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2018-2019学年高中物理人教版必修二 第五章 微型专题1 运动的合成与分解

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第五章 曲线运动
微型专题1 运动的合成与分解
[学习目标]
1.理解合运动、分运动的概念,掌握运动的合成与分解的方法.
2.能利用运动的合成与分解的知识,分析小船渡河问题和关联速度
问题.
内容索引


    自主预习                             重点探究                              达标检测
 预习新知 夯实基础                         启迪思维 探究重点                        检测评价 达标过关
自主预习
一、运动描述的实例——蜡块运动的研究

1.蜡块的位置:如图1所示,蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy,玻璃

管向右匀速移动的速度设为vx,从蜡块开始运动的时刻开始计时,在某
时刻t,蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示:x= v  x   t  ,y= v  y    t  .

2.蜡块的速度:大小v=                 ,方向满足
  
tan θ=       .
3.蜡块运动的轨迹:y=      ,是一条__过原点的______
 直线        .
                                              图1
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动,那么物体 实际发生的运动                          就是合运动
,参与的几个运动
                              就是分运动.       合成
2.运动的合成与分解:已知分运动求合运动,叫运动分解              的        ;已知合
运动求分运动,叫运动的          .
3.运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分平行四边形 三角形
解,遵循                     定则(或             定则).
[即学即用] 
1.判断下列说法的正误.
(1)合运动与分运动是同时进行的,时间相等.(  √             )
(2)合运动一定是实际发生的运动.(  √         )
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大.(  ×            )
(4)两个互成角度的匀速直线运动的合运动,一定也是匀速直线运动.
                                                 (  √ )


                                                      答案
 2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个蜡块能在水中以
 0.1 m/s的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时,使玻璃
 管沿水平方向匀速向右运动,测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角
 ,如图2所示.若玻璃管的长度为1.0          m,在蜡块从底端上升到顶端的过程
 中,玻璃管水平方向的移动速度和沿水平方向运动的距离分别约为


                            图2
 A.0.1 m/s,1.73 m   B.0.173 m/s,1.0 m
 C.0.173 m/s,1.73 m D.0.1 m/s,1.0 m
√                                                 解析    答案
解析 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1,位移为x1,蜡块随玻璃管

水平向右移动的速度为v2,位移为x2,如图所示,


由于合运动与分运动具有等时性,故玻璃管水平移动的时间为10 s.

水平运动的距离x2=v2t=0.173×10 m=1.73 m,故选项C正确.
重点探究
                   一、运动的合成与分解

1.合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动,那么物体实际发生的运动就是合
运动,参与的几个运动就是分运动.
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合
加速度,而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、
分加速度.
2.合运动与分运动的四个特性

   等时性     各分运动与合运动同时发生和结束,时间相同

   等效性       各分运动的共同效果与合运动的效果相同

   同体性         各分运动与合运动是同一物体的运动

   独立性     各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.由于位
移、速度、加速度都是矢量,其合成、分解遵循平行四边形(或三角形)
定则.
(2)对速度v进行分解时,不能随意分解,应按物体的实际运动效果进
行分解.
4.合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动性质时,应先根据平行四边形定则,求出
合运动的合初速度v和合加速度a,然后进行判断.
(1)是否为匀变速判断:

              变化:变加速运动
加速度或合外力
              不变:匀变速运动

(2)曲、直判断:
                       共线:直线运动
加速度或合外力与速度方向
                       不共线:曲线运动
例1   雨滴由静止开始下落,遇到水平方向吹来的风,下述说法中正确
的是 
①风速越大,雨滴下落时间越长 ②风速越大,雨滴着地时速度越大 
③雨滴下落时间与风速无关 ④雨滴着地速度与风速无关
A.①②        √B.②③  C.③④        D.①④
解析 将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向,两个分运动相互独立
,雨滴下落时间与竖直高度有关,与水平方向的风速无关,故①错误
,③正确.
风速越大,落地时,雨滴水平方向分速度越大,合速度也越大,故②
正确,④错误,故选B.
                                                 解析    答案
特别提醒

 1.两分运动独立进行,互不影响.
 2.合运动与分运动具有等时性.
例2 (多选)质量为2      kg的质点在xOy平面内做曲线运动,在x方向的速
度图象和y方向的位移图象如图3所示,下列说法正确的是 


                           图3
√A.质点的初速度为5 m/s
√B.质点所受的合外力为3 N,做匀变速曲线运动
C.2 s末质点速度大小为6 m/s

√D.2 s内质点的位移大小约为12 m                             解析    答案
解析 由题图x方向的速度图象可知,在x方向的加速度为1.5                   m/s2,x方向

