种情况:三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星(静止不动)在同一半径为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  R
 的圆轨道上运行,周期相同. 
                         b.第二种情况:三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆轨道运
 行,三颗星的运行周期相同(如图所示). 


②四星问题

                        a.第一种情况:四颗星稳定地分布在边长为                                                                                                                                                                                                                      a        的正方形的四个顶点上,均围绕正方形的
两条对角线的交点做匀速圆周运动(如图所示). 
                        b.第二种情况:有三颗星位于边长为                                                                                                                                                                                     a        的等边三角形的三个项点上,并沿外接于等边三
角形的圆形轨道运行,而第四颗星刚好位于三角形的中心不动. 
                                                                              考点12
                  核心方法         重点突破
  考法1      重力加速度的有关问题
  例1
   [课标全国2012·21,6分]假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球
体,一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿
井底部和地面处的重力加速度大小之比为(                   )


                                                      d                                                      d                                           R-d                                                                      R
                      A.1-                                   B.1+                                                    C.(                                                      )2  D.(                                                          )2 
                                                     R                                                       R                                                  R                                                          R-d
 例1

【解析】                                                                                                                                                       GM1                                                          4                                 3                                          4
                  设地球密度为                                             ρ,在矿井底部有                                                     g1=                                                ,而               M1=                   πρ(R-d)                          ,所以                      g1=                πGρ(R-
                                                                                                                                                 (R-d)2                                                                 3                                                                            3


                                                                                  4                                               g1            R-d                                   d
  d);同理,地面处                                                        g2=                πGρR,所以                                           =                         =1-                      ,选项                       A       正确,B、C、D                                                    错误. 
                                                                                  3                                               g2                  R                               R


【答案】A
考法2       天体质量、密度的估算
  例2
[课标全国Ⅱ2014·18,6分]假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知

地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的
周期为T,引力常量为G.地球的密度为(                )


                                3π              g0-g                                                  3π                            g0                                             3π                                           3π              g0
                     A.                   2·                             B.                                     2·                                   C.                                      2  D.                                        2·             
                             GT                         g0                                         GT                        g0-g                                               GT                                           GT                   g
 例2
【解析】
                                                                                                                                                                                                                                                        Mm                                                                                   Mm
                   设地球半径为                                                        R.质量为                                     m           的物体在两极时有                                                                         mg              =G                              ,在赤道时有                                                        G                      -mg=
                                                                                                                                                                                                                                    0                      R2                                                                                   R2
                  2π            2                                                                                          M                                                                                                                             3g           π
mR                               ,又地球的密度                                                              ρ=                               ,联立以上三式得                                                                      ρ=                                         0                           ,选项                            B       正确. 
                   T                                                                                                4                                                                                                                                                                    2
                                                                                                                          πR3                                                                                                        G(g0-g)T
                                                                                                                      3


【答案】B
考法3       力学知识与万有引力定律的综合应用
  例3
[课标全国Ⅰ2015·21,6分](多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器
靠近月球后,先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系
列过程,在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止);最后
关闭发动机,探测器自由下落.已知探测器的质量约为1.3×103                     kg,地
球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重力加
速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器(            )

A.在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9 m/s
B.悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒
D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线
速度
                                                                                                   GMm
    设月球的质量为           M、半径为        r,则地球的质量为            81M,地球的半径为             3.7r.在月球表面有
                                                                                                     r2

                                                 GM                    G(81M)m
    =mg   月,则月球表面的重力加速度                    g 月=    2 ,在地球表面有                        =mg,可得        g 月=
                                                  r                      (3.7r)2

    3.72
        ×9.8 m/s2=1.66 m/s2,着陆前探测器自由下落,则                        2=2g    h,   =     2g  h=    2×1.66×4 
    81                                                        v1      月    v1        月

    m/s=3.64 m/s,选项       A  错误;悬停时探测器受力平衡,反冲作用力大小等于探测器在月球表

                                                  3
    面所受重力的大小,约为                 F=mg    月=2×10      N,选项      B 正确;从离开近月圆轨道到悬停这段

    时间内,反冲作用力对探测器做负功,探测器的机械能减少,自由落体阶段机械能守恒,选

例3
【解析】
                                                    GMm       v2               GM       v月       M  3.7r
    项  C 错误;卫星在近月或近地轨道运行时有                               =m     ,解得      =         ,则      =       ·
                                                     R2       R         v       R                 r 81M
                                                                                        v地

