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(精校版)2017年新课标Ⅲ文数高考试题文档版(含答案)

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绝密★启用前

             2017   年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)
                                     文科数学

注意事项:

    1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

    目要求的。

1.已知集合      A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 A  B 中元素的个数为

   A.1                  B.2                C.3                 D.4

2.复平面内表示复数         z=i(–2+i)的点位于

   A.第一象限               B.第二象限             C.第三象限              D.第四象限

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了                               2014 年 1 月至  2016 年 12 月期

   间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.


   根据该折线图,下列结论错误的是

   A.月接待游客逐月增加

   B.年接待游客量逐年增加

   C.各年的月接待游客量高峰期大致在                7,8 月

   D.各年    1 月至  6 月的月接待游客量相对于          7 月至  12 月,波动性更小,变化比较平稳

                     4
4.已知    sin  cos   ,则  sin 2 =
                     3
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

         7                    2                 2                  7
   A.                   B.               C.                  D.
         9                   9                  9                  9

                      3x  2y  6  0
                      
5.设   x,y 满足约束条件          x  0    ,则   z=x-y 的取值范围是
                      
                           y  0

   A.[–3,0]             B.[–3,2]                   C.[0,2]         D.[0,3]
            1              
6.函数    f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为
            5      3        6
       6                                           3                  1
   A.                   B.1                    C.                  D.    
       5                                           5                  5
              sin x
7.函数    y=1+x+    的部分图像大致为
               x2


   A.                                  B.                     


   C.                                  D.
8.执行下面的程序框图,为使输出               S 的值小于    91,则输入的正整数        N 的最小值为


   A.5                  B.4                C.3                 D.2
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9.已知圆柱的高为        1,它的两个底面的圆周在直径为              2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为

                           3π                  π                   π
   A.  π                B.                 C.                  D.
                            4                  2                   4


10.在正方体      ABCD   A1B1C1D1 中,E 为棱   CD 的中点,则


    A.  A1E⊥DC1         B.  A1E⊥BD         C.  A1E⊥BC1         D.  A1E⊥AC

                x2   y2
11.已知椭圆      C:        1,(a>b>0)的左、右顶点分别为            A1,A2,且以线段      A1A2 为直径的圆与直线
                a2   b2

     bx  ay  2ab  0 相切,则 C 的离心率为

          6              3               2                 1
    A.              B.             C.                  D.
         3              3               3                  3

12.已知函数      f (x)  x2  2x  a(ex1  ex1) 有唯一零点,则 a=

          1                1                   1
    A.                 B.                 C.                  D.1
          2                3                   2

二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。

13.已知向量     a  (2,3),b  (3,m) ,且 a⊥b,则  m=        .

           x2  y2                                3
14.双曲线           1(a>0)的一条渐近线方程为            y   x ,则  a=       .
           a2   9                                5

15.△ABC   的内角   A,B,C   的对边分别为      a,b,c。已知     C=60°,b=   6 ,c=3,则   A=_________。

                x 1,x, 0                 1
16.设函数     f (x)          则满足    f (x)  f (x  ) 1 的 x 的取值范围是__________。
                 x
                2 ,x, 0                   2

三、解答题:共        70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                     17~21 题为必考题,每个试题考

    生都必须作答。第        22、23  题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共         60 分。

17.(12   分)


    设数列an满足      a1  3a2  (2n 1)an  2n .


    (1)求an的通项公式;
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                 a   
    (2)求数列        n    的前  n 项和.
               2n 1

18.(12   分)

    某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶                           4 元,售价每瓶      6 元,未售出的酸奶

降价处理,以每瓶         2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃

)有关.如果最高气温不低于             25,需求量为     500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为                  300 瓶;

如果最高气温低于         20,需求量为     200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气

温数据,得下面的频数分布表:

        最高气温       [10,15)    [15,20)    [20,25)     [25,30)    [30,35)    [35,40)

          天数           2         16          36         25          7          4

    以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

    (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过                   300 瓶的概率;

    (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为                  Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为                     450 瓶

时,写出     Y 的所有可能值,并估计         Y 大于零的概率.学#科@网

19.(12   分)

    如图,四面体       ABCD 中,△ABC    是正三角形,AD=CD.


