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2018年高考物理一轮复习第10章磁场微专题57带电粒子在交变电场磁场中的运动

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                57 带电粒子在交变电场、磁场中的运动

[方法点拨] (1)先分析在一个周期内粒子的运动情况,明确运动性质,判断周期性变化的
电场或磁场对粒子运动的影响;(2)画出粒子运动轨迹,分析轨迹在几何关系方面的周期
性.
1.如图   1 甲所示,两平行金属板         A、B  长 L=8  cm,两极板间距      d=6   cm,A、B  两极板间的
                            q
                                    6
电势差   UAB=100 3  V.一比荷为m=1×10         C/kg 的带正电粒子(不计重力)从          O 点沿电场中

                              4
心线垂直电场线以初速度           v0=2×10    m/s 飞入电场,粒子飞出平行板电场后经过界面                  MN、
PS 间的无电场区域,已知两界面            MN、PS 间的距离为     s=8     cm.带电粒子从     PS 分界线上的
C 点进入   PS 右侧的区域,当粒子到达          C 点开始计时,PS     右侧区域有磁感应强度按图乙变化
的匀强磁场(垂直纸面向里为正方向).求:


                                       
                                     图 1
(1)PS 分界线上的    C 点与中心线     OO′的距离    y;
(2)粒子进入磁场区域后第二次经过中心线                OO′时与   PS 分界线的距离      x.
2.如图   2 甲所示,在平行边界        MN、PQ  之间存在宽度为       L 的匀强电场,电场周期性变化的规
律如图乙所示,取竖直向下为电场正方向;在平行边界                       MN、EF 之间存在宽度为       s、方向垂
直纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ,在              PQ 右侧有宽度足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场区
域Ⅰ.在区域Ⅰ中距        PQ 为 L 的 A 点,有一质量为      m、电荷量为     q、重力不计的带正电粒子以

初速度   v0 沿竖直向上方向开始运动,以此作为计时起点,再经过一段时间粒子又恰好回到
A 点,如此循环,粒子循环运动一周,电场恰好变化一个周期,已知粒子离开区域Ⅰ进入电
场时,速度恰好与电场方向垂直,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6.


                                     图 2

(1)求区域Ⅰ的磁场的磁感应强度大小              B1.
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         4mv02

(2)若 E0= 3qL ,要实现上述循环,确定区域Ⅱ的磁场宽度                  s 的最小值以及磁场的磁感应强

度大小 B2.
         4mv02

(3)若 E0= 3qL ,要实现上述循环,求电场的变化周期                T.
3.如图   3 甲所示,在平面直角坐标系           xOy 区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场,磁场随时
                                                                        2πm

间的变化规律如图乙所示,磁场方向垂直坐标平面向里为正方向,磁场变化周期                                 T0=qB0.
t=0 时刻,一质量为       m、电荷量为     q 的带正电粒子以某一初速度由坐标原点                O 沿 x 轴正方向

射入磁场,在      t=T0 时到达坐标为(a,0)的       P 点(未画出).


                              
                                     图 3

(1)求粒子运动的初速度         v0;
(2)若磁场的变化规律如图丙所示,求粒子从                 t=0  时刻起第一次到达        y 轴的位置与原点      O 的
距离;
(3)在第(2)问的条件下,粒子是否可以返回原点?如果可以,求粒子从原点出发到返回原点
的时间;如果不可以,请说明理由.
4.如图   4 甲所示,在光滑绝缘水平桌面内建立               xOy 坐标系,在第Ⅱ象限内有平行于桌面的
匀强电场,场强方向与          x 轴负方向的夹角      θ=45°.在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平

