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2018版提分宝典-物理A:全国版-第27课 磁场对运动电荷的作用

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                        第 27 课    磁场对运动电荷的作用

1.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动
a.应用左手定则判断带电粒子在磁场中的运动轨迹
(1)(2015 重庆理综,6    分)图中曲线    a、b、c、d    为气泡室中某放射物质发生衰变放出的部分
粒子的径迹,气泡室中磁感应强度方向垂直于纸面向里。以下判断可能正确的是(  )


A.a、b   为 β 粒子的径迹          B.a、b   为 γ 粒子的径迹
C.c、d   为 α 粒子的径迹          D.c、d   为 β 粒子的径迹
答案:D
解析:射线在磁场中向右运动时,对于带正电荷的射线,根据左手定则可以判断它将向上
偏转;对于带负电荷的射线,可以判断它将向下偏转;对于不带电的射线,不偏转。由此
可以判定    a、b  带正电,c、d     带负电,故     A 项、B   项、C  项均错误,D      项正确。

              v2
b.根据   qvB=m  R 求解带电粒子在磁场中的运动速度
(2)(2013 全国Ⅰ,6   分)如图,半径为      R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁
感应强度大小为       B,方向垂直于纸面向外。一电荷量为                q(q>0)、质量为    m 的粒子沿平行于
                                             R
直径   ab 的方向射入磁场区域,射入点与             ab 的距离为2。已知粒子射出磁场与射入磁场时
运动方向间的夹角为         60°,则粒子的速率为(不计重力)(  )


  qBR      qBR      3qBR      2qBR
A. 2m     B. m     C. 2m     D. m
答案:B
                                  R
解析:由题意可知射入点与            ab 的距离为2,则射入点与圆心的连线和竖直方向之间的夹角
是  30°,粒子的偏转角是       60°,即它的轨迹圆弧对应的圆心角是               60°,所以入射点、出射点
和圆心构成等边三角形,它的轨迹的半径与圆形磁场的半径相等,即                             r=R,轨迹如图所示。
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                               mv2          qBR
根据洛伦兹力提供向心力,有             qvB=  R ,解得    v=  m ,故  B 项正确。

          θ
c.利用   t=2πT 求解带电粒子在磁场中的运动时间
(3)(经典题,6   分)如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以
速度   v 从 A 点沿直径   AOB  方向射入磁场,经过         Δt 时间从  C 点射出磁场,OC       与 OB 成
                            v
60°角。现将带电粒子的速度变为3,仍从               A 点射入磁场,不计重力。则粒子在磁场中的运
动时间变为(  )


  1                   1
A.2Δt     B.2Δt     C.3Δt     D.3Δt
答案:B
解析:带电粒子运动的轨迹如图所示,设圆形磁场区域的半径为                           R,以速度     v 射入时,半
        mv                             R                             θ   1
                                                   3
径为   r1=qB。根据几何关系可知         tan    30°=r1,解得   r1=  R,运动时间为       t=2πT=6T=
          v                 mv           r1  3R

Δt。以速度3射入时,半径为           r2=3qB,所以    r2= 3 = 3 。设第二次射入时转过的圆心角为
                       θ′ R                                          T
θ′,根据几何关系可知         tan 2=r2=  3,所以   θ=120°。则第二次运动的时间为           t′=3=2Δt,
故  B 项正确。


2.带电粒子在磁场中运动的多解问题
a.磁场方向(或粒子电性)不确定造成带电粒子偏转方向不确定形成多解
(4)(多选)(经典题,6     分)如图所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷

做匀速圆周运动,周期为           T0,轨道平面位于纸面内,质点的速度方向如图中箭头所示。现
加一垂直于轨道平面的匀强磁场,已知轨道半径并不因此而改变,则(  )
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A.若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将大于                     T0

B.若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于                     T0

C.若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将大于                     T0

D.若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于                     T0
答案:AD
                                                 kQq
解析:在未加磁场时,根据牛顿第二定律和库仑定律,有                         r2 =    。加磁场时,根据牛顿
                                                     kQq
第二定律、库仑定律和洛伦兹力公式,若磁场方向指向纸里,                          r2 -qvB=m      r,则
                           kQq

T1>T0。若磁场方向指向纸外,            r2 +qvB=m     r,则  T2<T0。故   A 项、D   项均正确,
B 项、C   项均错误。