    (1)证明:AC⊥BD;

    (2)已知△ACD      是直角三角形,AB=BD.若          E 为棱   BD 上与  D 不重合的点,且       AE⊥EC,求四面体

ABCE  与四面体    ACDE  的体积比.

20.(12   分)

    在直角坐标系       xOy 中,曲线   y=x2+mx–2 与 x 轴交于   A,B  两点,点    C 的坐标为(0,1).当   m 变化时,解答

下列问题:

    (1)能否出现      AC⊥BC   的情况?说明理由;

    (2)证明过      A,B,C   三点的圆在     y 轴上截得的弦长为定值.
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21.(12   分)

    已知函数     f (x) =lnx+ax2+(2a+1)x.

    (1)讨论     f (x) 的单调性;

                                3
                       f (x)     2
    (2)当    a﹤0 时,证明           4a    .

(二)选考题:共         10 分。请考生在第      22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修   4―4:坐标系与参数方程](10           分)

                                          x  2+t,
    在直角坐标系       xOy 中,直线   l1 的参数方程为           (t 为参数),直线        l2 的参数方程为
                                          y  kt,

 x  2  m,
 
    m    (m为参数)    .设 l1 与 l2 的交点为  P,当  k 变化时,P    的轨迹为曲线      C.
  y   ,
   k
    (1)写出     C 的普通方程;


    (2)以坐标原点为极点,x           轴正半轴为极轴建立极坐标系,设               l3:ρ(cosθ+sinθ)− 2 =0,M 为 l3 与

C 的交点,求     M  的极径.   学*科@网

23.[选修   4—5:不等式选讲](10        分)

    已知函数     f (x) =│x+1│–│x–2│.

    (1)求不等式       f (x) ≥1 的解集;

    (2)若不等式       f (x) ≥x2–x +m 的解集非空,求    m 的取值范围.
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                       2017  年普通高等学校招生全国统一考试

                                 文科数学试题正式答案

一、选择题

1.B    2.C   3.A    4.A   5.B    6.A

7.D    8.D   9.B   10.C   11.A   12.C

二、填空题

                             1
13. 2    14. 5   15. 75°   16. (-4, + ∞ )

三、解答题

17.解:
         𝑎  𝑎           𝑎
(1)因为     1+3  2+…+(2n-1)  𝑛 =2n,故当  n≥2 时,

        𝑎  𝑎           𝑎
         1+3 2+…+(2n-3)   𝑛 ‒ 1 =2(n-1)

                  𝑎
两式相减得(2n-1)        𝑛=2

          2
    𝑎
所以    𝑛=2𝑛 ‒ 1 (n≥2)

             𝑎
又因题设可得        1=2.

                           2
     𝑎              𝑎
从而{   𝑛} 的通项公式为       𝑛 =2𝑛 ‒ 1.

           𝑎𝑛
                            𝑆
(2)记    {2𝑛 + 1}的前 n 项和为    𝑛 ,

            𝑎𝑛         2            1      1
                                   
由(1)知     2𝑛 + 1 = (2𝑛 + 1)(2𝑛 ‒ 1) = 2𝑛 ‒ 1 -2𝑛 + 1 .

       1  1  1  1       1      1       2𝑛
   𝑆         
则    𝑛 = 1 - 3 + 3 - 5 +…+ 2𝑛 ‒ 1 - 2𝑛 + 1 = 2𝑛 + 1 .

18.解:

(1)这种酸奶一天的需求量不超过               300 瓶,当且仅当最高气温低于           25,由表格数据知,最高气温低于
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

           2 + 16 + 36
                       = 0.6
25 的频率为        90           ,  所以这种酸奶一天的需求量不超过              300 瓶的概率估计值为        0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为              450 瓶时,

若最高气温不低于         25,则  Y=6 × 450-4 × 450=900; 

若最高气温位于区间          [20,25),则  Y=6 × 300+2(450-300)-4 × 450=300;

若最高气温低于        20,则  Y=6 × 200+2(450-200)-4 × 450= -100.

所以,Y    的所有可能值为       900,300,-100.

