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2018秋教科版高中物理必修1同步:第1章 8. 匀变速直线运动规律的应用

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          8. 匀变速直线运动规律的应用

                 学  习  目  标                         知  识  脉  络
 1.了解匀变速直线运动的位移与速度的关系推导
 方法.

 2.理解匀变速直线运动的位移与速度的关系.                   (重
点)
 3.掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和
 时间之间的相互联系,会用公式解决匀变速直线

 运动的问题.(难点)


                                  位  移  与  速  度  的  关  系


     [先填空]

     1.位移与速度的关系式:vt2-v02=2ax,若              v0=0,则关系式为       vt2=2ax.

     2.公式推导:由速度公式           vt=v0+at,      ①
                    1
                      2
     位移公式    x=v0t+2at ,                         ②
     由①②式解得      vt2-v02=2ax.

     3.位移与速度关系式是矢量式,使用时应先规定正方向,以便确定                             v0、
 v、a、x  的正负.

     [再判断]

     1.公式   vt2-v20=2ax 中 v20前面的“-”号表示        v0 的方向.(×)
                     vt2-v20    vt-v0
     2.加速度公式      a=   2x 和  a=   t  ,既适用于匀变速直线运动,又适用
 于非匀变速直线运动.(×)

                               1         vt+v0      vt2-v20
                                    2
     3.计算位移的关系式         x=v0t+2at   、x=    2  t 和 x=  2a  都是只适用于
 匀变速直线运动.(√)
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     [后思考] 

     如果你是机场跑道设计师,若已知飞机的加速度为                      a,起飞速度为       vt,你
 应该如何来设计飞机跑道的长度?
     【提示】 (1)飞机跑道应为较宽阔的直线跑道;

                                                              v2t-v20
     (2)由速度位移关系式       v2t-v20=2ax 得,飞机跑道的最小长度为            x=   2a  =
 v2t
 2a.


     [合作探讨]
     探讨  1:回忆前面几节讲过的匀变速直线运动的基本规律公式.
                                Δv
     【提示】 (1)加速度定义式          a=Δt

     (2)速度公式   vt=v0+at            ①

                      1
                          2
     (3)位移公式   x=v0t+2at           ②
     (4)由①、②两式消去       t,即得   v2t-v20=2ax.

     探讨  2:物体做初速度为         v0,加速度为     a 的匀加速直线运动,取初速度的

 方向为正方向,应用公式           vt2-v02=2ax 求解运动位移       x 时的速度    vt,vt 有一正
 一负两解,两解都有意义吗?为什么?
     【提示】 物体做单一方向的加速直线运动,速度不可能是负值,故正值
 有意义,负值无意义应舍掉.

     [核心点击]
     1.适用条件:公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于
 匀变速直线运动.

     2.公式的矢量性:公式中           v0、vt、a、x  都是矢量,应用时必须选取统一的

正方向,一般选        v0 方向为正方向.
     (1)物体做加速运动时,a        取正值,做减速运动时,a            取负值.
     (2)x>0,说明物体位移的方向与初速度方向相同;x<0,说明物体位移的方
 向与初速度的方向相反.

     3.两种特殊形式
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     (1)当 v0=0 时,v2t=2ax.(初速度为零的匀加速度直线运动).

     (2)当 vt=0 时,-v20=2ax.(末速度为零的匀减速直线运动).


            已知长为     L 的光滑斜面,物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加
                                           1
速度下滑,当物体的速度是到达斜面底端速度的3时,它沿斜面已下滑的距离是

 (  )                                                       【导学号:

 96332029】
      L                              L
     A.3                           B.9
       3L                            L
     C. 3                          D.6
     【解析】 若物体到达底端时的速度为                 v,对于整个下滑过程有           v2-0=

                    v                          v
 2aL,若当物体速度为3时,下滑的距离为                L′,则有(3)2-0=2aL′,由以上两
              L
 式可得,L′=9,B       正确.
     【答案】 B
     [迁移  1] 汽车正在以      12  m/s 的速度在平直的公路上前进,在它的正前方
15  m 处有一障碍物,汽车立即刹车做匀减速运动,加速度大小为                          6 m/s2,刹车
后  3 s 末汽车和障碍物之间的距离为(  )
     A.3 m                         B.6 m
     C.12 m                        D.9 m
                                      v0
     【解析】 汽车从刹车到静止用时               t= a =2 s,刹车后    3 s 末汽车已静止,
                        0-v20  -122
 此过程汽车前进的距离          x= -2a =-2  × 6 m=12 m,故刹车后       3 s 末汽车和障碍
 物之间的距离为       15 m-12 m=3 m,A    正确.