行的平板    C1、C2,两板间距为      d1=0.6 m,板间有竖直向上的匀强磁场,两板右端在                   y 轴上,

板 C1 与 x 轴重合,在其左端紧贴桌面有一小孔               M,小孔   M 离坐标原点     O 的距离为   L=0.72 

m.在第Ⅳ象限垂直于         x 轴放置一块平行于       y 轴且沿   y 轴负向足够长的竖直平板          C3,平板

C3 在 x 轴上垂足为    Q,垂足   Q 与原点   O 相距  d2=0.18   m.现将一带负电的小球从桌面上的

P 点以初速度    v0=4  2 m/s 垂直于电场方向射出,刚好垂直于              x 轴穿过   C1 板上的  M 孔,进入
                                       q
磁场区域.已知小球可视为质点,小球的比荷m=20 C/kg,P                     点与小孔    M 在垂直于电场方向
              2
上的距离为     s=10 m,不考虑空气阻力.
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                                     图 4
(1)求匀强电场的场强大小;

(2)要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板                  C3 上,求磁感应强度的取值范围;
(3)若 t=0 时刻小球从      M 点进入磁场,磁场的磁感应强度如图乙随时间周期性变化(取竖直

向上为磁场正方向),求小球从            M 点打在平板     C3 上所用的时间.(计算结果保留两位小数)
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                                   答案精析

1.(1)4  3 cm (2)12 cm
                               UABq
解析 (1)粒子在电场中的加速度            a=   dm
                          L

粒子在电场中运动的时间           t1=v0

粒子离开电场时竖直方向分速度             vy=at1
                            s

粒子在   MN 与 PS 间运动时间     t2=v0
                       1     UABqL2   4

粒子在电场中偏转位移          y1=2at12= 2dmv02 =3 3 cm

出电场后:y2=vyt2
             8 3

联立解得:y2=      3  cm

所以  C 点与中心线     OO′的距离    y=y1+y2=4   3 cm
                                                                          vy
(2)粒子运动轨迹如图所示,粒子进入磁场时,设速度与水平方向夹角为                            θ,tan    θ=v0=
 3
3


所以  θ=30°
                        v0  4 3
粒子进入磁场时的速度          v=cos θ= 3 ×104 m/s
设粒子在磁场中运动轨道半径为             R
       mv2
则 qvB=  R
所以  R=4 cm
                         2πR
粒子在磁场中运动的周期           T=  v =2  3π×10-6 s
     2 3π                          2π
在 t=   3 ×10-6 s 内粒子的偏转角       α=  T t=120°

竖直向上偏移      h1=Rcos 30°=2   3 cm
  2 3π       4 3
在  3 ×10-6~   3 π×10-6 s  内通过    OO′,这段时间内竖直向上偏移
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h2=h1=2  3 cm

因为  h1+h2=y=4   3 cm
           4 3π
则粒子在    t=  3  ×10-6 s 时刚好第二次到达        OO′
此时,粒子距      PS 距离  x=2(R+Rsin 30°)=12 cm.
      mv0     L  3mv0     307π+540
2.(1) qL  (2)9    qL  (3)   270v0 L
解析 (1)粒子在区域Ⅰ做圆周运动的半径                R=L
                            mv02

由洛伦兹力提供向心力知           qv0B1= R
            mv0

联立解得    B1= qL
                                                             qE0  L   4

(2)粒子在电场中做类平抛运动,离开电场时沿电场方向的速度                         vy=at=  m ·v0=3v0,
                                   vy  4
离开电场时速度的偏转角为            θ,tan θ=v0=3,θ=53°
                            v0    5

所以粒子离开电场时的速度            v=cos 53°=3v0
                         1    1  qE0 L    2
粒子在电场中偏转的距离           y=2at2=2·   m (v0)2=3L

画出粒子运动轨迹的示意图如图所示,粒子在区域Ⅱ做圆周运动的圆心                             O2 与在区域Ⅰ做圆

周运动的圆心      O1 的连线必须与边界垂直才能完成上述运动,


                                             2
                                          L-  L
                                             3   5
由几何关系知粒子在区域Ⅱ做圆周运动的半径                   r=cos 53°=9L
                       L
所以  s≥r(1-sin 53°)=9
             L
即 s 的最小值为9
       mv
根据  r=qB2
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        3mv0

解得  B2=  qL

(3)电场变化的周期等于粒子运动的周期
                           πL

粒子在区域Ⅰ中运动的时间            t1=v0
                         2L

粒子在电场中运动的时间           t2=v0
                            37°  2πr 37πL

粒子在区域Ⅱ中运动的时间            t3=180°· v =270v0
                      307π+540

所以周期    T=t1+t2+t3=    270v0  L.
      qaB0
3.(1) 4m  (2)a (3)见解析
解析 (1)设粒子在磁场中运动的周期为               T,轨迹半径为      r
     2πm