          3.7
    =        <1,选项      D 正确.
          81                       
                    考点
【答案】BD               12
                考法例析        成就能力
题型1      对开普勒行星运动定律的认识
  例1
[课标全国Ⅲ2016·14,6分]关于行星运动的规律,下列说法符合
史实的是(       )

A.开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运
动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律
 例1
【解析】
开普勒在第谷的天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律,
但没有找出行星按照这些规律运动的原因,选项A、C错误,选项B
正确;牛顿发现了万有引力定律,选项D错误.


【答案】B
题型2            两物体间万有引力的计算
   例2

                         如图所示,阴影区域是质量为                                                                                                                                                 M、半径为                                                       R          的球体挖去一个小圆球后的剩余部分.所挖
                                                                                                                                                                                                                                                     R
 去的小圆球的球心                                                                                              O′和大球体球心间的距离是                                                                                                                                         .求球体剩余部分对球体外离球心                                                                                                                                                                 O             距离为
                                                                                                                                                                                                                                                      2
 2R、质量为                                                           m           的质点                                    P         的引力. 
                                                                                                                                                                         GMm                     GMm                                  R
               将挖去的球补上,则完整的大球对球外质点                                                                                                P    的引力                 F1=                             =                   ,半径为                       的
                                                                                                                                                                                         2         4R2                                 2
例2                                                                                                                                                                    (2R)
【解析】
                                                4        R     3            4         R      3      M             1                                                                                                           M′m
   小球的质量                            M′=            π           ·ρ=           π·            ·             =       M,补上的小球对质点                                                    P     的引力                 F    =G                      =
                                                3     2                   3       2          4                 8                                                                                            2              5         2
                                                                                                    πR3                                                                                                                          R
                                                                                                 3                                                                                                                           2       
       4M′m                 GMm                                                                                                                                           GMm                 GMm                 23GMm
   G                  =                   ,因而球体剩余部分对质点                                                            P    的引力                F=F            -F         =                   -                   =                         . 
         25R2                50R2                                                                                                                      1          2          4R2               50R2                  100R2


【答案】    23GMm
           100R2                
题型3      天体表面重力加速度的计算
  例3
[重庆理综2015·2,6分]宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行
了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象.若
飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量
为G,则飞船所在处的重力加速度大小为(                 )


                                                                         GM                                                        GMm                                                  GM
                    A.0  B.                                                                         C.                                                            D.                                   
                                                             (R+h)2                                                       (R+h)2                                                           h2
 例3

【解析】                                                                                                                                                                                                                                                                                 Mm
                 由万有引力定律,在离地面高为                                                                                                 h     的地方,质量为                                                 m       的物体受力为                                            F=G                                                   .由          F
                                                                                                                                                                                                                                                                          (R+h)2

                                                                              M
 =mg′可得,g′=G                                                                                        ,所以                      B      正确. 
                                                                (R+h)2


【答案】B
  题型4    有关天体质量、运动周期、轨道半径等的分析
  例4
   [北京理综2017·17,6分]利用引力常量G和下列某一组数据,
不能计算出地球质量的是(             )


   A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
   B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
   C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
   D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
   设地球的质量为              M、半径为          R,地球表面的重力加速度为                         g,由地球表面的物体所受重力近

                             Mm                       gR2
   似等于万有引力得                G     =mg,解得          M=       ,故可求出地球的质量,选项                         A  错误;设人造卫
                              R2                       G
                                                                                        2πR
   星在地面附近绕地球做圆周运动的速度大小为                                        、周期为        T,则       =       ,由万有引力定律得
                                                              v                     v    T
     Mm        v2               v3T
   G      =m     ,解得       M=        ,故可求出地球的质量,选项                         B  错误;设月球绕地球做圆周运动
      R2       R                2πG

                                                                                            2                   2  3
                                                                                Mm       4π  r1              4π  r1
   的周期为        T1,月球与地球间的距离为                      r1,由万有引力定律得                G    2 =m       2 ,解得     M=         2 ,
                                                                                r1        T1                 GT1


例4
   故可求出地球的质量,选项                       C  错误;设地球绕太阳做圆周运动的周期为                                  T2,地球与太阳间的
【解析】

                                                                                  2                    2  3
                                                                    Mm0        4π r2                4π  r2
   距离为       r2,太阳的质量为              m0,由万有引力定律得                   G    2 =M       2  ,解得      m0=        2 ,不能求
                                                                     r2         T2                   GT2

   出地球的质量,选项                  D  正确. 

