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(精校版)2017年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)

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绝密★启用前

             2017   年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)
                                     理科数学

注意事项:

    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

    目要求的。

1.已知集合      A=(x, y│) x2  y2  1,B=(x, y│) y  x,则 A  B 中元素的个数为

   A.3                  B.2                C.1                 D.0

2.设复数     z 满足(1+i)z=2i,则∣z∣=

       1                     2
   A.                   B.                 C.   2              D.2
       2                    2

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了                               2014 年 1 月至  2016 年 12 月期

   间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.学#科&网


   根据该折线图,下列结论错误的是

   A.月接待游客量逐月增加

   B.年接待游客量逐年增加

   C.各年的月接待游客量高峰期大致在                7,8 月份

   D.各年    1 月至  6 月的月接待游客量相对         7 月至  12 月,波动性更小,变化比较平稳

4.( x + y )(2 x - y )5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为
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   A.-80                B.-40              C.40                D.80

                 x2   y2                                     5           x2   y2
5.已知双曲线       C:        1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为          y     x ,且与椭圆         1有公共焦
                 a2   b2                                    2            12   3

   点,则   C 的方程为

       x2   y2              x2  y2             x2   y2             x2  y2
   A.         1       B.        1      C.        1       D.        1
        8   10              4   5              5    4              4   3

                   
6.设函数     f(x)=cos(x+ ),则下列结论错误的是
                   3
                                                            8
   A.f(x)的一个周期为−2π                 B.y=f(x)的图像关于直线       x=    对称
                                                             3
                                           
   C.f(x+π)的一个零点为       x=         D.f(x)在(   ,π)单调递减
                          6                  2
7.执行下面的程序框图,为使输出               S 的值小于    91,则输入的正整数        N 的最小值为


   A.5              B.4                C.3             D.2

8.已知圆柱的高为        1,它的两个底面的圆周在直径为              2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
                        3π                 π               π
   A.  π            B.                 C.              D.
                        4                  2               4

9.等差数列an的首项为          1,公差不为     0.若  a2,a3,a6 成等比数列,则an前         6 项的和为

   A.-24            B.-3               C.3             D.8

                x2   y2
10.已知椭圆      C:        1,(a>b>0)的左、右顶点分别为            A1,A2,且以线段      A1A2 为直径的圆与直线
                a2   b2

     bx  ay  2ab  0 相切,则 C 的离心率为
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          6                  3                   2                1
    A.                  B.                 C.                  D.
         3                  3                   3                 3

11.已知函数      f (x)  x2  2x  a(ex1  ex1) 有唯一零点,则 a=
          1                1                   1
    A.                 B.                 C.                  D.1
          2                3                   2
                                                                                
12.在矩形     ABCD  中,AB=1,AD=2,动点       P 在以点   C 为圆心且与     BD 相切的圆上.若       AP  =   AB  + 
   
   AD  ,则   +  的最大值为

    A.3                 B.2   2            C.   5              D.2

二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。

                        x  y  0
                        
13.若   x , y 满足约束条件     x  y  2  0 ,则 z  3x  4y 的最小值为__________.
                        
                        y  0

14.设等比数列an满足         a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则 a4 = ___________.

                x 1,x, 0                 1
15.设函数     f (x)          则满足    f (x)  f (x  ) 1 的 x 的取值范围是_________。
                 x
                2 ,x, 0                   2

16.a,b   为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形                    ABC 的直角边    AC 所在直线与      a,b 都垂直,斜

    边  AB 以直线   AC 为旋转轴旋转,有下列结论:

    ①当直线     AB 与 a 成 60°角时,AB   与  b 成 30°角;

    ②当直线     AB 与 a 成 60°角时,AB   与  b 成 60°角;

    ③直线    AB 与 a 所称角的最小值为        45°;

    ④直线    AB 与 a 所称角的最小值为        60°;

    其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号)

三、解答题:共        70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                     17~21 题为必考题,每个试题考

    生都必须作答。第        22、23  题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共         60 分。

 17.(12  分)

    △ABC  的内角   A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知     sinA+  3 cosA=0,a=2  7 ,b=2.

    (1)求    c;

    (2)设    D 为 BC 边上一点,且      AD   AC,求△ABD  的面积.
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 18.(12  分)

    某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶                           4 元,售价每瓶      6 元,未售出的酸奶

降价处理,以每瓶         2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃

)有关.如果最高气温不低于             25,需求量为     500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为                  300 瓶;

如果最高气温低于         20,需求量为     200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气

温数据,得下面的频数分布表:

       最高气温       [10,15)     [15,20)    [20,25)    [25,30)     [30,35)    [35,40)

           天数         2           16         36         25         7           4

    以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

    (1)求六月份这种酸奶一天的需求量                X(单位:瓶)的分布列;

    (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为                  Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量                    n(单位:

瓶)为多少时,Y        的数学期望达到最大值?学科*网

 19.(12  分)

    如图,四面体       ABCD 中,△ABC    是正三角形,△ACD       是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.


