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(精校版)2017年新课标Ⅱ文数高考试题文档版(含答案)

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绝密★启用前

                       2017  年普通高等学校招生全国统一考试

                                        文科数学

注意事项:

    1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡

皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。


一、选择题:本题共         12 小题,每小题      5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合    A  1,2 ,3, B  2,3 4,, 则 A  B=

A. 1,2 ,3,4    B. 1,2 ,3    C. 2,3 ,4     D. 1,3 ,4

2.(1+i)(2+i)=

A.1-i        B. 1+3i     C. 3+i      D.3+3i
                             
3.函数   f x  =  si n(2x+       )的最小正周期为
                             3
                                        
A.4         B.2       C.          D. 
                                        2

4.设非零向量     a , b 满足  a+b  = a-b 则

A a ⊥ b       B. a = b     C. a ∥ b    D. a  b

                     2
                   x     2
5.若  a >1,则双曲线        - y   1 的离心率的取值范围是
                   a2

A. (,2)+           B. (,2)2      C. (1,)2     D. (1,2)

6.如图,网格纸上小正方形的边长为               1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱

截去一部分后所得,则该几何体的体积为

A.90        B.63        C.42     D.36  
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                    2x+3y  3  0
                    
7.设 x、y 满足约束条件      2x  3y  3  0  。则 z  2x  y  的最小值是
                    
                    y  3  0
A. -15    B.-9  C. 1   D 9

8.函数  f (x)  ln(x2  2x 8)  的单调递增区间是

A.(-  ,-2)  B. (-  ,-1)  C.(1, +  )  D. (4, +  )

9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四

人中有   2 位优秀,2    位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给

丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则

A.乙可以知道两人的成绩               B.丁可能知道两人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩             D.乙、丁可以知道自己的成绩

10.执行右面的程序框图,如果输入的      a=-1,则输出的 S=

A.2   B.3   C.4   D.5
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11.从分别写有     1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取     1 张,放回后再随机抽取          1 张,则抽得的第一张卡片上的数

大于第二张卡片上的数的概率为

   1       1       3      2
A.       B.     C.      D.
   10      5      10      5

12.过抛物线    C:y2=4x 的焦点  F,且斜率为       3 的直线交    C 于点  M(M   在 x 轴上方),l    为  C 的准线,点

N 在  l 上且 MN⊥l,则   M 到直线   NF 的距离为  

A.  5    B. 2 2    C. 2 3    D. 3 3

二、填空题,本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分.  

13.函数   f x=2cosx  sinx 的最大值为                                  . 

14.已知函数    f x是定义在    R 上的奇函数,当       x - ,0时,  f x  2x3  x2 ,

则  f 2=                  

15.长方体的长、宽、高分别为            3,2,1,学|科网其顶点都在球        O 的球面上,则球       O 的表面积为                 

16.△ABC  的内角    A,B,C 的对边分别为     a,b,c,若 2bcosB=acosC+ccosA,则 B=                 

三、解答题:共          70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第                            17 至  21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第                 22、23  题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共           60 分。
17.(12   分)

已知等差数列{an}的前           n 项和为    Sn,等比数列{bn}的前         n 项和为    Tn,a1=-1,b1=1,a3+b2=2.
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(1)    若  a3+b2=5,求{bn}的通项公式;
(2)    若  T=21,求   S1
18.(12  分)
                                                                            1
如图,四棱锥        P-ABCD  中,侧面     PAD 为等边三角形且垂直于底面               ABCD,AB=BC=     AD, 
                                                                            2
∠BAD=∠ABC=90°。
(1)    证明:直线       BC∥平面    PAD;

(2)    若△PAD   面积为     2  7 ,求四棱锥      P-ABCD 的体积。


19(12  分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了                                   100 个网箱,测量各箱
水产品的产量(单位:kg),           学.科网其频率分布直方图如下:


(1)    记  A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于              50kg”,估计    A 的概率;
(2)    填写下面列联表,并根据列联表判断是否有                   99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
                                    箱产量<50kg                    箱产量≥50kg
       旧养殖法
       新养殖法
(3)    根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行比较。
附:
     2
P(𝐾  ≥ 𝑘)             0.050                  0.010                  0.001
k                       3.841                  6.635                  10.828
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           n(ad  bc)2
 K 2                         
     (a  b)(c  d)(a  c)(b  d)

20.(12   分)

                            𝑥2
                            : + 𝑦2 = 1
设  O 为坐标原点,动点      M 在椭圆  C 2                 上,过   M 作 x 轴的垂线,垂足为      N,点  P 满足
𝑁𝑃 = 2 𝑁𝑀
(1)   求点  P 的轨迹方程;
(2)   设点   在直线   x=-3 上,且𝑂𝑃 ∙ 𝑃𝑄 = 1 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.