【答案】D
 例5

[天津理综2015·8,6分](多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星,距
各自表面相同高度处有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动.图中纵坐
标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a,横坐标表

示物体到行星中心的距离r的平方,两条曲线分别表示P1、P2周围的
a与r2的反比关系,它们左端点横坐标相同.则(                   )


A.P1的平均密度比P2的大
B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C.s1的向心加速度比s2的大
D.s1的公转周期比s2的大
                                                                                           M         4       GMm
   由图像左端点的横坐标相同可知,两行星的星球半径                                             R  相同,因         ρ=    ,V=      πR3,          =
                                                                                           V         3         R2
                            3a
   ma,联立解得            ρ=         ,因     a >a  ,所以       P  的平均密度比            P   的大,选项          A  正确;第一宇宙
                          4πGR           1   2            1                    2

   速度     v=    aR,因      a1>a2,所以        P1 的“第一宇宙速度”比                    P2 的大,选项          B  错误;利用“黄金

                                                      GM              aR2
   代换式”解得卫星的向心加速度                            a′=              =               ,卫星离地面的高度                  h 相同,星
                                                  (R+h)2         (R+h)2


   球半径       R 相同,因         a1>a2,所以       s1 的向心加速度大于                s2 的向心加速度,选项                 C  正确;根据万

例5
【解析】
                                        2π  2                                              (R+h)3
                        GMm                                        2
   有引力定律得                         =m         (R+h),又       GM=aR      ,解得      T=2π                2    ,因    a1>a2,
                     (R+h)2             T                                                    aR


   所以     s1 的公转周期小于             s2 的公转周期,选项                D  错误. 

【答案】AC
题型5          双星问题
   例6

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统
的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦星云时,发现了LMCX-3双星系统.它由可
见星A和不可见的暗星B构成,将两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连
线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测
能够得到可见星A的速率v和运行周期T.


(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引
力,设A和B的质量分别为m1、m2.试求m′(用m1、m2表示);

(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式;

(3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞,若可见星
                5                        4
A的速率v=2.7×10      m/s,运行周期T=4.7π×10       s,质量m1=6ms,试通过估算来判断暗
                             -11     2  2           30
星B有可能是黑洞吗?(G=6.67×10             N·m /kg ,ms=2.0×10    kg).
       (1)设    A、B    的圆轨道半径分别为                   r1、r2,由题意知,A、B                 做匀速圆周运动的角速度相同,

                                                   2                2
 设为     ω.由牛顿运动定律,有                    FA=m1ω       r1,FB=m2ω        r2,FA=FB.设         A、B     之间的距离为             r,有     r


                                      m1+m2                                                  m1m2
 =r1+r2,由上述各式得                    r=            r1①,由万有引力定律,有                       FA=G        2  ②,将①代入②得
                                         m2                                                    r

                       3                                                           3
                m1m2                         m1m′                               m2
 FA=G                         ,令     FA=G           ,比较可得           m′=                    ③. 
                          2  2                 r 2                                        2
          (m1+m2)          r1                   1                         (m1+m2)
例6
【解析】
                                                        2
                                         m1m′         v                                                vT
       (2)由牛顿第二定律,有                    G     2  =m1      ④,又知可见星              A  的轨道半径           r1=      ⑤,由③④⑤
                                           r1         r1                                               2π

                 m  3          v3T
 式解得               2       =        ⑥. 
                          2    2πG
          (m1+m2)
                                                                            3                 3                                           3
                                                                        m2                  v   T                                     m2
         (3)将       m1=6ms           代入⑥式,得                                            =           ,代入数据得                                            =3.5ms⑦,
                                                                                      2     2πG                                                     2
                                                              (6ms+m2)                                                      (6ms+m2)