    (1)证明:平面       ACD⊥平面     ABC;

    (2)过    AC 的平面交    BD 于点  E,若平面     AEC 把四面体    ABCD  分成体积相等的两部分,求二面角              D–

AE–C  的余弦值.

 20.(12  分)

    已知抛物线      C:y2=2x,过点(2,0)的直线        l 交 C 与 A,B 两点,圆   M 是以线段    AB 为直径的圆.

    (1)证明:坐标原点         O 在圆   M 上;

    (2)设圆     M 过点  P(4,-2),求直线       l 与圆 M  的方程.

 21.(12  分)

    已知函数     f (x)  =x﹣1﹣alnx.

    (1)若    f (x)  0  ,求 a 的值;
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                                            1      1        1
    (2)设    m 为整数,且对于任意正整数           n,(1+   ) ( 1+  )(1+   ) ﹤m,求  m 的最小值.
                                            2     22       2n
(二)选考题:共         10 分。请考生在第      22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修   4- 4:坐标系与参数方程](10          分)

                                          x  2+t,
    在直角坐标系       xOy 中,直线   l1 的参数方程为           (t 为参数),直线        l2 的参数方程为
                                          y  kt,

 x  2  m,
 
    m    (m为参数)    .设  l1 与 l2 的交点为  P,当   k 变化时,P    的轨迹为曲线      C.
  y   ,
   k
    (1)写出     C 的普通方程;


    (2)以坐标原点为极点,x           轴正半轴为极轴建立极坐标系,设               l3:ρ(cosθ+sinθ)- 2 =0,M 为 l3 与

C 的交点,求     M  的极径.

23.[选修   4- 5:不等式选讲](10       分)

    已知函数     f(x)=│x+1│–│x–2│.

    (1)求不等式       f(x)≥1 的解集;

    (2)若不等式       f(x)≥x2–x +m 的解集非空,求       m 的取值范围.
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                       2017  年普通高等学校招生全国统一考试

                                 理科数学试题正式答案

一、选择题

1.B    2.C    3.A    4.C    5.B     6.D

7.D    8.B    9.A    10.A   11.C    12.A

二、填空题

                            1
                        (-     ,+   )
13. -1     14. -8    15.    4             16. ②③

三、解答题

17.解:

                                 2
(1)由已知得  tanA=        3,所以A=
                                  3
在 △ABC   中,由余弦定理得 

                  2
 28  4  c2  4c cos ,即c2 +2c-24=0
                   3
 解得c(舍6去),=4       c

                                                                 
(2)有题设可得        CAD=      ,所以BAD          BAC      CAD   
                         2                                         6
                               1            
                                 ABAADAsi n
                               2             6   1
故△ABD   面积与△ACD    面积的比值为          1
                                     ACAAD
                                   2

                1
又△ABC   的面积为        4  2 si n BAC    2  3,所以的A面BD积为3.
                2

18.解:

(1)由题意知,        X 所有的可能取值为        200,300,500,由表格数据知
                    2 16
         PX  200      0.2
                      90
                    36
         PX  300    0.4
                    90
                    25  7  4
         PX  500         0.4
                       90        .
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        因此   X 的分布列为

                X        200      300       500

                 P       0.2      0.4       0.4

⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑                             200 ≤≤n  500
当  300 ≤≤n  500 时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间20,,          25,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n
当  200 ≤ n  300 时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。
19.解:

(1)由题设可得,        ABD   CBD,从而AD    DC

                                  0
又  ACD 是直角三角形,所以         ACD=90
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO

又由于    ABC是正三角形,故BO         AC

所以   DOB为二面角D的平A面C角    B
 在R中t,AOB   BO2  AO2  AB2
 又A所B以 BD,
 BO2  DO2  BO2  AO2  AB2  BD2,故DOB=90 0
 所以平面A平C面D        ABC
(2)
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                                                              
                                                          OA
由题设及(1)知,    OA, OB, OD 两两垂直,以 O 为坐标原点,   OA 的方向为   x 轴正方向,      为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系        O- xyz ,则

A(1,0,0B) , ( 0,3,C0) , ( 1,D0,0) , ( 0,0,1)

                                        1
由题设知,四面体     ABCE 的体积为四面体    ABCD 的体积的    ,从而  E 到平面 ABC 的距离为   D 到平面
                                        2

          1                      3 1
ABC 的距离的   ,即  E 为 DB 的中点,得  E 0,,     .故
                                    
          2                      2 2

                 3  1
      1,0,1  ,2,0,0  ,1,,
AD     AC     AE       
                             2  2

                                   x  z  0
                             nAAD  0, 
设 n = x, y,z是平面 DAE 的法向量,则    即      3   1
                             nAAE  0, x   y  z  0
                                          2    2