(5)(2017 晋江模拟,12    分)如图所示,第一象限范围内有垂直于                xOy 平面的匀强磁场,磁感
应强度为    B。质量为     m,电量大小为      q 的带电粒子在      xOy 平面内经原点      O 射入磁场中,初

速度   v0 与 x 轴正方向夹角    θ=60°,求:


①带电粒子从何处离开磁场?穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大;
②带电粒子在磁场中运动时间多长。
                                          3mv0
答案:①若带电粒子带负电,在              x 轴上从距   O 点   qB  处离开磁场(3    分),穿越磁场时运动
                                                                mv0
方向发生的偏转角为         120°(1 分);若带电粒子带正电,在             y 轴上从距   O 点  qB 处离开磁场
(3 分),穿越磁场时运动方向发生的偏转角为                60°(1 分) ②若带电粒子带负电,在磁场中运
        2πm                                          πm
动时间为3qB(2    分);若带电粒子带正电,在磁场中运动时间为3qB(2                   分)

解析:①若带电粒子带负电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为                            O1,粒子向    x 轴偏转,
并从   A 点离开磁场,运动轨迹如图所示。


运动方向发生的偏转角为           θ1=120°(1 分)
A 点与  O 点的距离为     x=  3R(1 分)


根据洛伦兹力提供向心力,有             qv0B=m      (1 分)
                      3mv0
联立以上两式,解得         x=  qB  (1 分)

若带电粒子带正电,进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为                        O2,粒子向     y 轴偏转,并从     B 点
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离开磁场,运动轨迹如图所示。

运动方向发生的偏转角为           θ2=60°(1 分)
                        mv0
B 点与  O 点的距离为     y=R=   qB (3 分)
②带电粒子运动一周所用的时间为
   2πm
T=  qB
若粒子带负电,它从         O 到 A 所用的时间为
    θ1    2πm

t1=360°T=3qB(2 分)
若粒子带正电,它从         O 到 B 所用的时间为
    θ2    πm

t2=360°T=3qB(2 分)

b.临界状态不唯一形成多解
(6)(2017 南充模拟,19    分)一半径为    R 的薄圆筒处于磁感应强度大小为              B 的匀强磁场中,
磁场方向与筒的中心轴线平行,筒的横截面如图所示。图中直径                           MN  的两端分别开有小孔,
筒可绕其中心轴线转动,圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变。一不计重

力的带负电粒子从小孔          M 沿着   MN 方向射入磁场,当筒以大小为             ω0 的角速度转过     90°时,
该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒。


①若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞,求该粒子的比荷和速率分别是多大?
②若粒子速率不变,入射方向在该截面内且与                    MN 方向成   30°角,则要让粒子与圆筒无碰
撞地离开圆筒,圆筒角速度应为多大?
        ω0                               3n+1                  3n+2

答案:①    B  ω0R(6 分) ②圆筒角速度大小应为             2  ω0(顺时针转动)或者        2  ω0(逆时针
转动),其中     n=0,1,2,3,… (13     分)
解析:①若粒子沿        MN  方向入射,当筒转过         90°时,粒子从     M 孔(筒逆时针转动)或       N 孔(筒
顺时针转动)射出,作粒子轨迹             1 如图所示。


由轨迹   1 可知半径    r=R(1 分)
                               mv2
根据洛伦兹力提供向心力,有             qvB=  R (1 分)
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                   2πR  2πm
解得粒子运动周期        T=  v =  qB (1 分)
                   π
                   2   π
筒转过   90°的时间    t=ω0=2ω0(1 分)
     T   πm
又  t=4=2qB
                      q  ω0
联立以上式子,解得比荷m=            B  (1 分)

粒子的速率     v=ω0R (1 分)
②若粒子与     MN  方向成   30°入射,速率不变则半径仍为            R,作粒子轨迹      2 如图所示,轨迹
                                                       2π
2 圆心为   O′,则四边形     MO′PO  为菱形,可得∠MO′P=∠MOP=           3
            π
所以∠NOP=3(1     分)
                   2π
                   3    T
则粒子偏转的时间        t=2πT=3(1  分)
      2π
又  T=ω0 
                     2π
联立以上式子,解得         t=3ω0 (1 分)
由于转动方向与射出孔不确定,讨论如下:

当圆筒顺时针转动时,设筒转动的角速度变为                    ω1,
若从   N 点离开,则筒转动时间满足
   π
    +2kπ
   3
t=  ω1  (1 分)
         3·2k+1

解得   ω1=   2   ω0,其中   k=0,1,2,3,…(1      分)
若从   M 点离开,则筒转动时间满足
   π
    +(2k+1)π
   3
t=     ω1    (1 分)
         3(2k+1)+1

解得   ω1=     2     ω0,其中   k=0,1,2,3,…(1      分)
            3n+1

综上可得    ω1=   2  ω0,其中   n=0,1,2,3,…(1      分)

当圆筒逆时针转动时,设筒转动的角速度变为                    ω2,
若从   M 点离开,则筒转动时间满足
   2π
     +2kπ
   3
t=   ω2  (1 分)
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         3·2k+2

解得   ω2=   2   ω0, 其中 k=0,1,2,3,…(1      分)
若从   N 点离开,则筒转动时间满足
   2π
     +(2k+1)π
   3
t=     ω2     (1 分)
         3(2k+1)+2

解得   ω2=     2     ω0,其中   k=0,1,2,3,…(1      分)
            3n+2

综上可得    ω2=   2  ω0,其中   n=0,1,2,3,…(1      分)
                                3n+1           3n+2

综上所述,圆筒角速度大小应为              ω1=   2 ω0 或者  ω2=   2  ω0,其中   n=0,1,2,3,…

c.运动的往复性形成多解
(7)(经典题,12   分)如图所示,在       x<0 与  x>0 的区域中,存在磁感应强度大小分别为

B1 与 B2 的匀强磁场,磁场方向均垂直于纸面向里,且                  B1>B2。一个带负电荷的粒子从坐

标原点   O 以速度    v 沿 x 轴负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过                    O 点,B1  与

B2 的比值应满足什么条件?


      n+1
答案:    n  (n=1,2,3,…)(12    分)

解析:粒子在整个运动过程中的速度大小恒为                    v,交替地在     xOy 平面内   B1 与 B2 磁场区域
中做匀速圆周运动,轨道都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为                                 m 和 q,圆

周运动的半径分别为         r1 和 r2,有
    mv

r1=qB1①(2  分)
    mv

r2=qB2②(2  分)

在  xOy 平面内,粒子先沿半径为          r1 的半圆  C1 运动至   y 轴上离  O 点距离为     2r1 的 A 点,接

着沿半径为     r2 的半圆  D1 运动至   y 轴上  O1 点,如图所示。

OO1 的距离   d=2(r2-r1)③(2 分)


此后,粒子每经历一次            “回旋”(即从     x 轴出发沿半径为       r1 的半圆和半径为      r2 的半圆回到

原点下方的     y 轴),粒子的纵坐标就减小          d,设粒子经过      n 次回旋后与     y 轴交于   On 点,若
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OOn 即 nd 满足  nd=2r1④(2 分)

则粒子再经过半圆        Cn+1 就能够经过原点,式中         n=1,2,3,…,为回旋次数
              r1   n
③④联立,解得r2=n+1(n=1,2,3,…)⑤(2             分)

①②⑤联立,解得        B1、B2 应满足的条件
B1  n+1
B2=   n  (n=1,2,3,…)(2   分)

3.带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
a.单直线边界型的临界极值问题
(8)(经典题,12   分)如图所示,S      为一个电子源,它可以在纸面内              360°范围内发射速率相同
的质量为    m、电量为     e 的电子,MN     是一块足够大的挡板,与           S 的距离  OS=L,挡板在靠
近电子源一侧有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为                         B。求:


①若使电子源发射的电子能到达挡板,则发射速度最小为多大?
②如果电子源      S 发射电子的速度为第①问中的             2 倍,则挡板上被电子击中的区域范围有多
大?
        BeL
答案:①    2m (4 分) ②(1+   3)L (8 分)
解析:①电子射出方向不同,其在匀强磁场中的轨迹不同,每个电子的圆轨道的圆心都位
                           mv
于以射出点     S 为圆心、半径      r=eB的圆弧上,如图(a)所示。欲使电子有可能击中挡板,电
                  L
子的轨道半径至少为2。