                                                                                 3                                                                            3
                                                                             m2                       n                                                   m2
 设    m2=nms(n>0),将其代入⑦式,得                                                                  =                2ms=3.5ms⑧,可见
                                                                                           2      6                                                                     2
                                                                   (6ms+m2)                        +1                                         (6ms+m2)
                                                                                                 n        
                                                                              n
 的值随           n  的增大而增大,试令                             n=2,得                         m    =0.125m           <3.5m       ⑨,若要使⑧式成立,则                                   n
                                                                           6         2   s                  s           s
                                                                            +1
                                                                         n        

 必大于           2,即暗星               B  的质量           m2    必大于          2ms,由此得出结论:暗星                                     B   有可能是黑洞. 


                         3                                   3                  3
【答案】                m2                                  m2                    v  T
     (1)                           2     (2)                           2=                 (3)有可能 
           (m1+m第25章)                         (m1+m2)                        2πG
         考点13     人造卫星      宇宙速度
必备知识       全面把握
核心方法       重点突破
  考法4    卫星运行的线速度
  考法5    同步卫星和一般卫星
考法例析      成就能力
  题型6    卫星运行规律问题
  题型7    对同步卫星的考查
  题型8    宇宙速度问题
  题型9    综合性问题
                必备知识        全面把握
  1.人造地球卫星
  (1)发射原理:当平抛的水平初速度足够大时,地球对物体的引
力恰等于物体绕地球做圆周运动的向心力,物体将不再落回地面,
而成为一颗绕地球运转的卫星.
   卫星通过火箭等运输工具发射,发射过程机械能不断增加,上
升到预定轨道后,将通过变轨等技术手段停留在该轨道上持续运
行.
        ①轨道:是一条封闭的椭圆曲线,实际计算时近似当圆处理.如图所示,轨道平面总是
  通过地心. 
                                                                                                                    mM
        ②向心力:由万有引力提供.其向心加速度为其轨道处的地球重力加速度,有                                                                   G
                                                                                                               (R+h)2
               mM                       R  2
  =ma.由      G      =mg,得         a=      g,r=R+h. 
                R2                     r
                                    mM        v2                GM          R2g
        ③运行线速度:由                 G      =m      ,得       =           =            . 
                                     r2       r        v          r           r
                             GMm                               GM          gR2
        ④运行角速度:                     =mω2r,得          ω=            =           . 
                                r2                              r3          r3
(2)运行规律
                    GMm           2π  2                      r3             r3
        ⑤周期:               =m        r,得     T=2π             =2π            . 
                       r2         T                       GM             gR2
        由此可知,卫星绕行星做匀速圆周运动时,其向心加速度                                                     a、线速度          v、角速度          ω  与卫
  星的质量         m  无关,与中心天体质量                     M  有关,不同卫星绕同一中心天体做匀速圆周运动,其轨
  道半径       r 越大,周期           T 越大,向心加速度                  a、线速度         v、角速度          ω  越小. 
2.三种宇宙速度

  (1)第一宇宙速度(环绕速度):使人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆                                                                                                                                                                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Mm                          v1
周运动时所必须具有的发射速度.①卫星运转的最小半径近似等于地球的半径v =7.9 km/s.                                                                                                                                   ,即在地球表面绕地运转时,G                                                                                                                  =m                       ,
                             1                                                                                                                                                                                                                                                                         R2                         R
                                      GM
 故                =                                . 
           v1                             R
                                                                                                                                                                                               2
                                                                                                                                                                                        v1
                  ②由于万有引力近似等于物体的重力,mg=m                                                                                                                                                          ,故                        =             gR. 
                                                                                                                                                                                          R                         v1
(2)第二宇宙速度(脱离速度):使人造卫星挣脱地球引力束缚的最小发

射速度,v2    =11.2 km/s.
(3)第三宇宙速度(逃逸速度):使人造卫星挣脱太阳引力的束缚,飞到

太阳系以外的宇宙中去时,所必须具有的最小发射速度,v3=16.7 km/s.
3.地球同步卫星

  (1)地球同步卫星的①五个定值:轨道平面一定:与赤道面共面. 
                 ②周期一定:与地球自转周期相同,即                                                                                                                        T=24 h. 
                 ③角速度一定:与地球自转的角速度相同. 
                 ④高度一定:离地面的高度                                                                                      h=35 800 km. 
                                                                                           GM
                 ⑤速率一定:v=                                                                                . 
                                                                                        R+h