(21)(12   分)
设函数   f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论    f(x)的单调性;
(2)当   x  0 时,f(x)  ax+1,求 a 的取值范围.


(二)选考题:共         10 分。请考生在第       22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。

22. [选修  4-4:坐标系与参数方程](10         分)

    在直角坐标系       xOy 中,以坐标原点为极点,x           轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线                 C1 的
极坐标方程为𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃  = 4

    (1)M    为曲线   C1 的动点,点     P 在线段   OM  上,且满足     OM    OP = 16 ,求点   P 的轨迹

C2 的直角坐标方程;

                             π
    (2)设点     A 的极坐标为(2,)       ,点  B 在曲线   C2 上,求△OAB     面积的最大值。
                             3

23. [选修  4-5:不等式选讲](10      分)
                    2   2
    已知𝑎  > 0,𝑏 > 0,𝑎 + 𝑏 =2。证明:

                  2   2
    (1)(𝑎  + 𝑏)(𝑎 + 𝑏 ) ≥ 4:

    (2)𝑎  + 𝑏 ≤ 2。
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                                      文科数学试题答案

一、选择题

1.A  2.B  3.C   4.A   5.C   6.B   7.A   8.D   9.D   10.B   11.D   12.C

二、填空题
                                   𝜋
13.   5     14.  12   15.  14π   16.3  
三、解答题

17.解:

                                                        𝑛 ‒ 1
设{𝑎𝑛}的公差为   d,{𝑏𝑛}的公比为  q,则𝑎𝑛 =‒ 1 + (𝑛 ‒ 1)𝑑, 𝑏𝑛 = 𝑞 .由𝑎2 + 𝑏2 = 2得

                       d+q=3.         ①

(1)    由𝑎3 + 𝑏3 = 5得

                           2
                      2𝑑 + 𝑞 = 6    ②
               𝑑 = 3         𝑑 = 1,
联立①和②解得{𝑞      = 0(舍去),    {𝑞 = 2。

                      𝑛 + 1
因此{𝑏𝑛}的通项公式𝑏𝑛   = 2

                         2
(2)    由𝑏1 = 1,𝑇1 = 21得𝑞 + 𝑞 ‒ 20 = 0.

解得𝑞  =‒ 5,𝑞 = 4

当𝑞 =‒ 5时,由①得𝑑    = 8,则𝑆3 = 21.

当𝑞 = 4时,由①得𝑑    =‒ 1,则𝑆3 =‒ 6.


18.解:

(1)在平面      ABCD  内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以            BC∥AD.又   BC  平面PAD     ,

 AD   平面PAD    ,故  BC∥平面    PAD.
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                                                         1
(2)去    AD 的中点   M,学     科&网连结     PM,CM,由     AB  BC    AD 及  BC∥AD,∠ABC=90°得四边
                                                         2

形  ABCM  为正方形,则      CM⊥AD.

因为侧面     PAD 为等边三角形且垂直于底面            ABCD,平面     PAD∩平面    ABCD=AD,所以     PM⊥AD,PM⊥底

面  ABCD,因为    CM    底面ABCD    ,所以    PM⊥CM.

设  BC=x,则   CM=x,CD=    2𝑥,PM=  3𝑥,PC=PD=2x.取  CD 的中点   N,连结    PN,则   PN⊥CD,所以
      14
𝑃𝑁 =  𝑥
      2
因为△PCD     的面积为2     7,所以
1         14
  ×  2𝑥 ×  𝑥 = 2 7
2         2        ,
解得   x=-2(舍去),x=2,于是        AB=BC=2,AD=4,PM=2      3,
                           1   2(2 + 4)
                        𝑉 = ×        × 2 3 = 4 3
所以四棱锥      P-ABCD 的体积      3      2             .
19.解:

(1)旧养殖法的箱产量低于            50kg 的频率为

        (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62

因此,事件      A 的概率估计值为       0.62.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
                               箱产量<50kg                       箱产量≥50kg

旧养殖法                           62                             38

新养殖法                           34                             66

        200(6266-3438)
    K2=                     ≈15.705 
         10010096104
    由于   15.705>6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

    (3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在                 45kg 到 50kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度

较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养

殖法.


20.解:
                                          ⃗              ⃗
(1)设    P(x,y),M(𝑥0,𝑦0),则    N(𝑥0,0),𝑁𝑃 = (𝑥 ‒ 𝑥0,𝑦),𝑀𝑁 = (0,𝑦0)
                          2
              𝑥0 = 0,𝑦0 = 𝑦
由𝑁𝑃⃗ = 2𝑁𝑀⃗ 得         2 .
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                          𝑥2 𝑦2
                             +   = 1
因为   M(𝑥0,𝑦0)在 C 上,所以    2   2   .
                 2   2
因此点    P 的轨迹为𝑥   + 𝑦 = 2.

