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[首发]重庆市中山外国语学校2019届高三暑期补课效果检测数学(理)试题(PDF版)

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              重庆市中山外国语学校                    2019   届暑期补课效果检测
                                        理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共          12 小题,每小题     5 分,共   60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

1.若复数     z 满足(1 + 2i)z = 1 − i,则复数 z 为(   )

   1  3                  1  3                  1  3                   1  3
A.  +  i              B. − + i               C. −  i               D. − − i
   5  5                  5  5                  5  5                   5  5

                                                   1
2.已知集合      A = ( − ∞, − 1] ∪ [1, + ∞),B = {y|y = log x,x ∈ [ ,4]},则 A ∩ B =( )
                                             2     2

A. [ − 1,2]           B. [1,2]              C. { − 1} ∪ [1,2]      D. [ − 1,1] ∪ {2}

3.函数                的部分图象为
             sinx+|sinx|
        f(x) =  x


A.                                             B.


C.                                              D.

4.已知平面向量         满足              ,  与  的夹角为        °,若          ⊥  ,则实数       的值为(       )

A.             a,b aB.= 3, b = 2 a b 1C2.0   (a+mb) a   D.m
                          3
                          2
5.祖1 暅是我国古代的伟大科学家,他在               5 世纪末提出祖暅:2“幂势即同,则积不容异”,意3                  思是:夹在两

个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个


                                   【理科数学】第     1页,总   6页
几何体的体积相等.         祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积,例如由圆锥和圆柱的体

积推导半球体的体积,其示意图如图所示,其中图(1)是一个半径为                            R 的半球体,图(2)是从圆柱中挖去一

个圆锥所得到的几何体.           (圆柱和圆锥的底面半径和高均为              R)


利用类似的方法,可以计算抛物体的体积:在                    x-O-y 坐标系中,设抛物线       C 的方程为    y=1-x2 (-1≤x≤1),将

曲线   C 围绕  y 轴旋转,得到的旋转体称为抛物体.              利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为(                      ).

   π                    π                         2π                          3π
A.                   B.                         C.                         D.
   3                    2                          3                          4

6.已知双曲线                          ,四点              ,               中恰有三点在双曲线上,则该
              2 − 2                                    −
             x   y
              2  2                     1     2       3       4
双曲线的离心率a      为(b = 1 )a > 0,b > 0    P 4,2 ,P 2,0  P    4,3 ,P 4,3

A.                     B.                        C.                         D.
    5                    5                          7                         7
7.Δ2     中,角     、  、  的对2 边分别为     ,  ,  ,若        2      ,三角形面积为           ,2      °,则

   ( ABC)       A  B  C            a  b  c    a + b + c = 20             10 3  A = 60

aA.=7                  B. 8                      C. 5                       D. 6

8.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该书完善了珠算口诀,确立了算盘用法,

完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示的程序框

图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题,执行该程序框图,若输入的                                a 值为  5,则输出的值为(          )


                                   【理科数学】第     2页,总   6页
A. 19                  B. 35                        C. 67                    D. 198

9.等腰直角三角形        ABE 的斜边   AB 为正四面体     ABCD 侧棱,直角边      AE 绕斜边   AB 旋转,则在旋转的过程中,

有下列说法:


(1)四面体      E−BCD 的体积有最大值和最小值;

(2)存在某个位置,使得           AE ⊥ BD;

(3)设二面角       D − AB − E 的平面角为θ,则θ    ≥ ∠DAE;

(4)AE   的中点   M  与 AB 的中点   N 连线交平面     BCD  于点  P,则点   P 的轨迹为椭圆.

其中,正确说法的个数是(                )

A. 1                  B. 2                      C. 3                        D. 4
                                             1 − 2x, x ∈ [0,1)
10.定义在    R 上的奇函数     f(x),当 x ≥ 0 时,f(x) =                   ,则关于    x 的函数  F(x) = f(x) − a(0 <
                                          1 − |x − 3|, x ∈ [1, + ∞).
a < 1)的所有零点之和为(           )

    a                       −a
A. 2 − 1              B.  1 − 2                 C. − log2(1 + a)           D. log2(1 − a)

11.已知二次函数                        ≤     ,定义                 −  ≤   ≤   ≤   ,               −
                       2
  ≤   ≤   ≤   ,f其(x中) = ax + bx表(示b 2中a的)较大者f,1(x) = max表f(示t) 1中的t较小x者,1下列f2(命x)题=正m确in的f(是t)

1A. 若t  −x  1     ,则max −a,b    a,b            mBin. a若,b − a,b   ,则    −

C. 若f1(   1) = f1−(1),则 f( −1) > f(1)           D. 若f2(  1) = f2−(1),则 f( −1) > f(1)

    已f2知(1圆) =C 与f1(x 轴1)相切于f1点( T1()1,<0)f1,(与1)y 轴正半轴交于两点 Af,2B((1B)在= fA1(的上1)方)且f2A(B=21,)过>点f2A(1任) 作一条直

线12与. 圆 O:x2+y2=1 相交于 M、N 两点,下列三个结论:        ①NA = MA; ②NB − MA = 2; ③NB + MA =2 2其中正确结论
                                              NB  MB   NA  MB        NA MB

的序号是

A. ①②                  B. ②③                   C. ①③                         D. ①②③


二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。、

13.若不等式|mx3      − lnx| ≥ 1(m > 0),对∀x ∈ (0,1]恒成立,则实数    m  的取值范围是__________________.