 (2)关于同步卫星的物理规律:

                ①不快不慢:具有特定的运行线速度、角速度和周期. 
                ②不高不低:具有特定的位置高度和轨道半径. 
                ③不偏不倚:同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面内,只能静止在赤道上方
 的特定的点上. 
                                                   考点13
                核心方法        重点突破
考法4      卫星运行的线速度
  例1
[福建理综2015·14,6分]如图,若两颗人造卫星a和b均绕地球做

匀速圆周运动,a、b到地心O的距离分别为r1、r2,线速度大小分别
为v1、v2,则(      )


                           v                            r                              v                            r
                    A.          1=                         2             B.                1=                         1 
                           v2                           r1                             v2                          r2
                            v                  r                                         v                  r
                    C.          1=(               2)2     D.                                  1=(              1)2 
                            v2                 r1                                        v2                 r2
 例1
【解析】


                                                                                                                                                                                                           2
                                                                                                                                                         Mm                                         v                                                         GM                            v1                                       GM                                                GM                                                 r2
   由万有引力提供向心力得                                                                                                                                  G                 2           =m                               ⇒v=                                                                 ,                   =                                                 ∶                                                  =                                     ,因此选项                                                           A
                                                                                                                                                              r                                         r                                                             r                     v2                                             r1                                                r2                                           r1

   正确. 


【答案】A
  考法5     同步卫星和一般卫星
  例2

   同步卫星是指相对于地面不动的人造卫星,下列说法正确的是(                          )


   A.它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择
不同的值

   B.它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的

   C.它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同的值

   D.它只能在赤道的正上方,且离地心的距离是一定的
 例2
【解析】
根据相对运动的知识,两个运动物体要想保持相对静止,必须有相同的速度或角速度.而
当卫星采用图甲所示的轨道时,卫星的运转方向与地球自转的方向明显不同,它们不可能
有相同的角速度,所以它们不可能保持相对静止,也就不可能称为同步卫星.
如图乙所示,假设卫星在轨道B上跟地球自转同步做匀速圆周运动.
卫星运动的向心力来自地球对它的引力F引,F引中除用来作向心力的F1外,还有另一分力
F2,F2的作用将使卫星运动轨道靠近赤道.所以只有在赤道上空,同步卫星才能稳定运
行.
                                    Mm                                  2π            2                                       3          GMT2
                  由           G                     =m                                 r,得                   r=                                               ,知同步卫星离地心的距离是个定值,即离地高度也
                                         r2                              T                                                                  4π2

是一个定值. 


【答案】D                                     甲                     乙   考点13
                  考法例析         成就能力
题型6       卫星运行规律问题
  例1
[山东理综2015·15,6分]如图,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,
处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的
周期绕地球运动.据此,科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站,使其与
月球同周期绕地球运动.以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的
大小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小.以下判断正确的是(                           )

 A.a2>a3>a1            B.a2>a1>a3

 C.a3>a1>a2            D.a3>a2>a1
             空间站建在拉格朗日点                                                   L1    上,以与月球相同的周期绕地球运动,因空间站的轨道半径小
例1
                                                                                2π                                                         GMm                                                    GM
【于月球的轨解析】                      道半径,根据                               a=               2r     可知            a    >a      ;根据                            =ma,解得                           a=                ,因为月球的
                                                                                T                            2       1                        r2                                                  r2

 轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径,所以                                                                                                    a3>a2,综上所述可知                                           a3>a2>a1,选项                            D     正确,

 A、B、C                     错误. 


【答案】D
 例2

已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4
倍.不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出(                         )


A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8

B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4

C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道
运行的航天器的周期之比约为8∶9

D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆轨
道运行的航天器的线速度之比约为81∶4
例2                     M                     ρ           M         r    3        81                                                           Mm                                       g            M         r    2       81
  由       ρ=                   可得               1=             1·2        =            ,A         选项错误;由                                 G               =mg              可得               1=             1·2        =            ,B        选项错误;
                    4                        ρ           M         r    3        64                                                              r2                                    g            M         r    2       16
【解析】                   πr3                      2              2      1                                                                                                                    2              2     1
                    3

                                                  2                                              3
               Mm                     2π                            T1                     r1        M2             8                                                                   2πr                   v1          r1     T2           9
  由       G         2     =m                        r   可得                  =                        ·      3  =         ,C           选项正确;由                                    v=                可得                 =           ·       =         ,D           选项
                  r                      T                          T2                    M1          r2            9                                                                     T                   v2          r2     T1           2

  错误. 