Y 大于零当且仅当最高气温不低于              20,由表格数据知,最高气温不低于              20 的频率为

36 +  25 + 7 + 4
                = 0.8
       90              ,因此    Y 大于零的概率的估计值为          0.8.

19.解:


(1)取    AC 的中点   O 连结  DO,BO.

因为   AD=CD,所以     AC⊥DO. 

又由于△ABC     是正三角形,所以        AC⊥BO.

从而   AC⊥平面    DOB,故   AC⊥BD.

(2)连结     EO.

由(1)及题设知∠ADC=90°,所以            DO=AO.

                 2    2     2
在  Rt△AOB 中,𝐵𝑂  + 𝐴𝑂 = 𝐴𝐵 .

又  AB=BD,所以

   2    2     2    2     2    2
𝐵𝑂 + 𝐷𝑂 = 𝐵𝑂 + 𝐴𝑂 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 ,故∠DOB=90°.
                                    1
                               𝐸𝑂 = 𝐴𝐶
由题设知△AEC      为直角三角形,所以             2  .
                                       1
                                  𝐸𝑂 = 𝐵𝐷
又△ABC   是正三角形,且       AB=BD,所以         2  .
                                                               1
故  E 为 BD 的中点,从而      E 到平面   ABC 的距离为     D 到平面   ABC 的距离的2,四面体        ABCE 的体积为四面
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                1
体  ABCD 的体积的2,即四面体         ABCE  与四面体    ACDE  的体积之比为      1:1.
20.解:

(1)不能出现       AC⊥BC  的情况,理由如下:

                                2
设𝐴(𝑥1,0), 𝐵(𝑥2,0),则𝑥1,𝑥2满足𝑥 + 𝑚𝑥 ‒ 2 = 0所以𝑥1𝑥2 = ‒ 2.
                                                   ‒ 1 ‒ 1   1
                                                      ∙   = ‒
又  C 的坐标为(0,1),故         AC 的斜率与    BC 的斜率之积为      𝑥1 𝑥2   2,所以不能出现        AC⊥BC  的情况.
                      𝑥2 1                           1         𝑥2
                        ,                          𝑦 ‒ = 𝑥2(𝑥 ‒ )
(2)BC   的中点坐标为(       2   2),可得    BC 的中垂线方程为         2         2  .
                                                 𝑚
                                             𝑥 =‒
由(1)可得𝑥1    + 𝑥2 = ‒ 𝑚,所以 AB 的中垂线方程为           2 .
              𝑚                                 𝑚
          𝑥 =‒ ,                            𝑥 =‒ ,
               2                                 2
        1         𝑥2                            1
     𝑦 ‒ = 𝑥 𝑥 ‒  ,                       𝑦 =‒ ,
    {   2   2(    2 )   𝑥2 + 𝑚𝑥 ‒ 2 = 0 {       
联立                     又  2    2      ,可得        2
                                      𝑚   1              𝑚2 + 9
                                     ‒  , ‒ ,         𝑟 =      ,
所以过    A、B、C   三点的圆的圆心坐标为(            2    2  ),半径          2
                               𝑚
                        2 𝑟2 ‒ ( )2 = 3
故圆在    y 轴上截得的弦长为               2      ,即过   A、B、C   三点的圆在     y 轴上的截得的弦长为定值.
21.解:
                                        1               (𝑥 + 1)(2𝑎𝑥 + 1)
                                𝑓‘(𝑥) = + 2𝑎𝑥 + 2𝑎 + 1 =
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),                     𝑥                    𝑥     .
                             ’
若  a≥0,则当   x∈(0,+∞)时,𝑓      (𝑥)>0,故    f(x)在(0,+∞)单调递增.
                      1                          1
                  0, ‒        ’                ‒   , + ∞       ’
若  a<0,则当    x∈(     2𝑎)时,𝑓 (𝑥)>0;当    x∈(    2𝑎    )时,𝑓  (𝑥)<0.故   f(x)在
      1                  1
  0, ‒                 ‒   , + ∞
(     2𝑎)单调递增,在(        2𝑎    )单调递减.
                                       1
                                  𝑥 =‒
(2)由(1)知,当        a<0  时,f(x)在        2𝑎取得最大值,最大值为
      1          1        1
𝑓  ‒    = ln  ‒     ‒ 1 ‒
 (   2𝑎)    (   2𝑎)    4𝑎.
              3               1        1     3             1     1
    𝑓(𝑥) ≤‒   ‒ 2     ln  ‒     ‒ 1 ‒  ≤ ‒   ‒ 2   ln  ‒     +   + 1 ≤ 0
所以           4𝑎  等价于     (   2𝑎)    4𝑎   4𝑎  ,即    (   2𝑎)  2𝑎
                            1
                    𝑔’(𝑥) = ‒ 1
设  g(x)=lnx-x+1,则           𝑥
                 ’                             ’
当  x∈(0,1)时,𝑔   (𝑥)>0;当    x∈(1,+∞)时,𝑔      (𝑥)<0.所以   g(x)在(0,1)单调递增,在(1,

