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(精校版)2017年新课标Ⅱ理数高考试题文档版(含答案)

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绝密★启用前

                       2017  年普通高等学校招生全国统一考试

                                        理科数学

注意事项:

    1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

    2.选择题必须使用       2B 铅笔填涂;非选择题必须使用             0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔

迹清楚

    3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试

卷上答题无效

    4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

    5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀


一、选择题:本题共         12 小题,每小题      5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
  3 i
1.      (   )
  1 i
A.1   2i            B.1 2i             C. 2  i                  D. 2  i
2.设集合   A  1,2,4,   x x2  4x  m  0.若 A    1,则   (   )

A.1,3                B.1,0                C.1,3            D.1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,
请问尖头几盏灯?”意思是:一座               7 层塔共挂了     381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
2 倍,则塔的顶层共有灯(             )
A.1  盏                B.3  盏             C.5  盏                 D.9  盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为               1,学    科&网粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面
将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为(                        )
A.  90               B. 63               C. 42                       D. 36
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                      2x  3y  3  0
                      
5.设 x , y 满足约束条件      2x  3y  3  0 ,则 z  2x  y 的最小值是(     )
                      
                      y  3  0
A.  15               B. 9                  C.1                    D.  9
6.安排  3 名志愿者完成      4 项工作,每人至少完成         1 项,每项工作由       1 人完成,则不同的安排方式共有(   
)
A.12  种                     B.18 种                C.24  种              D.36  种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有                                   2 位优秀,2    位良
好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,学                        科&网给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是
不知道我的成绩.根据以上信息,则(                   )
A.乙可以知道四人的成绩                                   B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩                                D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的              a  1,则输出的     S  (    )
A.2                    B.3                C.4                    D.5


              2    2
             x    y                                          2
9.若双曲线    C :      1(  a  0 , b  0 )的一条渐近线被圆       x  2  y2  4 所截得的弦长为     2,则
             a2   b2
 C 的离心率为(        )

                                                                              2  3
A.2                      B.   3                 C.  2                      D.
                                                                                3

                                            
10.已知直三棱柱      AC   A11C1 中, AC   120 ,  A  2 , C  CC1 1,则异面直线       A1 与


 C1 所成角的余弦值为(           )

      3                          15                     10                     3
A.                           B.                     C.                    D.
     2                           5                      5                     3

11.若 x  2 是函数   f (x)  (x2  ax 1)ex1` 的极值点,则 f (x) 的极小值为(      )

A. 1                    B. 2e3                     C. 5e3                    D.1
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                                                             
12.已知  ABC  是边长为    2 的等边三角形,P       为平面   ABC  内一点,则     PA(PB   PC) 的最小值是(        )
                            3                      4
A. 2                    B.                    C.                       D. 1
                            2                      3
二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。
13.一批产品的二等品率为          0.02 ,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100                    次,   表示抽到的二
等品件数,则      D             .
                              3          
14.函数   f x sin2 x  3 cos x  ( x  0,  )的最大值是               .
                              4        2 

                                                   n  1
   等差数列        的前    项和为     ,       ,        ,则                   .
15.        an    n       Sn   a3  3 S4 10                     
                                                  k 1 Sk

16.已知  F 是抛物线    C : y2  8x 的焦点,   是 C 上一点,    F  的延长线交     y 轴于点    .若    为 F 的中

点,则    F               .


三、解答题:共        70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第                     17~21 题为必做题,每个试题考
生都必须作答。第         22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共         60 分。
17.(12 分)
                                                          B
 ABC  的内角   A, B,C 的对边分别为     a,b,c  ,已知 sin(A  C)  8sin2 .
                                                          2
(1)求 cos B  
(2)若 a  c  6  , ABC 面积为 2,求 b. 

18.(12 分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网,收获时各随机抽取了                                     100   个网箱,
测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:


(1)    设两种养殖方法的箱产量相互独立,记                 A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于              50kg,  新养殖法的箱
       产量不低于     50kg,估计  A 的概率;
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(2)    填写下面列联表,并根据列联表判断是否有                   99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

                                    箱产量<50kg                    箱产量≥50kg
       旧养殖法
       新养殖法

(3)    根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到                                 0.01)

          2
      P(𝐾 ≥ 𝑘)                0.050                  0.010                  0.001
           k                    3.841                  6.635                  10.828

             n(ad  bc)2
 K 2                            
      (a  b)(c  d)(a  c)(b  d)

19.(12 分)
如图,四棱锥       P-ABCD 中,侧面    PAD  为等比三角形且垂直于底面           ABCD,
           1
 AB  BC    AD,BAD     ABC   90o ,  E 是 PD 的中点.
           2
(1)证明:直线       CE  / /  平面 PAB

(2)点    M 在棱  PC  上,且直线     BM 与底面    ABCD 所成锐角为     45o  ,求二面角     M-AB-D 的余弦值


         
20. (12 分)

                                 x2
设  O 为坐标原点,动点        M 在椭圆   C:      y2 1上,过   M 做 x 轴的垂线,垂足为        N,点   P 满足
                                 2
     
 NP    2 NM .