【答案】C
题型7      对同步卫星的考查
  例3
[四川理综2016·3,6分]国务院批复,自2016年起将4月24日设立为
“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红
一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,
远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星
运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点
的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体
随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为(                 )

A.a2>a1>a3            B.a3>a2>a1  
C.a3>a1>a2            D.a1>a2>a3
 例3

【解析】             地球赤道上的物体和东方红二号同步卫星做圆周运动的周期相同,两者的角速度相同,

                                                                    2
 即         ω3=ω2,由                                 a=ω                 R      得半径大的向心加速度大,即得                                                                                               a3<a2;                   东方红二号和东方红一号的远

                                                GMm                                                         GM
 地点相比,由                                                           =ma                 得         a=                      ,即离地面越近,加速度越大,即                                                                                                         a     <a            ,选项                       D       正确. 
                                                     R2                                                       R2                                                                                                                                   2              1


【答案】D
                                                                                                        2GM
             物体从地球上逃逸的速度为                                                             v=                            ,G、M、R                      分别是引力常量、地球质量和半径.G
                                                                                                            R
题型8    宇宙速度问题
                              -11               2         2                                                           8
 =例4   6.67×10                        N·m         /kg       ,光速                c=2.997 9×10                              m/s. 
             (1)逃逸速度大于真空中光速的天体是黑洞.设某黑洞质量等于太阳质量                                                                                                                                                             M=1.98×1030 
 kg,求它的可能最大半径. 
             (2)目前天文观测范围内,物质平均密度为                                                                                          10-27 kg/m3,若认为宇宙是一均匀球体,其密
 度使它的逃逸速度大于真空中光速,因此任何物体均不能脱离宇宙,问宇宙的半径至少为多
 大? 
           (1)类比地球上第二宇宙速度的公式,则式中                                                                               M、R           为黑洞的质量和半径.当逃逸速度等

                                                                             2GM                                 3
例于光速时黑洞的半径最大,R                                                          =               =2.94×10                   m=2.94 km. 
 4                                                                max           c2
【解析】
                                                                                                                                                                            4
                                                                                                                                                                      2G      πR3ρ
                                                                                                                                                     2GM                    3
           (2)同理,应用到宇宙这个假想的“均匀球体”上,有                                                                                                        R=                  =                        ,则            R=
                                                                                                                                                        c2                   c2
          3c2
                      ,代入数据得                          R=4.24×1010                      光年. 
        8πGρ


【答案】(1)2.94 km (2)4.24×1010光年
  题型9    综合性问题
  例5
   [课标全国Ⅰ2016·17,6分]利用三颗位置适当的地球同步卫星,
可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前,地球同步卫
星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小,
若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值
约为(     )


   A.1 h      B.4 h      C.8 h      D.16 h
                                                                                                                                     Mm                          4π2
          同步卫星的环绕周期与地球自转周期相等,对同步卫星有                                                                                         G                      =m                        (6.6R),
                                                                                                                               (6.6R)2                    (24 h)2

 地球自转周期减小,则同步卫星需要降低高度,三颗卫星全覆盖赤道的最小高度如图,图中
例5
【解析】
 MP、MQ              与地球赤道表面相切,根据几何关系得同步卫星的最小轨道半径为                                                                                                        2R,由开普勒第

                   (6.6R)3                 (2R)3
 三定律有                                  =            2      ,得        T=4 h,故选                    B. 
                    (24 h)2                      T


【答案】B                          第5章
        考点14     卫星的变轨与对接问题
必备知识       全面把握
核心方法       重点突破
  考法6    卫星变轨问题
  考法7    卫星变轨中的能量问题
考法例析      成就能力
  题型10    卫星变轨问题的处理
  题型11    卫星变轨中的能量问题
  题型12    卫星追赶问题
        (3)由一个圆轨道变轨到另一个圆轨道需要经历两次变速,如图所示,以卫星从较低圆轨
道变轨到较高圆轨道为例. 