     【答案】 A
     [迁移  2] 如图   1­8­1 所示,以   8  m/s 匀速行驶的汽车即将通过路口,绿灯
还有   2 s 将熄灭,此时汽车距离停车线             18  m.该车加速时最大加速度大小为               2 
 m/s2,减速时最大加速度大小为            5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为            12.5 m/s,
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下列说法中正确的有(  )
                                                                      
                                                 【导学号:96332030】


                                 图 1­8­1
    A.如果立即做匀加速运动,在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线
    B.如果立即做匀加速运动,在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速
    C.如果立即做匀减速运动,在绿灯熄灭前汽车一定能通过停车线
    D.如果距停车线       5 m 处减速,汽车能停在停车线处
                                                                  1
                                                                      
    【解析】 若汽车立即做匀加速直线运动,则                    2   s 内的位移:x=v0t+2at
        1
   8 × 2+ × 2 × 4
2
=(      2     )m=20    m>18   m,此时的速度为:v=v0+at=8+2×2=12 
m/s.故 A 正确,B   错误;如果立即做匀减速运动,根据速度—位移公式得:x=

v20 64
2a′=10 m=6.4 m<18  m,所以不能通过停车线,故             C 错误;根据速度位移公式
       v20 64
得:x=2a′=10 m=6.4 m>5 m,不能停在停车线处,故              D 错误.
    【答案】 A


                        运动学问题的一般求解思路
    1.弄清题意.建立一幅物体运动的图景,尽可能地画出草图,并在图中标
明一些位置和物理量.

    2.弄清研究对象.明确哪些是已知量,哪些是未知量,据公式特点选用恰
当公式.

    3.列方程、求解.必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合.
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                            匀  变  速  直  线  运  动  的  几  个  推  论


     [合作探讨]
     探讨  1:物体做匀加速直线运动,一段过程的中间时刻与中间位置的速度
 哪个大些?
     【提示】 中间位置的速度大,因为物体做加速运动,后一半时间内的平
 均速度较大,故经过一半的时间时,还没有到达中间位置.

     探讨  2: 物体做匀减速直线运动,一段过程的中间时刻与中间位置的速
 度哪个大些?
     【提示】 中间位置的速度大,因为物体做减速运动,后一半时间内的平
 均速度较小,故经过一半的时间时,已经经过了中间位置,即先经过中间位置
 后到达中间时刻.

     [核心点击]
     1.中间位置的速度与初末速度的关系

     在匀变速直线运动中,某段位移              x 的初末速度分别是        v0 和 vt,加速度为
                     x                                        x
a,中间位置的速度为          v2,则根据速度与位移关系式,对前一半位移                   v22-v20=

   x                   x    x      x           x        x  v20+v2t
 2a2,对后一半位移       v2t-v22=2a2,即   v22-v20=v2t-v22,所以   v2=   2  .
     2.由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例
     (1)1T 末、2T 末、3T   末、…、nT    末瞬时速度之比

     v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n.
     (2)1T 内、2T 内、3T   内、…、nT    内的位移之比

                        2  2   2       2
     x1∶x2∶x3∶…∶xn=1    ∶2  ∶3  ∶…∶n   .
     (3)第一个  T 内,第二个     T 内,第三个      T 内,…,第     n 个 T 内位移之比

     xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1).
     (4)通过前  x、前   2x、前  3x…位移时的速度之比

                           2   3       n
     v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶       ∶   ∶…∶    .
     (5)通过前  x、前   2x、前  3x…的位移所用时间之比
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                         2   3       n
     t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶     ∶   ∶…∶     .
     (6)通过连续相等的位移所用时间之比

                            2       3   2        n   n-1
     tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn=1∶(       -1)∶(   -   )∶…∶(    -     ).