(1) 求点  P 的轨迹方程;
                            
(2) 设点  Q 在直线   x=-3 上,且   OP  PQ 1.证明:过点     P 且垂直于    OQ 的直线   l 过 C 的左焦点    F. 

21.(12 分)

已知函数     f (x)  ax3  ax  x ln x, 且 f (x)  0 .

(1)求    a;
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                                         2          3
(2)证明:      f (x) 存在唯一的极大值点       x0 ,且 e   f (x0 )  2 .

(二)选考题:共         10 分。请考生在第      22、23 题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修  4-4:坐标系与参数方程](10         分)

  在直角坐标系       xOy 中,以坐标原点为极点,x          轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线                C1 的极坐标方程为

  cos  4 .


(1)M   为曲线    C1 上的动点,点     P 在线段   OM  上,且满足|    OM  | | OP |16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标

方程;
                        
(2)设点     A 的极坐标为    (2,  ) ,点 B 在曲线   C  上,求   OAB  面积的最大值.
                        3                2
23.[选修  4-5:不等式选讲](10      分)

已知   a  0,b  0,a3  b3  2 ,证明:

(1)   (a  b)(a3  b3 )  4 ;

(2)   a  b  2 .
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                       2017  年普通高等学校招生全国统一考试

                                   理科数学试题答案

一、选择题

  1.D    2.C    3.B     4.B      5.A       6.D

  7.D    8.B    9.A     10.C     11.A      12.B

二、填空题
                                  2n
13. 1.96        14. 1        15.            16. 6
                                 n 1
三、解答题

17.解:
                                        
(1)由题设及       A  B  C  得sin B  8sin2 ,故
                                        2
          sin B  (4 1-cosB)

上式两边平方,整理得 17cos2B-32cosB+15=0
                             15
解得    cosB=1(舍去),c=osB
                             17
             15           8            1          4
(2)由    cosB=   得sin B     ,故  S       acsin B   ac
             17          17      ABC  2          17
                   17
又  S    =2,则ac   
    ABC           2
由余弦定理学       科&网及    a  c  6 得

 b2  a2  c2  2ac cos B
 (a+c)2  2ac(1 cosB)
         17      15
  36  2  (1   )
          2      17
  4

所以   b=2

18.解:

(1)记    B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于             50kg ” , C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于              50kg ” 

由题意知       PA PBC  PBPC

旧养殖法的箱产量低于          50kg 的频率为
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(0).040  0.034  0.024  0.014  0.012  5=0.62
故  PB的估计值为      0.62

新养殖法的箱产量不低于           50kg 的频率为

            (0).068  0.046  0.010  0.008  5=0.66
故  PC的估计值为      0.66

因此,事件      A 的概率估计值为      0.62 0.66  0.4092
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

                                    箱产量    50kg           箱产量≥    50kg

                 旧养殖法                    62                     38
                 新养殖法                    34                     66

                 200 62 66  34 382
             K 2                     15.705
                    100100 96104
             由于15.705  6.635
             故有  99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关.

        (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于                         50kg 的直方图面积为

         0.004  0.020  0.044 5  0.34  0.5 ,

        箱产量低于     55kg 的直方图面积为

         0.004  0.020  0.044+0.068 5  0.68  0.5

        故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
                 0.5-0.34
             50+        ≈5 2.3(5 k)g .
                  0.068
   19.解:

  (1)取    PA 中点  F ,连结   EF , BF .
                                          1                                           1
      因为   E 为 PD 的中点,所以      EF A AD , EF = AD ,由 BAD  ABC  90 得 BC∥AD ,又  BC   AD
                                          2                                           2

      所以   EF ∥BC .四边形     BCEF 为平行四边形,        CE∥BF  .

      又  BF  平面PAB  ,  CE  平面PAB  ,故  CE ∥平面PAB
  (2)
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                                                      
  由已知得     BA  AD ,以 A 为坐标原点,     AB 的方向为    x 轴正方向,     AB  为单位长,建立如图所示的空间直

角坐标系     A-xyz,则

      则  A(0,0, 0) , B(1,0, 0) , C(1,1,0) , P(0,1,  3) ,

                
       PC  (1,0 , 3) , AB  (1,0 ,0) 则

                 
       BM  (x1,y,,z),, PM  (x y 1 z  3)

      因为   BM 与底面    ABCD 所成的角为      45°,而  n  (0,0 ,1) 是底面 ABCD 的法向量,所以

                            z          2
       cos BM ,n  sin 450 ,             
                            (x1)2  y2  z2 2