                                v2
根据洛伦兹力提供向心力,有             evB=m  r  (1 分)
   L
r=2(1 分)
                     BeL
联立以上两式,解得         v= 2m (1 分)
                       BeL
即电子源的发射速度至少为            2m  (1 分)
                    BeL                               mv′
②当发射速度      v′=2v=  m  时,电子圆周运动的轨道半径为             r′= eB =L (1 分)
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此时从电子源发出的电子能击中挡板的最左位置                    A 和最右位置     C,如图(b)所示。


由几何关系可知,OA=          AS2-OS2 (1 分)
AS=2r′(1 分)
OS=r′(1 分)
OC=r′(1 分)
联立以上式子,解得         OA=   3L(1 分)
OC=L (1 分)
故被电子打中的区域长度为
AC=OA+OC=(1+      3)L (1 分)

b.双直线边界型的临界极值问题
(9)(经典题,21   分)如图所示,在       0≤x≤   3a 区域内存在与     xOy 平面垂直的匀强磁场,磁感
应强度的大小为       B。在   t=0 时刻,一位于坐标原点的粒子源在              xOy 平面内发射出大量同种
带电粒子,所有粒子的初速度大小相同,方向与                    y 轴正方向夹角分布在         0~180°范围内。
                                                       3
已知沿   y 轴正方向发射的粒子在          t=t0 时刻刚好从磁场边界上         P( a,a)点离开磁场。求:


                                           q
①粒子在磁场中做圆周运动的半径               R 及粒子的比荷m;
②此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与                   y 轴正方向夹角的取值范围;
③从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
        2 3         2π
答案:①     3 a(4 分) 3Bt0(4 分) ②速度与     y 轴的正方向的夹角范围是           60°到 120°(7 分) 

③从粒子发射到全部离开所用时间为                2t0(6 分)
解析:①初速度与        y 轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图(a)中的弧                    OP 所示,连接
OP,作   OP 的垂直平分线交       x 轴于  C 点,则圆心为      C。
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                                                          2π
由几何关系可知,∠POC=30°,△OCP             为等腰三角形,故∠OCP=           3 ①(1 分)
                             T

此粒子飞出磁场所用的时间为             t0=3②(1 分)
式中   T 为粒子做圆周运动的周期
                                                    2 3
设粒子运动速度的大小为           v,半径为    R,由几何关系可得         R=  3 a③(2 分)
根据洛伦兹力公式提供向心力,有
       v2
qvB=m  R ④(1 分)
   2πR
T=  v ⑤(1 分)
                  q   2π
②③④⑤联立,解得m=3Bt0⑥(2           分)
②仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于                 120°,粒子角度最小时从磁场右边界穿出,角度最
大时从磁场左边界穿出。依题意,若所有粒子在磁场中转动时间相同,则转过的圆心角相

同,故弦长相等,即同一时刻仍在磁场内的粒子到                     O 点距离相同。在       t0 时刻仍在磁场中的
粒子应位于以      O 点为圆心、OP      为半径的弧     MN  上(弧  MN 只代表初速度与       y 轴正方向为
60°时粒子的运动轨迹)如图(a)所示。

设此时位于     P、M、N    三点的粒子的初速度分别为            vP、vM、vN。由对称性可知        vP 与 OP、
                           π

vM 与 OM、vN  与  ON 的夹角均为3(2    分)。

设  vM、vN 与 y 轴正向的夹角分别为         θM、θN,由几何关系,有
    π

θM=3⑦(2  分)
    2π

θN= 3 ⑧(2 分)
对于所有此时仍在磁场中的粒子,其初速度与                    y 轴正方向所成的夹角        θ 应满足
π     2π
3≤θ≤  3 (1 分)
③在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图(b)所示。
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由几何关系可知       OM=OP(1   分)
由对称性可知      ME=OP(1   分)
由图(b)可知,运动轨迹的圆心角为             240°(2 分)

从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间为                    2t0(2 分)

c.四边形(或三角形)边界型的临界极值问题
(10)(经典题,14   分)如图所示,一足够长的矩形区域               abcd 内有磁感应强度为       B,方向垂直
于纸面向里的匀强磁场。现从             ad 边的中点    O 处,以垂直磁场且跟         ad 边成 30°角的速度方
向射入一带正电的粒子。已知粒子质量为                  m,电荷量为     q,ad  边长为   l,不计粒子重力。求:


①若要粒子从      ab 边上射出,则入射速度          v0 的范围是多少?
②粒子在磁场中运动的最长时间为多少?


        qBl   qBl         5πm

答案:①3m
	
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