(3)    由题意知    F(-1,0),设    Q(-3,t),P(m,n),则

𝑂𝑄⃗ = ( ‒ 3,𝑡),𝑃𝐹⃗ = ( ‒ 1 ‒ 𝑚, ‒ 𝑛),𝑂𝑄⃗ ∙ 𝑃𝐹⃗ = 3 + 3𝑚 ‒ 𝑡𝑛,

𝑂𝑃⃗ = (𝑚,𝑛),𝑃𝑄⃗ = ( ‒ 3 ‒ 𝑚,𝑡 ‒ 𝑛).

                   2    2                       2   2
由𝑂𝑃⃗ ∙ 𝑃𝑄⃗ = 1得-3m-𝑚 +tn-𝑛 =1,学&科网又由(1)知𝑚  + 𝑛 = 2,故

3+3m-tn=0.

所以𝑂𝑄⃗ ∙ 𝑃𝐹⃗ = 0,即,𝑂𝑄⃗ ⊥ 𝑃𝐹⃗ .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点      P 且垂直于   OQ  的直线   l 过

C 的左焦点     F.

21. 解

(1)f ’(x)=(1-2x-x2)ex

令  f’(x)=0 得 x=-1- 2  ,x=-1+ 2

当  x∈(-∞,-1-     2 )时,f’(x)<0;当   x∈(-1-   2 ,-1+  2 )时,f’(x)>0;当   x∈(-1-   2 ,+∞)时,

f’(x)<0

所以   f(x)在(-∞,-1-   2 ),(-1+    2 ,+∞)单调递减,在(-1-           2 ,-1+  2 )单调递增

(2) f (x)=(1+x)(1-x)ex

当  a≥1 时,设函数     h(x)=(1-x)ex,h’(x)= -xex<0(x>0),因此      h(x)在[0,+∞)单调递减,而       h(0)=1,

故  h(x)≤1,所以

      f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1

    当  0<a<1  时,设函数     g(x)=ex-x-1,g’(x)=ex-1>0(x>0),所以         g(x)在在[0,+∞)单调递增,

而  g(0)=0,故  ex≥x+1


                                                                              5  4a 1
当  0<x<1,   f (x)  (1 x)(1 x)2 , (1 x)(1 x)2  ax 1  x(1 a  x  x2 ) ,取 x 
                                                                         0       2

                        2
则  x0 (0,1),(1 x0 )(1 x0 )  ax0  0,故f (x0 )ax0 1

                    5 1
当   a  0时,取x()         , f (x ) 1- x (1 x )2 1ax 1
                0    2       0     0     0        0

综上,a    的取值范围[1,+∞) 
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22.解:

(1)设    P 的极坐标为(𝜌,𝜃)(𝜌>0),M       的极坐标为(𝜌1,𝜃)(𝜌1>0)由题设知
                   4
             𝜌1 =
|OP|= 𝜌,|𝑂𝑀|= 𝑐𝑜𝑠𝜃.

由|𝑂𝑀| ∙ |OP|=16 得𝐶2的极坐标方程𝜌 = 4𝑐𝑜𝑠𝜃(𝜌>0)

                             2   2
因此𝐶2的直角坐标方程为(𝑥         ‒ 2)  + 𝑦 = 4(𝑥 ≠ 0).

(2)设点     B 的极坐标为(𝜌𝐵,𝛼) (𝜌𝐵>0).由题设知|OA|=2,𝜌𝐵   = 4𝑐𝑜𝑠𝛼,于是△OAB 面积
    1                              𝜋              𝜋    3
𝑆 = |𝑂𝐴| ∙ 𝜌 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑂𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ sin 𝛼 ‒ | = 2|sin 2𝛼 ‒ ‒ ≤ 2 + 3
    2      𝐵              |  (    3)        (     3)    2 |
       𝜋
  𝛼 =‒
当      12时,学|科网    S 取得最大值2     +  3.
所以△OAB     面积的最大值为2       +  3.


23. 解:

(1) (a  b) (a3  b3)  a6  ab5  a5b  b6

                      (a3  b3)2  2a3b3  ab(a4  b4 )
                     
                       4  ab(a2  b2)2

                       4.

(2)因为(a      b)3   a3  3a2b  3ab2  b3

                    2  3ab(a  b)

                         3(a  b)2
                    2           ( a b)
                            4

                         3(a  b)3
                    2 
                            4

所以   (a  b)3   8 ,因此a    b   2
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