+∞)单调递减.故当        x=1 时,g(x)取得最大值,最大值为             g(1)=0.所以当    x>0  时,g(x)≤0,.从而当
               1     1                    3
         ln  ‒     +   + 1 ≤ 0   𝑓(𝑥) ≤‒  ‒ 2
a<0  时,    (  2𝑎)  2𝑎      ,即           4𝑎  .
22.解:
                           中国现代教育网       www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                                                  1
                                                                              𝑦 = (𝑥
(1)消去参数       t 得𝑙1的普通方程𝑙1: 𝑦    = 𝑘(𝑥 ‒ 2); 消去参数  m 得𝑙2的普通方程       𝑙2:    𝑘 +2).
                       𝑦 = 𝑘(𝑥 ‒ 2)
                          1
                      𝑦 =  (𝑥 + 2)          2   2 
设 P(x,y),由题设得{            𝑘        消去 k 得  𝑥 ‒ 𝑦 = 4(𝑦 ≠ 0).

                     2    2 
所以   C 的普通方程为 𝑥       ‒ 𝑦 = 4(𝑦 ≠ 0).

                         2     2      2
(2)C   的极坐标方程为          𝜌 (cos 𝜃 ‒ sin 𝜃) = 4(0<𝜃<2𝜋,𝜃 ≠ 𝜋)
      𝜌2(cos2 𝜃 ‒ sin2 𝜃) = 4
联立{𝜌(cos  𝜃 + sin 𝜃) ‒ 2 = 0  得 cos 𝜃 ‒ sin 𝜃 = 2(cos 𝜃 + sin 𝜃)

           1                9            1
  tan 𝜃 = ‒        cos2 𝜃 =    sin2 𝜃 =
故          3 ,从而            10,          10 .

     2     2      2            2
代入𝜌  (cos  𝜃 ‒ sin 𝜃) = 4 得𝜌 =5,所以交点      M 的极径为      5 .


23.解:

                  ‒ 3,   𝑥< ‒ 1,
     𝑓(𝑥) =  2𝑥 ‒ 1, ‒ 1 ≤ 𝑥 ≤ 2,
(1)           {   3,            𝑥>2. 

当 x<-1  时,f(x)≥1     无解;

当 ‒ 1 ≤ 𝑥 ≤ 2时,由  f(x)≥1   得,2x-1≥1,解得       1≤x≤2;

当   𝑥>2时,由    f(x)≥1   解得  x>2.

所以   f(x)≥1  的解集为{x|x≥1}.

                 2                        2
(2)由𝑓(𝑥)    ≥ 𝑥 ‒ 𝑥 + 𝑚得 m≤|x+1|-|x-2|-𝑥 + 𝑥.而

          2                       2
|x+1|-|x-2|-𝑥 + 𝑥 ≤ |𝑥| + 1 + |𝑥| ‒ 2 ‒ 𝑥 + |𝑥|
          3     5 5
 ‒ (|𝑥| ‒ )2 +
=         2     4≤4,
       3                      5
                      𝑥2 + 𝑥 =
且当   x=2时,|x+1|-|x-2|-        4.
                       5
                   ∞,
故 m  的取值范围为(-          4].
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