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(精校版)2017年新课标Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

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绝密★启用前
                    2017   年普通高等学校招生全国统一考试
                                       理科数学

本试卷    5 页,23  小题,满分     150 分。考试用时     120 分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用                                        2B 铅笔将
             试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”
             。

          2.作答选择题时,选出每小题答案后,用                  2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
            如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

          3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
             位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按
             以上要求作答无效。

         4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共         12 小题,每小题      5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
    要求的。

1.已知集合      A={x|x<1},B={x| 3x 1},则

   A.  A  B  {x | x  0}         B.  A  B  R

   C.  A  B  {x | x 1}          D.  A  B  

2.如图,正方形        ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
   形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是


          1                            π
      A.                           B.
          4                            8
         1                             π
      C.                           D.
         2                             4
   3.设有下面四个命题
                       1
       p :若复数    z 满足    R ,则   z  R ;
        1              z
                       2
      p2 :若复数    z 满足 z   R ,则  z  R ;

      p3 :若复数   z1, z2 满足 z1z2  R ,则 z1  z2 ;
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    p4 :若复数   z  R ,则  z  R .
   其中的真命题为

   A.  p1, p3           B.  p1, p4         C.  p2 , p3         D.  p2 , p4

4.记   Sn 为等差数列{an}    的前  n 项和.若    a4  a5  24 , S6  48 ,则{an} 的公差为

    A.1                 B.2                C.4                 D.8

5.函数    f (x) 在 (,) 单调递减,且为奇函数.若           f (1)  1,则满足  1  f (x  2) 1的 x 的取值范

   围是

   A.[2,2]             B.[1,1]           C.[0,4]             D.[1,3]
        1
6.  (1   )(1 x)6 展开式中  x2 的系数为
       x2
    A.15                B.20               C.30                D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长
   为  2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为


    A.10            B.12           C.14            D.16
8.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000             的最小偶数    n,那么在        和     两个空白框中,可以分别填
   入


    A.A>1 000 和  n=n+1
    B.A>1 000 和  n=n+2
    C.A   1 000 和 n=n+1
    D.A   1 000 和 n=n+2
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                                    2π
9.已知曲线      C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+   ),则下面结论正确的是
                                     3
                                                                            π
   A.把   C1 上各点的横坐标伸长到原来的            2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移                    个单位长度,
                                                                            6

      得到曲线    C2
                                                                            π
   B.把   C1 上各点的横坐标伸长到原来的            2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移                    个单位长度,
                                                                           12

      得到曲线    C2
                                     1                                      π
   C.把   C1 上各点的横坐标缩短到原来的              倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移                    个单位长度,
                                     2                                      6

      得到曲线    C2
                                     1                                      π
   D.把   C1 上各点的横坐标缩短到原来的              倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移                     个单位长度,
                                     2                                      12

      得到曲线    C2

                       2
10.已知    F 为抛物线    C:y =4x 的焦点,过     F 作两条互相垂直的直线          l1,l2,直线  l1 与 C 交于 A、B  两点,

    直线   l2 与 C 交于 D、E  两点,则|AB|+|DE|的最小值为
    A.16                B.14               C.12                D.10

11.设   xyz 为正数,且    2x  3y  5z ,则
    A.2x<3y<5z          B.5z<2x<3y         C.3y<5z<2x          D.3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解
    数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列                                  1,1,2,1,
    2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是                  20,接下来的两项是        20,21,再接下来的三
    项是   20,21,22,依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数                  N:N>100  且该数列的前N      项和为    2 的
    整数幂.那么该款软件的激活码是
    A.440               B.330              C.220               D.110
二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。
13.已知向量      a,b 的夹角为    60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |=        .

                       x  2y 1
                       
14.设   x,y 满足约束条件      2x  y  1,则  z  3x  2y 的最小值为          .
                       
                       x  y  0

                  x2  y2
15.已知双曲线       C:       1 (a>0,b>0)的右顶点为        A,以  A 为圆心,b    为半径做圆     A,圆   A 与双曲
                  a2  b2
    线  C 的一条渐近线交于        M、N  两点。若∠MAN=60°,则        C 的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为            O,半径为     5 cm,该纸片上的等边三角形           ABC  的中心为    O。D、E、F    为圆
    O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB           分别是以     BC,CA,AB   为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分
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    别以   BC,CA,AB   为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得               D、E、F   重合,得到三棱锥。当

    △ABC  的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。


三、解答题:共        70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                     17~21 题为必考题,每个试题考
    生都必须作答。第        22、23  题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共         60 分。
 17.(12  分)
                                                                  a2
    △ABC  的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知△ABC       的面积为              
                                                                3sin A
    (1)求    sinBsinC;
    (2)若    6cosBcosC=1,a=3,求△ABC    的周长.
18.(12 分)

    如图,在四棱锥       P-ABCD  中,AB//CD,且    BAP   CDP    90 .