受力Fx=3    N,由题图y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动,速

度大小为vy=4 m/s,y方向受力Fy=0.因此质点的初速度为5 m/s,A正确;
受到的合外力恒为3        N,质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上
,故做匀变速曲线运动,B正确;
归纳总结

 在解决运动的合成问题时,先确定各分运动的性质,再求解各分运动
 的相关物理量,最后进行各量的合成运算.
                    二、小船渡河问题

1.小船的运动分析
小船渡河时,参与了两个分运动:一个是船相对水的运动(即船在静水
中的运动),一个是船随水漂流的运动.
2.小船渡河的两类常见问题
(1)渡河时间t
①渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度
大小,即t=     
图4
(2)渡河位移最短问题

①若v水v船,这时无论船头指向什么方向,都无法使船垂直河岸渡河,
即最短位移不可能等于河宽d,寻找最短位移的方法是:如图乙所示,

从出发点A开始作矢量v水,再以v水末端为圆心,以v船的大小为半径画圆弧
,自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头

与河岸夹角θ满足cos θ=     ,最短位移x短=          ,渡河时间t=
例3 已知某船在静水中的速度为v1=4            m/s,现让船渡过某条河,假设

这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,水流速度为v2=3 m/s,
方向与河岸平行,
(1)欲使船以最短时间渡河,渡河所用时间是多少?位移有多大?

答案 25 s 125 m


                                                解析    答案
解析 由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所
用时间最短,河水流速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂
直于河岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为t=                  =25 s.
如图甲所示,当船到达对岸时,船沿河流方向也发生了位移,由直角

三角形的几何知识,可得船的位移为l=                      ,由题意可得x=v2t=
3×25 m=75 m,代入得l=125 m.
(2)欲使船以最小位移渡河,渡河所用时间是多少?


解析 分析可知,当船的实际速度方向垂直于河岸时,船的位移最小

,因船在静水中的速度为v1=4          m/s,大于水流速度v2=3      m/s,故可以
使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示,设船斜指向上游河对岸
,且与河岸所成夹角为θ,


                                                解析    答案
 (3)若水流速度为v2′=5      m/s,船在静水中的速度为v1=4         m/s不变,
 船能否垂直河岸渡河?
答案 不能

 解析 当水流速度v2′=5 m/s大于船在静水中的速度v1=4 m/s时,不

 论v1方向如何,其合速度方向总是偏向下游,故不能垂直河岸渡河.


                                                解析    答案
特别提醒


 1.要使船垂直于河岸横渡,即路程最短,应使v船在水流方向的分速度

 和水流速度等大、反向,这种情况只适用于v船>v水时.

 2.要使船渡河时间最短,船头应垂直指向河对岸,即v船与水流方向垂直.

 3.要区别船速v船及船的合运动速度v合,前者是发动机或划行产生的分
 速度,后者是合速度.
针对训练1 (多选)下列图中实线为河岸,河水的流动方向如图中v的箭头
所示,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是 


      √             √
解析 小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动.虚线为
小船从河岸M驶向对岸N的实际航线,即合速度的方向,小船合运动的速
度方向就是其真实运动的方向,分析可知,实际航线可能正确的是A、B.

                                                 解析    答案
                   三、关联速度分解问题


关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了
方便,统一说“绳”):
(1)物体的实际速度一定是合速度,分解时两个分速度方向应取沿绳
方向和垂直绳方向.
(2)由于绳不可伸长,一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.
(3)常见的速度分解模型(如图6)


                          图6
例4 如图7所示,用船A拖着车B前进时,若

船匀速前进,速度为vA,当OA绳与水平方向
夹角为θ时,则:(与B相连的绳水平且定滑轮
的质量及摩擦不计)

(1)车B运动的速度vB为多大?                              图7

答案 vAcos θ

解析 把vA分解为一个沿绳方向的分速度v1和一个垂

直于绳的分速度v2,如图所示,所以车前进的速度vB

大小应等于vA的分速度v1,即vB=v1=vAcos θ.

                                                 解析    答案
(2)车B是否做匀速运动?


答案 不做匀速运动

解析 当船匀速向前运动时,θ角逐渐减小,车速vB将逐渐增大,因此
,车B不做匀速运动.

                                                 解析    答案
针对训练2 如图8所示,A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑,经细绳通过
光滑轻质定滑轮拉动物体B在水平方向上运动.当细绳与水平面夹角为θ

时,求物体B运动的速度vB的大小.


