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2019版二轮提分宝典:第2课 运动的图像 追及、相遇问题

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       第2课  运动的图像  追及、相遇问题

普查讲2
一张图学透      v-t 图像  x-t 图像   追及、相遇问题

两组题讲透      第(1)题     第(2)题    第(3)题     第(4)题
                                                   目录
           第(5)题     第(6)题     第(7)题    第(8)题

            第(9)题    第(10)题
一  张  图   学  透
            v -t 图像                                   x -t 图像


                                                                                 第2课  
                                                                                 一张图
                                                                                  学透
                                                                                v-t 图像
                                                                                x-t 图像
一  张  图   学  透
            v -t 图像                                   x -t 图像


                                                                                 第2课  
                                                                                 一张图
                                                                                  学透
                                                                                v-t 图像
                                                                                x-t 图像
一  张  图   学  透
                           追及、相遇问题


                                                                                 第2课  
                                                                                 一张图
                                                                                  学透
                                                                                追及、相
                                                                                  遇问题
两 组 题 讲  透


(1)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间
内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内(         )
A.汽车甲的平均速度比乙的大
                                                     第2课  
B.汽车乙的平均速度等于                                        第(1)题
                                                      P8
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽
车乙的加速度大小逐渐增大
两  组 题 讲  透
解析:

 根据v-t图像可以看出,在0~t1这段时间内,汽车甲的位移x甲大于汽车

 乙的位移x乙,故C项错误。根据v=      得,汽车甲的平均速度      大于

 汽车乙的平均速度      ,故A项正确。作出初速度为v2、末速度为v1的
                                                          第2课  
  匀减速直线运动的图线如图所示,由图可知                                   第(1)题
                                                          P8
  汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为
   
  v1的匀减速直线运动的位移,即汽车乙的平
  均速度小于            ,故B项错误。v-t图像的
  斜率反映了加速度的大小,因此汽车甲、乙
  的加速度大小都逐渐减小,故D项错误。
两 组 题 讲  透


(1)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间
内,它们的v-t图像如图所示。在这段时间内(    A     )
A.汽车甲的平均速度比乙的大
                                                     第2课  
B.汽车乙的平均速度等于                                        第(1)题
                                                      P8
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽
车乙的加速度大小逐渐增大
两 组 题 讲  透

(2)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶,前20 s内摩托车做
匀加速运动至速度达到30 m/s,20 s至45 s内摩托车做匀速直线运
动,而后摩托车匀减速到停止用了30 s,求:
①摩托车在0~20 s这段时间内的加速度大小a;                             第2课  
                                                    第(2)题
②摩托车在0~75 s这段时间内的平均速度大小      。                        P8
两  组 题 讲  透
解析:
 ①加速度
 解得a=1.5 m/s2
 ②根据题意作出0~75 s的v-t图像如图所示
                                                          第2课  
                                                        第(2)题
 则由图得                                                     P8
 0~75 s的位移
 x=      ×30×(75+25)m=1 500 m

 答案:①a=1.5 m/s2    ②20 m/s
两  组 题  讲  透
                          v-t图像的应用技巧

           在v-t图像中,图像上某点的斜率表示对应时刻的加速度,斜率为正表
           示加速度方向与正方向相同,斜率为负表示加速度方向与负方向相
           同。

                                                                   第2课  
                                                                  方法便笺
                                                                    P8


           提示:加速度沿正方向不代表物体做加速直线运动,加速度与速度
           同向时物体做加速直线运动。
两 组 题 讲  透

        v-t图像与时间轴所围成的面积表示对应时间段的位移
        大小。解题时应注意,位移是矢量,路程是标量,两
        者不能相比较。只有在单向直线运动中,位移大小才
        等于路程;在其他情况中位移的大小小于路程。
                                                     第2课  
                                                    方法便笺
                                                      P8
两 组 题 讲  透

(3)(多选)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和
b的位置—时间(x-t)图线,由图可知(       )

A.在时刻t1,a车追上b车
                                                     第2课  
B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反                                 第(3)题
                                                      P8
C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减小后增加

D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车大
两 组 题 讲  透
解析:

 开始时a在b的前边,在时刻t1,a、b两车的位置坐标相同,故b

 车追上a车,故A项错误。在时刻t2,由两图线切线的斜率方向

 相反,知两车运动方向相反,故B项正确。由图知在t1到t2这段                      第2课  
                                                    第(3)题
 时间内,b车图线斜率先减小到0,再反向增大,则b车的速率先                        P8