                                                                                               
        ①在较低圆轨道                     1  上加速:加速后进入椭圆轨道                                      2,两轨道相切于加速点                               P,切点           P  为
椭圆轨道的近地点,卫星在轨道                                         2  上过近地点               P  时的速率大于在轨道                           1 上运行的速率. 
        ②在椭圆轨道                  2  的远地点            Q   加速:加速后进入较高圆轨道                                      3,两轨道相切于加速点                              Q,
切点       Q   为椭圆轨道的远地点,卫星在轨道                                            2  上过远地点               Q    时的速率小于在轨道                          3  上运行的
速率. 
                                                                                                     v2
          (1)当卫星的速度突然增大时,所需向心力                                                                   m      增大,即万有引力不足以提供运动所需向
                                                                                                      r
 心力,卫星将做离心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大,进入新的轨道运行时,由                                                                                                                                              v=
          必备知识    全面把握
       GM
 1.卫星变轨       知其运行速度减小,但重力势能、机械能均增加. 
  所谓变轨,顾名思义就是改变卫星在太空中的运行轨道,r 当卫星是由于某种
原因使运动所需向心力与所受到的地球引力不相等时,卫星就会变轨.
                                                                                              mv2
          (2)当卫星的速度突然减小时,所需向心力                                                                        减小,即万有引力大于卫星所需的向心力,
                                                                                                 r
                                                                                                                                                                                      GM
 卫星将做向心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变小,进入新轨道运行时,由                                                                                                                                    v=
                                                                                                                                                                                         r
 知运行速度增大,但重力势能、机械能均减少. 
  2.卫星的对接
   两颗人造卫星的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物
体的追赶问题,本质仍然是卫星的变轨问题.
   要使两颗人造卫星成功“对接”,必须让一颗卫星在较低轨道
上加速,通过速度v的增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道
半径r增大→轨道升高,从而完成对接.
        绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星所需向心力由万有引力提供.轨道半径                                                                                               r 确定后,
                                                  GM                                 r3                              GM
与之对应的卫星线速度                             v=               、周     期    T=2π                 、向心加速度                 a=         也都是确定的.如
                                                     r                             GM                                  r2

果卫星的质量也确定,那么与轨道半径                                                 r  对应的卫星的动能                        Ek(由线速度大小决定)、重力势

能    Ep(由卫星高度决定)和总机械能                                    E  机(由能量转化情况决定)也是确定的.一旦卫星发生变轨,
即轨道半径               r  发生变化,上述物理量都将随之变化.同理,只要上述七个物理量之一发生变

化3.卫星变轨中的能量问题,另外六个物理量也必将随之变化. 
        (1)要使卫星由较高轨道进入较低的轨道,其轨道半径减小,在卫星克服阻力做功的同时,
万有引力将对卫星做正功,而且万有引力做的正功远大于克服阻力做的功,外力对卫星做的
总功是正的,因此卫星的动能增加. 
        (2)要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道,即增大轨道半径(增大卫星离地高度                                                                                                   h),
一定要给卫星增加能量.变轨后卫星的动能减小,势能增大,总的机械能增大. 

                        考点14
                  核心方法         重点突破
考法6       卫星变轨问题
  例1
[课标全国Ⅰ2013·20,6分](多选) 2012年6月18日,“神舟九号”飞船
与“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我
国首次载人空间交会对接.对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气.下
列说法正确的是(          )

A.为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙
速度之间
B.如不加干预,在运行一段时间后,“天宫一号”的动能可能会增加
C.如不加干预,“天宫一号”的轨道高度将缓慢降低
D.航天员在“天宫一号”中处于失重状态,说明航天员不受地球引力作
用
 例1
【解析】
所有航天器在近圆形轨道上绕地球运动的速度大小均小于第一宇宙速
度,选项A错误;对接轨道处的空间存在稀薄的大气,“天宫一号”克
服空气阻力做功,机械能减少,速率减小,万有引力大于做圆周运动
所需的向心力,若不加干预,“天宫一号”将做近心运动,使轨道高
度缓慢下降,此过程中万有引力做正功,其动能增加,选项B、C正确;
由于万有引力提供向心力,航天员在“天宫一号”中处于失重状态,
但地球对它的引力作用仍存在,选项D错误.