                        x − y − 1 ≤ 0,                                                   1
14.已知   x,y 满足约束条件                 当目标函数     z = ax + by(a > 0,b > 0)在该约束条件下取到最小值      4, +
                       2x − y − 3 ≥ 0,                                                   a

1
 的最小值为__________.
b

          π     1        π
15.若   sin( − α)= ,则 cos( +2α)=________.
          3     4        3

16.已知三棱锥       A BCD  中,   BC   CD, AB  AD    2, BC 1,CD   3 ,则该三棱锥外接球的体积


                                   【理科数学】第     3页,总   6页
为__________.


三、解答题:共        70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                      17~21 题为必考题,每个试题考

生都必须作答。第        22、23  为选考题。考生根据要求作答。

(一)必考题:共        60 分。

17.已知等差数列          中,                   .

(1)设          ,求an证:数a列1  = 2,a是2 等+ a比4 数=列16;
             an
(2)求bn    = 2  的前    项和.   bn

        an + bn    n


18.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记

住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的.

根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了                                       50 名魔方爱好

者进行调查,得到的情况如下表所示:

             喜欢盲拧           不喜欢盲拧            总计

男            22               ▲              30

女              ▲            12               ▲

总计             ▲              ▲              50

                          表 1

并邀请这     30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示:

成功完成时间(分钟)            [0,10)  [10,20)   [20,30)  [30,40]

人数                    10      10        5        5

                          表 2

(1)将表     1 补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过                  0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?


                                   【理科数学】第     4页,总   6页
(2)根据表      2 中的数据,求这      30 名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值

代替);

附参考公式及数据:                    −       ,其中                  .
                                2
                   2       n(ad bc)
                  K  = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n = a + b + c + d
             0.10    0.05   0.025   0.010  0.005   0.001

  −     ∞    2.706   3.841  5.024   6.635  7.879   10.828

 (  1, +  )


19 . 如  图 ,  四 棱 锥  P − ABCD 中 , 底  面  ABCD 是 直  角 梯  形 ,

AB//CD,∠DAB  = 60°,AB = AD = 2CD = 2,侧面 PAD ⊥底面    ABCD,且

ΔPAD 是以   AD 为底的等腰三角形.

(Ⅰ)证明:AD       ⊥ PB

                                 3
(Ⅱ)若四棱锥        P − ABCD 的体积等于     问:是否存在过点         C 的平面
                                 2.

CMN  分别交   AB,PB  于点  M,N,使得平面      CMN//平面   PAD?若存在,

求出ΔCMN    的面积;若不存在,请说明理由.


20.如图,在平面直角坐标系            xOy 中,已知点    T(1,t)(t < 0)到抛

物线y2   = 2px(p > 0)焦点的距离为   2.

(1)求    p,t 的值;

(2)   设  A,B 是抛物线上异于      T 的两个不同点,过       A 作 y 轴的

垂线,与直线       TB 交于点  C,过   B 作 y 轴的垂线,与直线       TA 交

于点   D,过  T 作 y 轴的垂线,与直线        AB,CD 分别交于点    E,F.

求证:①直线       CD 的斜率为定值;

②T  是线段   EF 的中点.


                                   【理科数学】第     5页,总   6页
21.已知函数      f(x)=ln x-ax+a,a∈R.

(1)若    a=1,求函数     f(x)的极值;

(2)若函数      f(x)有两个零点,求     a 的取值范围;

(3)对于曲线       y=f(x)上的两个不同的点        P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),记直线  PQ 的斜率为    k,若  y=f(x)的导

                    x +x
函数为    f ′(x),证明:f'( 1 2 ) < k.
                     2


(二)选考题:共        10 分。请考生在第       22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.选修    4-4:坐标系与参数方程

                                            α      α
在直角坐标系       xOy 中,曲线   C 的参数方程为                      (α为参数).
                                             α −   α
                                      x = sin  + cos
 (Ⅰ)求曲线       C 的普通方程;                 y = sin  cos

                                                                   π
 (Ⅱ)在以      O 为极点,x   正半轴为极轴的极坐标系中,直线               l 方程为    ρ       − θ        ,已知直线     l
                                                                           1
与曲线    C 相交于   A、B 两点,求|AB|.                                2  sin( 4   ) + 2 = 0


23.选修    4-5:不等式选讲

已知函数                      −  .