 减小后增大,故C项正确。在t1到t2这段时间内,a车图线斜率始
 终大于0且大小不变,而b车的速率在某一时刻减小到0,所以b
 车的速率不是一直比a车大,故D项错误。
两 组 题 讲  透

(3)(多选)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和
b的位置—时间(x-t)图线,由图可知(   BC      )

A.在时刻t1,a车追上b车
                                                     第2课  
B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反                                 第(3)题
                                                      P8
C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减小后增加

D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车大
两 组 题 讲  透
                    x-t图像的应用技巧

        在x-t图像中,图像上某点的斜率表示对应时刻的
        速度,斜率为正表示速度方向与正方向相同,斜
        率为负表示速度方向与负方向相同。
                                                     第2课  
                                                    方法便笺
                                                      P8


                                  提示:x-t图像不是描
                                  述轨迹或路程随时间
                                  变化的图像。
两  组 题  讲 透
                       x-t图像的应用技巧
         提示:x-t图像不是描述轨迹或路程随时间变化的图
         像。


                                                            第2课  
                                                           方法便笺
                                                             P8


         x-t图像中,斜率绝对值的变化反映加速度的方向。斜率的绝对
         值逐渐增大则物体加速度与速度同向,物体加速运动;反之,
         斜率绝对值逐渐减小则物体加速度与速度反向,物体减速运
         动。
两  组 题  讲  透

         可以根据x-t图像计算物体的路程,相应地可以计算平均速
         率。
                          示例:0~t2内的路程s=-(x1-x0)-x1=x0-2x1,

                                平均速率

                                                                   第2课  
                                                                  方法便笺
                                   提示:x-t图像中纵坐标表示物体                 P9
                                   的位置,有正负,末位置减初位
                                   置表示物体位移,也有正负。

           如果能求得二次型x-t图像的表达式x=mt2+nt+c同                               比

           较系数得,a=2m,v0=n,c是物体的初始位置。
两  组 题  讲  透

 (4)研究表明,一般人的刹车反应时间,即图(a)中“反应过程”所用时间t0=0.4 s,但
 饮酒会导致反应时间延长,在某次试验中,志愿者少量饮酒后驾车在试验场的水平
 路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶距离L=39 m。减速过程中汽车位
 移x与速度v的关系曲线如图(b)所示,此过程可视为匀变速直线运动。求:
 图(a)图(b)①减速过程汽车加速度的大小及所用时间;                                       第2课  
                                                                 第(4)题
 ②饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少?                                             P9
两 组 题 讲  透
解析:
 ①设减速过程中汽车加速度的大小为a,所用时间为t,由题图(b)

 可得初速度v0=72   km/h=20 m/s,末速度vt=0,位移x=25   m,由运
 动学公式得 v   2=2ax       ①     t=                ②
           0                                         第2课  
                 2                                  第(4)题
 ①②联立解得a=8 m/s      ③     t=2.5 s       ④             P9
 ②设志愿者反应时间为t′,反应时间的增加量为Δt,由运动学公式

 得L=v0t′+x        ⑤    Δt=t′-t0          ⑥
 ⑤⑥联立解得Δt=0.3 s       ⑦
答案:①8 m/s2,2.5 s      ② 0.3 s
两  组 题  讲  透

                          x-v关系图像的应用技巧

                  2 2
 x与v的关系式:2ax=v    -v0           图像表达式:

                 该图线可以表示物体从x0处匀加速运动到位置坐标
                 为0处,也可以表示物体从位置坐标为0处匀减速
                                                                   第2课  
                 运动到x0处。                                          方法便笺
                                                                    P9
                          提示:不能仅根据x与v的关系图像判断物体
                          运动的方向,要根据题意进一步判断。
                    图线与v轴的交点:物体位置坐标为0时的速度。

 x与v的两种关系图像
                   提示:物体位置坐标为0时的速度不一定是初速度。物体
                   的初位置不一定是原点。
两  组 题  讲  透

   x与v的两种关系图像


                                      提示:加速度的正负,只表
                                      示加速度的方向与选定的正                 第2课  
                   斜率:                方向相同或相反,不表示物                方法便笺
                                      体的加速度方向与运动速度                  P9
                                      方向相同或相反。
两 组 题 讲  透

(5)(多选)一物体做直线运动,其加速度随时间变化的a-t 图像如图所
示。下列v-t图像中,可能正确描述此物体运动的是(           )


                                                     第2课  
                                                    第(5)题
                                                      P9
两 组 题 讲  透
解析:
 在0  ~    内,物体沿加速度方向做匀变速运动,v-t图像是倾斜的
 直线。在       ~T内,加速度为0,物体做匀速直线运动或处于静止