    (1)证明:平面       PAB⊥平面    PAD;

    (2)若    PA=PD=AB=DC,   APD    90 ,求二面角    A-PB-C 的余弦值.
19.(12   分)
    为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取                                  16 个零件,并测量
其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分

         2
布  N(,  ) .

    (1)假设生产状态正常,记            X 表示一天内抽取的        16 个零件中其尺寸在       (  3 ,   3 ) 之外的零件

数,求    P(X 1) 及 X 的数学期望;

    (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在                   (  3 ,   3 ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
    (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;

    (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的                16 个零件的尺寸:
                      9.95 10.12  9.96   9.96  10.01 9.92   9.98  10.04
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                     10.26  9.91  10.13 10.02  9.22  10.04 10.05  9.95

                   16                  16                16
                 1                   1          2     1     2     2 2
             x      x  9.97   s        (x  x)      (  x 16x  )   0.212
                     i                   i               i                      x
    经计算得        16 i1       ,      16 i1           16  i1                 ,其中    i 为抽取

的第   i 个零件的尺寸,     i 1,2,,16 .

    用样本平均数      x 作为   的估计值    ˆ ,用样本标准差      s 作为   的估计值ˆ    ,利用估计值判断是否需对

当天的生产过程进行检查?剔除              (ˆ  3ˆ, ˆ  3ˆ) 之外的学科网数据,用剩下的数据估计           和  (精确到
0.01).

                                       2
    附:若随机变量       Z 服从正态分布      N(,   ) ,则 P(  3  Z    3 )  0.997 4 ,

            16
     0.997 4   0.959 2 , 0.008  0.09 .
20.(12 分)

                x2  y2                                                3             3
   已知椭圆     C:        =1 (a>b>0),四点    P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,          ),P4(1,       )中
               a2   b2                                                2             2
恰有三点在椭圆        C 上.
  (1)求    C 的方程;

  (2)设直线      l 不经过  P2 点且与  C 相交于    A,B 两点.若直线     P2A 与直线   P2B 的斜率的和为–1,证明:l         过
定点.
21.(12 分)

   已知函数     (f x)  ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

  (1)讨论     f (x) 的单调性;
  (2)若    f (x) 有两个零点,求     a 的取值范围.

(二)选考题:共         10 分。请考生在第      22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修   4―4:坐标系与参数方程](10           分)

                                         x  3cos,
   在直角坐标系       xOy 中,曲线   C 的参数方程为               (θ 为参数),直线       l 的参数方程为
                                         y  sin,

 x  a  4t,
        (t为参数).
 y 1 t,
(1)若    a=−1,求  C 与 l 的交点坐标;

(2)若    C 上的点到    l 的距离的最大值为        17 ,求  a.
23.[选修   4—5:不等式选讲](10        分)
    已知函数     f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
   (1)当    a=1 时,求不等式     f(x)≥g(x)的解集;
   (2)若不等式       f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求          a 的取值范围.
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                            2017 年新课标      1 理数答案

1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.D

10.A

11.D

12.A

13. 2 3

14. 5

    2 3
15. 
     3

16. 4 15

                  1          a2      1          a
17.解:(1)由题设得       acsin B      ,即    csin B     .
                  2         3sin A   2        3sin A
           1            sin A
由正弦定理得       sin C sin B    .
           2           3sin A
             2
故 sin Bsin C  .
             3
                                         1                 1
(2)由题设及(1)得       cos B cosC  sin Bsin C   , ,即 cos(B  C)   .
                                         2                 2
           2π        π
所以  B  C    ,故  A  .
            3        3
        1          a2
由题设得     bcsin A      ,即  bc  8 .
        2         3sin A
                      中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

由余弦定理得     b2  c2  bc  9 ,即 (b  c)2  3bc  9 ,得 b  c  33 .