【答案】BC
考法7       卫星变轨中的能量问题
  例2
[课标全国Ⅱ2013·20,6分](多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫
星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变
小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻
力的作用,则下列判断正确的是(               )


A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
                                                                                                              GM
              当卫星的轨道半径减小时,由                                                                  v=                        可知,其速度增大,则动能增大;由于引力做
例2                                                                                                                r
【解析】
   正功,故引力势能一定减小,选项                                                                          A    错误,B                  正确.气体阻力做负功,卫星的机械能减小,


   且有           Wf=ΔE,由于动能增加,故引力势能的减小量大于机械能的减小量,选项                                                                                                                                                         C    错误,D                  正

   确. 


【答案】BD                                   考点14
                      考法例析             成就能力
题型10          卫星变轨问题的处理
   例1
[天津理综2016·3,6分]我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神
舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围
绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是
(     )


A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者
速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者
速度接近时实现对接
 例1
【解析】
若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速,则由于飞船所受
合力小于所需向心力,故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对
接,选项A错误;若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室
减速,则由于空间实验室所受合力大于所需向心力,故空间实验室将脱离原
轨道而进入更低的轨道,不能实现对接,选项B错误;要想实现对接,可使飞
船在比空间实验室半径小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的轨道,逐渐
靠近空间实验室后,两者速度接近时实现对接,选项C正确;若飞船在比空间
实验室半径小的轨道上减速,则飞船将进入更低的轨道,不能实现对接,选
项D错误.

【答案】C
题型11       卫星变轨中的能量问题
  例2
[课标全国Ⅱ2017·19,6分](多选)如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,

P为近日点,Q为远日点,M、N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0.
若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经M、Q到N的运动
过程中(      )

                                                                                                                          T
                 A.从                     P      到         M       所用的时间等于                                                      0 
                                                                                                                            4
                 B.从                    Q       到         N      阶段,机械能逐渐变大 
                 C.从                    P      到         Q       阶段,速率逐渐变小 
                 D.从                     M       到         N       阶段,万有引力对它先做负功后做正功 
           根据开普勒第二定律可知,海王星在近日点速率最大,在远日点速率最小,所以从                                                                                                                                      P   到

                                        T
  M    所用的时间小于                            0, 
                                        4
例2
【解析】A 错误;从                Q   到     N    阶段,只有万有引力做功,机械能守恒,B                                                                     错误;根据开普勒第二定律可

  知,从            P   到     Q    阶段速率逐渐变小,C                                    正确;从                 M    到     N   阶段,速率先减小后增大,则万有引

  力对它先做负功后做正功,D                                               正确 


【答案】CD
  题型12     卫星追赶问题
例3
   [福建泉州2017二模]当地球位于太阳和木星之间且三者几乎
排成一条直线时,称之为“木星冲日”,2017年4月7日出现了一
次“木星冲日”.已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向
绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大约是地球到太
阳距离的5倍.则下列说法正确的是(                )

   A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2019年
   B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
   C.木星运行的加速度比地球的大
   D.木星运行的周期比地球的小
                                                                                    2       2
                                                                                T1       T2
  地球公转周期                   T1=1      年,由开普勒第三定律有                                   3 =      3 ,木星公转的周期                        T2=       125T1≈11.18
                                                                                r1       r2
                                                                                                                     2π             2π
  年.设经时间                  t 再次出现“木星冲日”,有                                   ω1t-ω2t=2π,其中                     ω1=         ,ω2=           ,解得         t≈1.1
                                                                                                                     T1             T2

  年,因此下一次“木星冲日”发生在                                               2018     年,故         A  错误,B           正确;设太阳质量为                          M,木星质

例3                                                                                          Mm                    4π2                       GM
【解析】量为     m,加速度为                  a.对木星,由牛顿第二定律可得                                       G      2 =ma=m               2r2,解得           a=       2 ,T2=
                                                                                             r2                   T2                         r2
             r  3
  2π          2   ,由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的                                                                 5 倍,因此木星运行的加速度比
            GM

  地球的小,木星运行的周期比地球的大,故                                                        C、D        错误 


【答案】B
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