 状态,v-t图像是平行于t轴的直线。在T~2T内,加速度反向,物                    第2课  
                                                    第(5)题
 体做匀变速直线运动,到2T时刻速度与初速度相同,v-t图像是向                      P9
 下倾斜的直线,故A项、C项均正确,B项、D项均错误。
两 组 题 讲  透

 (5)(多选)一物体做直线运动,其加速度随时间变化的a-t 图像如图
 所示。下列v-t图像中,可能正确描述此物体运动的是(    AC        )


                                                     第2课  
                                                    第(5)题
                                                      P9
两 组 题 讲  透

(6)如图所示,滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面,
从顶端下滑,直至速度为零。对于该运动过程,若用h、s、v、a
分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小,t表示时
间,则下列图像最能正确描述这一运动规律的是(           )

                                                     第2课  
                                                    第(6)题
                                                     P10
两 组 题 讲  透
解析:
 滑块沿斜面下滑过程中,受重力、支持力和滑动摩擦力作用,做
 匀减速直线运动,故速度—时间图像为向下倾斜的直线,故C项

 错误。滑块加速度保持不变,故D项错误。设滑块的加速度大小                        第2课  
                                                    第(6)题
                       2
 为a,则滑块的位移s=v0t-       at ,s-t图像为开口向下的抛物线,故          P10
 B项正确。设斜面倾角为θ,滑块下降高度h=ssin θ,所以h-t图像
 也是开口向下的抛物线,故A项错误。
两 组 题 讲  透

(6)如图所示,滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面,
从顶端下滑,直至速度为零。对于该运动过程,若用h、s、v、a
分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小,t表示时
间,则下列图像最能正确描述这一运动规律的是(     B      )

                                                     第2课  
                                                    第(6)题
                                                     P10
两 组 题 讲  透
               解析法和排除法结合提高选择图像
                 类型题目的解题准确率和速度
       解析法
       求解坐标轴表示的物理量之间的关系式,确定图像的

       形状、斜率、截距等。                                    第2课  
                               h=ssin        (     是定值) 方法便笺
                                                     P10
两 组 题 讲  透     解析法和排除法结合提高选择图像
                 类型题目的解题准确率和速度
       排除法
       定性分析图像的形状、斜率、截距等并用于排除错误
       答案。
                    物体加速度恒定
                                                     第2课  
                                                    方法便笺
                                                     P10
两 组 题 讲  透

 (7)一辆汽车在平直公路上以3 m/s2的加速度由静止开始行驶,此
 时在汽车前方18 m处一辆自行车正以6 m/s的速度匀速行驶,求:
 ①汽车开动后,追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最
                                                     第2课  
 远距离是多少?                                            第(7)题
                                                     P10
 ②经过多长时间汽车追上自行车,此时汽车的速度是多少?
两  组 题 讲  透
解析:

 ①两车相距最远时速度相等,即有v汽= v自=6 m/s

 此时汽车运动的时间t1=        =2 s

 此过程中自行车位移x自= v自t1=12 m
                                                          第2课  
                                                        第(7)题
 汽车的位移x汽=              =6 m
                                                          P10

 故汽车追上自行车前两车的最远距离为Δxmax=x0+x自- x汽=24 m

 ②汽车追上自行车时有            =v自t+x0
 解得t=6 s
 此时汽车的速度v=at=18 m/s
答案:①2 s,24 m     ②6 s,18 m/s
两        透
  组 题 讲        速度小的物体追速度大的物体类型题目
 小积累                   的特点和解题关键点
                            解题关键
                            两者相遇时,位移差x       等于初
   以上题的情景为例                                 3
                            始距离x0。
                            特点                       第2课  
                                                     小积累
                            ①速度小的物体加速度更大。            P10
                            ②速度小的物体能追上速度大
                            的物体,超越之后二者不会再
                            相遇。
                            ③必然在某一时刻两物体共速
                            ,共速时两物体位移差最大。
两 组 题 讲  透


(8)一辆客车以速度v1前进,司机发现前面在同一直线上有辆货车

                                                     第 课  
正在以v2匀速前进,且v2<v1,货车车尾与客车车头距离为s,客                      2
                                                    第(8)题
车立即刹车,做匀减速运动,而货车仍保持原速度前进。求客车                         P10
的加速度大小符合什么条件时,客车与货车不会相撞?
两  组 题 讲  透
 解析:
 设客车的加速度大小为a时,刚好撞上货车,所用时间为t,则