                           图8
答案 vsin θ

                                                 解析    答案
解析 物块A沿杆向下运动,有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的
两个效果,因此绳子端点(即物块A)的速度可分解为沿绳子方向和垂直
于绳子方向的两个分速度,如图所示.


其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度vB.

则有vB=vsin θ.
达标检测
 1.(合运动性质的判断)(多选)关于运动的合成与分解,下列说法中正确
 的是 
 A.物体的两个分运动是直线运动,则它们的合运动一定是直线运动
√B.若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动,
     则合运动一定是曲线运动
√C.合运动与分运动具有等时性
√D.速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则


                  1  2 3 4  5                          答案
 2.(两分运动的合成)(多选)一质量为2         kg的质点在如图9甲所示的xOy平面内
 运动,在x方向的速度-时间(v-t)图象和y方向的位移-时间(y-t)图象分
 别如图乙、丙所示,由此可知 


                            图9
 A.t=0时,质点的速度大小为12 m/s
√B.质点做加速度恒定的曲线运动
√C.前2 s,质点所受的合力大小为10 N
 D.t=1 s时,质点的速度大小为7 m/s
                   1  2 3 4  5                      解析   答案
解析 由v-t图象可知,质点在x方向上做匀减速运动,初速度大小为
12 m/s,而在y方向上,质点做速度大小为5           m/s的匀速运动,故在前2       s
内质点做匀变速曲线运动,质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合

速度,则初速度大小:v0=                        =13 m/s,故A错误,B正确;
由v-t图象可知,前2 s,质点的加速度大小为:a=    =5 m/s2,根据牛
顿第二定律,前2      s质点所受合外力大小为F=ma=2×5          N=10  N,故C
正确;
t=1 s时,x方向的速度大小为7 m/s,而y方向速度大小为5 m/s,因此质
点的速度大小为                                         ,故D错误.

                 1  2 3 4  5
3.(合运动轨迹的判断)如图10所示,一玻璃管中注满清水,水中放一软木做成
的木塞R(木塞的直径略小于玻璃管的直径,轻重大小适宜,使它在水中能匀速
上浮).将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲).现将玻璃管倒置(图乙),在木塞匀速
上升的同时,将玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动.观察木塞的运动,将
会看到它斜向右上方运动,经过一段时间,玻璃管移到图丙中虚线所示位置,
木塞恰好运动到玻璃管的顶端,则能正确反映木塞运动轨迹的是 


                           √
                                                    图10
                    1  2 3  4 5                       解析    答案
解析 木塞参与了两个分运动,竖直方向在管中以v1匀速上浮,水平

方向向右做匀加速直线运动,速度v2不断变大,将v1与v2合成,如图,

由于曲线运动的速度沿着曲线上该点的切线方向,又由于v1不变,v2
不断变大,故θ不断变小,即切线方向与水平方向的夹角不断变小,故
A、B、D均错误,C正确.


                 1  2 3 4  5
4.(关联速度问题)(多选)如图11所示,一人以恒定速度v0通过光滑轻质
定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动,当运动到图示位置时,
细绳与水平方向成45°角,则此时 
A.小车运动的速度为
√B.小车运动的速度为
√C.小车在水平面上做加速运动
D.小车在水平面上做减速运动                            图11


                  1  2 3 4  5                    解析    答案
解析 将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,如图所示
,


人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度大小是相等的,根据三角函

数关系vcos 45°=v0,则v=                         ,B正确,A错误.
随着小车向左运动,小车与水平方向的夹角越来越大,设夹角为α,
由v=         知v越来越大,则小车在水平面上做加速运动,C正确,D错误.

                 1  2 3 4  5
5.(小船渡河问题)小船在200      m宽的河中横渡,水流速度是2           m/s,小船
在静水中的航速是4 m/s.求:
(1)要使小船渡河耗时最少,应如何航行?最短时间为多少?
答案 船头正对河岸航行耗时最少,最短时间为50 s
解析 如图甲所示,船头始终正对河岸航行时耗时最少,即最短时间


                 1  2 3 4  5                    解析    答案
(2)要使小船航程最短,应如何航行?最短航程为多少?
答案 船头偏向上游,与河岸成60°角,最短航程为200 m

解析 如图乙所示,航程最短为河宽d,即最短航程为200                 m,应使v合′
的方向垂直于河岸,故船头应偏向上游,与河岸成α角,有cos α=


                 1  2 3 4  5                    解析    答案
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