        3  
可取     1   1
   n =  , , 
        3  
                         
                      mAAC  0,
设 m 是平面  AEC 的法向量,则       同理可得   m  0,1, 3
                      mAAE  0,

           nAm    7
则 cos n,m     
           n m   7

                       7
所以二面角   D-AE-C 的余弦值为
                       7

20.解


(1)设  Ax1, y1 ,Bx2 , y2 ,l : x  my  2

  x  my  2
由         可得   2 2    4 0 则4
   2         y  my   ,  y1y2  
  y  2x

                        2
    y 2   y 2      y y 
又 x = 1 ,x = 2 ,故x= x 1 2 =4
  1  2  2  2    1 2  4

                         y  y  - 4
因此 OA 的斜率与   OB 的斜率之积为    1 A 2 = =-1
                         x1 x2 4

所以 OA⊥OB
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故坐标原点      O 在圆  M 上.

                                              2
(2)由(1)可得        y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2 +4=2m   4

                                                    2
故圆心    M 的坐标为    m2+2,m,圆     M 的半径   r   m2  2  m2
                              
由于圆    M 过点  P(4,-2),因此      APABP   0 ,故 x1  4x2  4 y1  2y2  2 0


即  x1x2  4x1+x2  y1y2  2y1  y2  20  0


由(1)可得      y1y2=- 4,x=14x2 ,

                                     1
所以   2m2  m 1 0 ,解得  m  1或m     .
                                     2

当  m=1 时,直线    l 的方程为    x-y-2=0,圆心  M 的坐标为(3,1),圆        M 的半径为     10 ,圆   M 的方程为

 x 32  y 12  10

        1                                                9  1                 85
当  m    时,直线    l 的方程为   2x  y  4  0,圆心  M 的坐标为      ,-  ,圆  M 的半径为         ,圆
        2                                                4  2                 4

                  2       2
              9      1    85
M  的方程为     x   + y+   
              4      2   16

21.解:(1)    f x的定义域为     0,+.

                  1   1
①若   a  0 ,因为  f  =-  +aln2<0,所以不满足题意;
                  2   2

                        a   x  a
②若   a>0,由    f ' x 1      知,当    x 0,a时,  f ' x<0;当  x a,+时,    f ' x>0,
                        x    x

所以   f x在 0,a单调递减,在      a,+单调递增,故       x=a 是 f x在 x 0,+的唯一最小值点.

由于   f 1 0 ,所以当且仅当      a=1 时,  f x 0.

故  a=1

(2)由(1)知当       x 1,+时,   x 1 ln x>0

        1        1    1
令         得          <    ,从而
   x=1+ n   ln1+  n    n
       2         2   2
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      1       1            1    1  1      1    1
                        <                <
 ln1+ +ln1+ 2 ++ln1+ n  + +2 + =n1- n 1
     2     2          2   2  2     2     2

     1  1      1 
故                     <
  1+  1+ 2 1+ n  e
     2  2     2 

     1  1    1 
而                   >  ,所以     的最小值为
  1+  1+ 2 1+ 3  2     m          3.
     2  2   2 

22.解:

                                                                    1
(1)消去参数     t 得 l1 的普通方程  l : y  k x  2;消去参数 m 得 l2 的普通方程 l : y  x  2
                          1                                   2     k

                 y  k x  2
                                     2   2
设  P(x,y),由题设得      1      ,消去   k 得 x  y  4y  0.
                 y   x  2
                    k

所以  C 的普通方程为     x2  y2  4y  0

(2)C  的极坐标方程为      2 cos2  sin2  40<<2  ,  

       2   2      2
     cos   sin   4
联立                     得 cos  sin =2cos +sin .
     cos +sin - 2=0
          1             9        1
故 tan   ,从而   cos2 = ,si=n2
          3            10       10

代入   2 cos2 - sin2 =4得 2=5,所以交点 M 的极径为    5 .

23.解:

           3,     x<1
           
(1)   f x 2x 1, 1 x  2
           
           3,      x>2

当  x<1 时,  f x 1无解;

当  1 x  2时,由  f x 1得, 2x 1 1,解得1  x  2

当  x>2时,由   f x 1解得 x>2.

所以   f x 1的解集为x  x  1.

(2)由   f x x2  x  m 得 m  x 1  x  2  x2  x ,而
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x 1  x  2  x2  x  x +1+ x  2 x2  x

                        2
                     3  5
                =-  x -  +
                     2  4
                  5
                
                  4
      3                     5
且当 x  时,  x 1  x  2  x2  x = .
      2                     4

                5
故 m 的取值范围为   - ,
                4
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