则 T=qB0=T0
                                 T0
t=0 时粒子从    O 点射入磁场中,在        0~ 4 时间内,粒子做逆时针方向的匀速圆周运动,接
    T0  3                                        3

着在  4 ~4T0 时间内做顺时针方向的匀速圆周运动,最后在4T0~T0                   时间内做逆时针方向的匀
速圆周运动到达       x 轴上的   P 点,粒子运动轨迹如图甲所示.


                                      甲

则 4r=a
                                 v02

根据洛伦兹力提供向心力,有            qv0B0=m r
            qaB0

联立解得    v0= 4m
                                                                T0
(2)比较粒子在磁场中做圆周运动的周期               T 和磁场变化周期可知,粒子在            0~  3 时间内运动
1                                                T0  T0          1

3圆周,其圆心为       O1,运动轨迹对应的圆心角为           120°;在    3 ~ 2 时间内运动6圆周,圆心为
                       T0  5T0          1

O2,对应圆心角为      60°;在    2 ~ 6 时间内运动3圆周,其圆心为            O3,对应圆心角为
120°.作出粒子在磁场中运动的轨迹如图乙所示.
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                                      乙
                     a

由几何关系可知       OO1=r=4
         a

O1O3=2r=2
       a

O3Q=r=4

则粒子第一次到达        y 轴的位置与原点      O 的距离   y1=OO1+O1O3+O3Q=a

(3)粒子可以回到原点

由于粒子在磁场中做周期性运动,根据对称性和周期性,作出粒子的运动轨迹如图丙所示.


                                      丙

其中以   O1、O3、O5、O7、O9、O11  为圆心的运动轨迹所对应的圆心角为                120°,每段轨迹对应
          T0

时间为   t1= 3

以 O2、O4、O6、O8、O10、O12  为圆心的运动轨迹所对应的圆心角为                60°,每段轨迹对应时间
      T0

为 t2= 6

由图丙中几何关系知,粒子从原点出发到回到原点的时间为                         t=6n(t1+t2)=3nT0=
6nπm
qB0 (n=1,2,3,……)
                 2
4.(1)8  2 V/m (2)3 T≤B≤1 T (3)0.15 s

解析 (1)小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动有:s=v0t

at=v0tan θ
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由牛顿第二定律有:qE=ma

代入数据解得:E=8        2 V/m
                                                   v0
(2)设小球通过     M 点时的速度为     v,由类平抛运动规律:v=cos θ=8 m/s
小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动,

轨迹如图甲所示,由牛顿第二定律有:
      v2
qvB=m R
        mv
解得:B=qR

小球刚好能打到       Q 点时,磁感应强度最大,设为            B1,

此时小球的轨迹半径为          R1
                 R1     L-R1
由几何关系有:L+d2-R1=           R1

解得  R1=0.4 m,B1=1 T

小球刚好不与      C2 板相碰时磁感应强度最小,设为             B2,此时小球的轨迹半径为          R2

由几何关系有:R2=d1
         2

解得:B2=3 T
                           2
综合得磁感应强度的取值范围:3 T≤B≤1 T
                                                           mv

(3)小球进入磁场做匀速圆周运动,设半径为                 R3,周期为    T,有:R3=qB3=0.18 m
   2πm  9π
T=qB3=200 s
再综合分析易知小球在磁场中运动的轨迹如图乙所示,一个磁场周期内小球在                                x 轴方向的位

移为  3R3=0.54 m,L-3R3=0.18 m

即:小球刚好垂直        y 轴方向离开磁场
                           1   1   1   33π

则小球在磁场中运动的时间            t1=3T+3T+4T=800 s≈0.13 s
                                   d2

离开磁场到打在平板         C3 上所用的时间     t2= v ≈0.02 s

小球从   M 点到打在平板      C3 上所用总时间     t=t1+t2=0.15 s.
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