故△ABC    的周长为   3  33 .

18.解:(1)由已知     BAP   CDP  90 ,得 AB⊥AP,CD⊥PD.

由于  AB∥CD,故    AB⊥PD,从而    AB⊥平面  PAD.

又  AB  平面 PAB,所以平面     PAB⊥平面  PAD.

(2)在平面    PAD  内做  PF  AD ,垂足为   F ,

由(1)可知,     AB  平面  PAD ,故  AB  PF ,可得  PF  平面  ABCD .
                                
以  F 为坐标原点,    FA 的方向为   x 轴正方向,|   AB | 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系              F  xyz .


                   2              2       2            2
由(1)及已知可得       A(   ,0,0) , P(0,0, ) , B(  ,1,0) , C( ,1,0) .
                   2              2      2            2

         2     2                2      2    
所以  PC  (   ,1,  ) , CB  ( 2,0,0) , PA  ( ,0,  ) , AB  (0,1,0) .
            2     2                         2      2

设  n  (x, y, z) 是平面 PCB 的法向量,则

             2        2
 n PC  0     x  y   z  0
     ,即    2        2     ,
 nCB  0   
               2x  0

可取  n  (0,1, 2) .

设  m  (x, y, z) 是平面 PAB 的法向量,则

            2     2
 m  PA  0    x    z  0
     ,即   2     2     ,
 m  AB  0  
             y  0

可取  n  (1,0,1) .
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

               nm        3
则  cos              ,
              | n || m | 3

                                  3
所以二面角      A  PB  C 的余弦值为        .
                                 3

19.【解】(1)抽取的一个零件的尺寸在               (  3 ,   3 ) 之内的概率为  0.9974,从而零件的尺寸在

 (  3 ,   3 ) 之外的概率为  0.0026,故 X ~B(16,0.0026) .因此

 P(X 1) 1  P(X  0) 1 0.9974  0.0408 .

 X 的数学期望为      EX  160.0026   0.0416 .

(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在                   (  3 ,   3 ) 之外的概率只有   0.0026,一天内抽取的

16 个零件中,出现尺寸在          (  3 ,   3 ) 之外的零件的概率只有     0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生

这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况,需对当天的生产

过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由   x  9.97, s  0.212 ,得  的估计值为   ˆ  9.97 , 的估计值为ˆ     0.212 ,由样本数据可以看

出有一个零件的尺寸在          (ˆ  3ˆ, ˆ  3ˆ) 之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
                                                     1
剔除   (ˆ  3ˆ, ˆ  3ˆ) 之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为         (169.97  9.22) 10.02 ,因此   的估
                                                     15
计值为    10.02.

 16
     2           2         2           ,剔除    ˆ    ˆ ˆ   ˆ 之外的数据         ,剩下数据的样本方
   xi 160.212  169.97  1591.134        (  3 ,   3 )       9.22
 i1
     1
差为     (1591.134  9.222 1510.022 )  0.008 ,
     15

因此    的估计值为      0.008  0.09 .

20.(12 分)解:


(1)由于     P3 , P4 两点关于  y 轴对称,故由题设知        C 经过  P3 , P4 两点.

     1   1   1    3
又由               知,C   不经过点    P1,所以点    P2 在 C 上.
     a2  b2  a2  4b2
      1
        1              2
     b2              a  4
因此             ,解得        .
      1    3           b2 1
           1       
     a2 4b2
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             x2
故  C 的方程为       y2 1.
             4

(2)设直线      P2A 与直线  P2B 的斜率分别为      k1,k2,

                                                                             4  t 2
如果   l 与 x 轴垂直,设    l:x=t,由题设知     t  0 ,且| t | 2 ,可得 A,B 的坐标分别为(t,             ),(t,
                                                                              2

    4  t 2
       ).
     2

           4  t 2  2 4  t 2  2
则  k  k                     1 ,得 t  2 ,不符合题设.
    1  2     2t         2t

                                             x2
从而可设     l: y  kx  m ( m  1 ).将 y  kx  m 代入  y2 1得
                                             4

 (4k 2 1)x2  8kmx  4m2  4  0


                 2    2
由题设可知      =16(4k  m 1)  0 .