                 2 
 客车位移x1=v1t-       at     ①

 货车位移x2=v2 t        ②
                                                          第2课  
 刚撞上时有x    -x =s    ③                                   第(8)题
          1 2                                             P10

 v2=v1-at        ④
 ①②③④联立解得a=
 故客车的加速度大小至少为                   时,客车与货车不会相撞。

 答案:
两 组 题 讲  透

(9)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t 图像如图所
示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则(          )
A.在t=1 s时,甲车在乙车后
                                                     第2课  
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m                                 第(9)题
                                                     P10
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之
间沿公路方向的距离为40 m
两  组 题 讲  透

解析:
 由图像知,在1~3      s内,两车的位移相等,又两车在t=3          s时并排行驶,
 所以两车在t=1    s时也并排行驶,故A项、C项均错误。t=1            s时两车并排

 行驶,即两车相遇,则0~1        s内有x乙=x甲+Δx,v-t图线与坐标轴围成的面           第2课  
                                                        第(9)题
 积表示位移,则在t=0时,甲车在乙车前的距离Δx                                 P10
 =7.5 m,故B项正确。甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向
 的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的位移Δx′
 =40 m,故D项正确。
两 组 题 讲  透

(9)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t 图像如图所
示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则BD(          )
A.在t=1 s时,甲车在乙车后
  在   时,甲车在乙车前                                       第2课  
B.  t=0             7.5 m                           第(9)题
                                                     P10
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之
间沿公路方向的距离为40 m
两 组 题 讲  透
 小积累            速度大的物体追速度小的物体问题的
                    4种类型及其特点和解题关键

         假定物体a追物体b,两者初始距离为x0。

          图示                                         第2课  
                                                     小积累
                                                     P11
两 组 题 讲  透
 小积累            速度大的物体追速度小的物体问题的
                    4种类型及其特点和解题关键


          图示                                         第2课  
                                                     小积累
                                                     P11
两 组 题 讲  透
 小积累            速度大的物体追速度小的物体问题的
                    4种类型及其特点和解题关键


          图示                                         第2课  
                                                     小积累
                                                     P11
两 组 题 讲  透      速度大的物体追速度小的物体问题的
 小积累                4种类型及其特点和解题关键


          图示                                         第2课  
                                                     小积累
                                                     P11
两 组 题 讲  透

(10)一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以10 m/s的速
度匀速行驶的货车严重超载时,决定前去追赶,经过5.5 s后警车发动
起来,并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动,但警车的行驶速度必须
                                                     第2课  
控制在90 km/h以内。                                      第(10)题
                                                     P11
①警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少?
②判定警车在加速阶段能否追上货车(要求通过计算说明);
③警车发动后要多长时间才能追上货车?
两  组 题 讲  透

解析:
 ①警车在追赶货车的过程中,当两车速度相等时,它们的距离最大,设警车

 发动后经过t1时间两车的速度相等,则t1=               ①

 两车速度相等时两车的位移分别为                                          第2课  
                                                        第(10)题
 x货= v货(t0+t1)        ②                                   P11
         2                   
 x警=       at1 ③

 所以两车间的最大距离Δx=x货-x警              ④
 ①②③④联立解得Δx=75 m
两  组 题 讲  透
 ②当警车刚达到最大速度时,运动时间

 t2=            ⑤

 x货1= v货(t0+t2)        ⑥
         2                   
 x警1=      at2 ⑦
                                                          第2课  
                                                        第(10)题
 ⑤⑥⑦联立解得x货1=155 m>x警1=125 m,故此时警车尚未追上货车。
                                                          P11
 ③警车刚达到最大速度时两车距离Δx1=x货1-x警1        ⑧
 警车达到最大速度后做匀速运动,设再经过Δt时间追赶上货车,以货车

 为参考系,则                                     t=t2+Δt        ⑩
 ⑧⑨⑩联立得t=12 s    即警车发动后12 s才能追上货车。
 答案:①75 m     ②不能(计算说明见解析)    ③12 s
两  组 题  讲  透

 小提示

           有限制条件的追及、相遇问题的解题关键是两物
           体的位移差等于初始距离。

          因为运动情况复杂,所以有限制条件的追及、相图示                                  第2课  
          遇问题一般不用相对运动法求解。                                          小提示
                                                                    P11
两  组 题  讲  透

 小积累
                       追及、相遇问题常见的限制条件
           物体有最大速度。

            图示                                                     第2课  
                                                                   小积累
                                                                    P11
           物体有最小速度,一般是匀减速到0后立即停止。

           其他限制条件,使物体的运动状态发生改变。
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