            从静止开始做匀加速直线运动的物体,在第                    1 s 内、第  2 s 内、第
3 s 内的平均速度之比为(  )
                                                  【导学号:96332031】
     A.1∶3∶5                       B.1∶4∶9
     C.1∶2∶3                       D.1∶   2∶  3

     【解析】 由于第        1  s 内、第   2  s 内、第  3  s 内的位移之比      x1∶x2∶x3=

                       x
 1∶3∶5,而平均速度        v=t,三段时间都是        1 s,故三段时间的平均速度之比为

 1∶3∶5,故    A 正确.
     【答案】 A

     [迁移  3] (多选)如图    1­8­2 所示,一冰壶以速度        v 垂直进入两个矩形区域
做匀减速运动,且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零,则冰壶依次进入

每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶
可看成质点)(  )


                                  图 1­8­2

                                               2
     A.v1∶v2=2∶1                   B.v1∶v2=    ∶1         
                  2                           2
     C.t1∶t2=1∶                    D.t1∶t2=(   -1)∶1
     【解析】 初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比
 为 1∶(  2-1),故所求时间之比为(          2-1)∶1,所以     C 错误,D   正确;初速度为
 零的匀加速直线运动中通过前             x、前  2x 位移时的速度之比为         1∶  2,则所求的
 速度之比为     2∶1,故    A 错误,B    正确.

     【答案】 BD
     [迁移  4] (多选)光滑斜面的长度为          L,一物体自斜面顶端由静止开始匀加
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速滑至底端,经历的时间为            t,则下列说法正确的是(  )
                                   L
    A.物体运动全过程中的平均速度是               t
             t              2L
    B.物体在2时的瞬时速度是           t
                                      2L
    C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是                 t
                                            2t
    D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是                    2
                              x  L        t
    【解析】 全程的平均速度v=t=             t ,A 对;2时,物体的瞬时速度等于全程
          L                       v  L     2L

的平均速度     t ,B 错;若末速度为       v,则2=   t ,v= t ,故中间位置的速度         v 中=
v   2L                                                      1     L
2=  t ,C  对;设物体的加速度为          a,到达中间位置用时          t′,则   L=2at 2,2=
1                2
2at′2,所以   t′=  2 t,D 对. 
    【答案】 ACD


                        解题时巧选公式的基本方法

    1.如果题目中无位移         x,也不需求位移,一般选用速度公式                v=v0+at;

    2.如果题目中无末速度          v,也不需求末速度,一般选用位移公式                  x=v0t+

1
2at 2;
    3.如果题中无运动时间          t,也不需要求运动时间,一般选用导出公式                   v2-
v20=2ax;

                                                         x  v0+v
    4.如果题目中没有加速度           a,也不涉及加速度的问题,用v=t=                2  计算
比较方便.


                                    追  及  相  遇  问  题
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    [核心点击]
    1.追及问题
    (1)追及的特点:两个物体在同一时刻到达同一位置.
    (2)追及问题满足的两个关系:
    ①时间关系:从后面的物体追赶开始,到追上前面的物体时,两物体经历
的时间相等.

    ②位移关系:x2=x0+x1,其中          x0 为开始追赶时两物体之间的距离,x1             表示

前面被追赶物体的位移,x2          表示后面追赶物体的位移.
    (3)临界条件:当两个物体的速度相等时,可能出现恰好追上、恰好避免相

撞、相距最远、相距最近等情况,即出现上述四种情况的临界条件为                              v1=v2.
    2.相遇问题
    (1)特点:在同一时刻两物体处于同一位置.
    (2)条件:同向运动的物体追上即相遇;相向运动的物体,各自发生的位移
的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇.

    (3)临界状态:避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时,两者
的相对速度为零.


                                25
           摩托车先由静止开始以16            m/s2 的加速度做匀加速运动,之后以最
大行驶速度     25  m/s 做匀速运动,追赶前方以           15 m/s 的速度同向匀速行驶的卡
车.已知摩托车开始运动时与卡车的距离为                   1000 m,则:
    (1)追上卡车前两车相隔的最大距离是多少?
    (2)摩托车经过多少时间才能追上卡车?
                                                          vm

    【解析】 (1)由题意得,摩托车做匀加速运动的最长时间                       t1= a =16 s.
            vm2

    位移  x1= 2a =200 mv 甲,两车逐渐远离,10~20 

s 内,v 乙0,即有两个解,说明可以相遇两
次;若   Δ=0,说明刚好追上或相遇;若              Δ<0,说明追不上或不能相碰.
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