                                     8km         4m2  4
设  A(x1,y1),B(x2,y2),则       x1+x2=      ,x1x2=       .
                                    4k 2 1      4k 2 1

          y1 1 y2 1
而  k1  k2    
           x1     x2
  kx  m 1  kx  m 1
   1        2
      x1        x2
  2kx x  (m 1)(x  x )
    1 2        1  2 .
          x1x2


由题设    k1  k2  1,故 (2k 1)x1x2  (m 1)(x1  x2 )  0 .

          4m2  4        8km
即  (2k 1)      (m 1)      0 .
          4k 2 1       4k 2 1
         m 1
解得   k      .
           2
                                     m 1                m 1
当且仅当     m  1时,   0 ,欲使  l: y      x  m ,即 y 1     (x  2) ,
                                      2                   2
所以   l 过定点(2,    1)


21.解:(1)    f (x) 的定义域为    (,) ,  f (x)  2ae2x  (a  2)ex 1  (aex 1)(2ex 1) ,

(ⅰ)若     a  0 ,则 f (x)  0 ,所以 f (x) 在 (,) 单调递减.

(ⅱ)若     a  0 ,则由  f (x)  0 得 x  ln a .
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当  x (,ln a) 时, f (x)  0 ;当 x (ln a,) 时, f (x)  0 ,所以 f (x) 在 (,ln a) 单调递减,

在 (ln a,) 单调递增.

(2)(ⅰ)若     a  0 ,由(1)知,    f (x) 至多有一个零点.
                                                                       1
(ⅱ)若    a  0 ,由(1)知,当    x  ln a 时, f (x) 取得最小值,最小值为    f (ln a) 1  ln a .
                                                                       a
①当  a 1时,由于    f (ln a)  0 ,故 f (x) 只有一个零点;
                       1
②当  a (1,) 时,由于1     ln a  0 ,即 f (ln a)  0 ,故 f (x) 没有零点;
                       a
                  1
③当  a (0,1) 时,1   ln a  0 ,即 f (ln a)  0 .
                  a

又  f (2)  ae4  (a  2)e2  2  2e2  2  0 ,故 f (x) 在 (,ln a) 有一个零点.
                    3
设正整数    n 满足 n   ln( 1) ,则 f (n )  en0 (aen0  a  2)  n  en0  n  2n0  n  0 .
         0    0     a          0                  0      0       0
       3
由于  ln( 1)  ln a ,因此 f (x) 在 (ln a,) 有一个零点.
       a

综上,   a 的取值范围为    (0,1) .

22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10       分)

                         x2
解:(1)曲线     C 的普通方程为        y2 1.
                         9

当  a  1时,直线  l 的普通方程为    x  4y  3  0 .

                               21
   x  4y  3  0         x  
                 x  3       25
由    2         解得       或         .
    x   2               
      y 1      y  0     24
    9                     y 
                            25
                            21 24
从而  C 与 l 的交点坐标为    (3,0) , ( ,  ) .
                            25 25

(2)直线    l 的普通方程为   x  4y  a  4  0 ,故 C 上的点 (3cos,sin ) 到 l 的距离为

    | 3cos  4sin  a  4 |
 d                    .
             17

                      a  9       a  9
当  a  4 时, d 的最大值为       .由题设得         17 ,所以  a  8 ;
                        17          17
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                      a 1        a 1
当  a  4 时, d 的最大值为       .由题设得          17 ,所以  a  16 .
                        17           17

综上,   a  8 或 a  16 .、

23.[选修 4-5:不等式选讲](10     分)

解:(1)当    a 1时,不等式     f (x)  g(x) 等价于 x2  x | x 1|  | x 1| 4  0 .①

当  x  1时,①式化为    x2  3x  4  0 ,无解;

当  1 x 1时,①式化为    x2  x  2  0 ,从而 1 x 1;

                                       1  17
当  x 1时,①式化为    x2  x  4  0 ,从而1 x       .
                                          2

                               1  17
所以   f (x)  g(x) 的解集为{x | 1 x     } .
                                  2

(2)当   x [1,1] 时, g(x)  2 .

所以   f (x)  g(x) 的解集包含[1,1],等价于当   x [1,1] 时 f (x)  2 .

又  f (x) 在[1,1]的最小值必为   f (1) 与 f (1) 之一,所以 f (1)  2 且 f (1)  2 ,得 1 a 1.

所以  a 的取值范围为[1,1].
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