      即(x-1)²+y²-z²=0
                                
      又  M 在棱  PC 上,学|科网设      PM  PC,则

       x  , y 1, z  3  3

                        2                  2
                x=1+                x=1-
                        2                  2
                                    
                y=1        ( 舍去),=y1
      由①,②得                         
                           6                 6
                z                 z 
                        2               2


          2     6           2    6 
所以   M 1-   , 1,  ,从而   AM   1-   , 1, 
                                        
          2    2                2     2 

设               是平面        的法向量,则
   m = x0, y0, z0   ABM

     
                2- 2  x   2y     6z   0
 mAAM     0         0     0       0
        即  
 mAAB    0    
               x0  0
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                                         mAn     10
所以可取     m=(0,-   6 ,2).于是   cos m, n        
                                         m n     5

                              10
因此二面角      M-AB-D 的余弦值为
                              5
20.解
                                                 
(  )设    (   )   (     ) 设   (    )
  1     P  x,y ,M  x0,y0 ,  N  x0,0 , NP  x  x0, y, NM  0, y0 

                  2
由  NP   2NM  得 x =x, y     y
                 0    0    2

                           x2  y2
因为   M(x0,y0)在   C 上,所以           1
                           2    2

因此点    P 的轨迹方程为     x2  y2  2

(2)由题意知       F(-1,0).设  Q(-3,t),P(m,n),则
                       
 OQ  3,t , PF  1  m, n, OQAPF  3  3m  tn ,
        
 OP  m, n, PQ  3  m, t  n,
    
由  OPAPQ  1得  - 3m  m2  tn  n2  1,又由(1)知  m2 +n2 =2 ,故

3+3m-tn=0
            
所以   OQAPF  0,即   OQ   PF .学.科网又过点     P 存在唯一直线垂直于        OQ,所以过点      P 且垂直于    OQ 的直

线  l 过 C 的左焦点   F.

21.解:

(1)   f x的定义域为    0,+

设  g x = ax - a - lnx ,则 f x = xg x, f x  0 等价于 g x  0

                                           1
因为   g 1=0,g0,故x1=0, 而,g'  1 = g1',得x1 a  g'   a  a 
                                           x
                     1
若  a=1,则  g' x = 1  .当 0<x<1 时,   g' x<0, g x单调递减;当   x>1  时,  g' x>0, g x单调递
                     x

增.所以   x=1 是 g x 的极小值点,故      g x  g 1=0

综上,a=1

(2)由(1)知f       x   x 2  x  x l n x, f ' ( x)  2x  2  l n x

                                   1
设  h x   2x  2  l n x, 则'h( )x 2 
                                   x
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        1                       1                              1
当  x  0,  时, h ' x <0;当 x   , + 时, h ' x >0,所以 h x 在 0,  单调递减,在
        2                       2                              2
  1   
  , + 单调递增
  2   

      2      1                          1                1    
又  h e >0, h   <0,h 1  0,所以 h x 在 0,  有唯一零点  x0,在   , + 有唯一零点    1,且当
              2                          2                2    

          时,       >  ;当           时,       <  ,当            时,      >
 x  0, x0  h x  0    x  x0, 1  h x  0    x  1, +   h x  0.

因为f   ' x   h x ,所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点

由           得                故
   f ' x0   0 l n x0  2( x0 1) , =f (x10  x0)  x0

                      1
由          得        <
   x0  0, 1 f ' x0 
                      4

                                     1            1
因为   x=x0 是 f(x)在(0,1)的最大值点,由e          0, 1, f ' e   0得

      >    1    2
 f x0  f e   e

所以    2<<       - 2
     e   f 2x0 

22.解:

                      ,>                          ,>
(1)设    P 的极坐标为        0  ,M  的极坐标为     1   01  ,由题设知

                      4
 OP  =,O=M   =  
                  1  cos

                                             >
由  OM  AOP   = 16 得C2 的极坐标方程      =4cos    0

                              2    2
因此C2   的直角坐标方程为        x  2   y    4 x  0

                         ,>
(2)设点     B 的极坐标为     B   0B  ,由题设知

       ,
 OA  =2  =4B cos ,于是△OAB   面积

    1
 S=   OAA  Asi n AOB
    2      B
                      
   4 cos Asi n     
                     3 
                     3
   2 si n 2    
                3    2
  2    3
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       
当=-     时,S  取得最大值     2+ 3
      12

所以△OAB    面积的最大值为       2+ 3

23.解:

(1)

 a   ba5   b5   a6   ab5   a5b   b6
                                 2
                      a3   b3    2a3b3   ab a4   b4 
                                       2
                     4  ab a2   b2 
                    4

(2)因为

        3
 a  b    a3  3a2b   3ab2   b3
                    2  3ab a+b
                              2                      3
                       3 a+b                3 a+b
                   2+          a+b   2 
                           4                     4

          3
所以   a+b   8 ,因此   a+b≤2.


 
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