(1)当     f(x)−= |时x +,m求|不+等|2式x 1| ≤ 的解集;

(2)若    m =≤1        的解集包f(x含)   2 ,求    的取值范围.
                               3
        f(x)  |2x + 1|         4 ,2    m


                                   【理科数学】第     6页,总   6页
                              参考答案

一、选择题:本题共         12 小题,每小题      5 分,共  60 分

1-5:DCADB                6-10:CACBC                11、12:CD

二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。


        e2                                                             4
13.m  ≥  .             14.                      15.                16.
        3                                                               3
三、解答题:共       70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                    17~21 题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第             22、23 为选考题。考生根据要求作答。

17.

(1)设      的公差为      ,

由       an   ,可得d                       ,即               .

又a2 + a4,=可1得6    .a1 + d + a1 + 3d = 16     2a1 + 4d = 16

   1
故a  = 2      −d = 3       −  ⋅        −

   n   1
依题a 意=,a + n  1− d,=因2为+ n 1    3 = 3(n常数1 ).
                             3n+−2
             3n 1     bn+1  2      3
         n                   3n 1
故    是首b 项=为2 4,公比     bn =的2等比=数2列.

    n
(2b)    的前    项和为    q = 8
                    n a1+an n 3n+1
       n              2       2
      a      n   −     −  −=⋅
    的前   项和为                      ⋅      −
                 −       3n−1 3
               b1 bnq 4 2    2  1    3n+2  4
 bn     n       1 q =    1 8  = 7   2      7
故         的前    项和为           ⋅      −  .
                     n 3n+1  1    3n+2 4
    n   n
18.a + b      n         2  + 7  2      7

(1)依题意,补充完整的表            1 如下:

                  喜欢盲拧               不喜欢盲拧                总计

男                 22                 8                    30

女                 8                  12                   20

总计                30                 20                   50


由表中数据计算得          的观测值为          ×(  ×  − × )     ≈
                                   ×  ×  ×   2
                 2             50   22 12 8 8   50
                K           k =   30 20 30 20 =  9   5.556 > 5.024
所以能在犯错误的概率不超过                  的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。

(2)依题意,所求平均时间为0.0×25               ×      ×      ×             (分钟)
                               1      1      1      1  20     50
19.                        5   3 +15  3 +25  6 +35  6 = 3 +10= 3

(Ⅰ)证明:取       AD 的中点   G,连接    PG,GB,


∵PA  = PD,

∴PG  ⊥ AD.

∵AB  = AD 且∠DAB  = 60°,

∴ΔABD  是正三角形,且       BG ⊥ AD,

又∵PG   ∩ BG = G,PG,BG ⊂平面   PGB

∴AD  ⊥平面   PGB,且   PB ⊂平面   PGB

∴AD  ⊥ PB

(Ⅱ)解:存在,理由如下:

分别取   PB,AB 的中点   M,N,连接    CM,MN,NC,则   MN//PA;

                            1
∵ABCD  是梯形,DC//AB    且 DC =  AB,
                            2

∴DC//AN  且 DC = AN,则四边形     ABCD 为平行四边形,

∴NC//AD

又∵MN,NC   ⊄ 平面   PAD,AP,AD ⊂平面   PAD

∴MN//平面    PAD,NC//平面   PAD 且 MN,NC ⊂平面    CMN,MN   ∩ NC = N

∴平面   CMN//平面   PAD

∵侧面   PAD ⊥  ABCD,且平面    PAD ∩平面   ABCD = AD

                                                     3
由(Ⅰ)知,PG       ⊥平面   ABCD,若四棱锥     P − ABCD 的体积等于     ,
                                                     2

则  PG = 3,所以   MN  = 1,NC = 2

                  PB  BC
在ΔPBC  和ΔMBC  中,    =   =  2
                  BC BM

∴ΔPBC  ∼ ΔMBC,则   CM  = 3

                              1             3
∴ΔCBM  是直角三角形,则S            =  ⋅ CM ⋅  MN =  .
                        ΔCMN  2             2
20.

                       p
(1)由抛物线定义知,1          +  = 2
                       2
所以  p = 2,

将点  T(1,t)(t < 0)代入抛物线得y2  = 4x,t = 2

         y2     y2
(2)设   A( 1 ,y ),B( 2 ,y )
          4 1   4  2
①则直线       的方程为:          y1+2
        TA           y + 2 = y2 (x − 1)
                           1−1
                           4

              (y +2)(y −2)      (y +2)(y −2)
令  y = y 得,x = 2  2  + 1,所以   D( 2   2 + 1,y )
      2          4                 4       2

       (y +2)(y −2)
同理  D(  1  1  + 1,y )
          4       1

                       y2−y1      y2−y1
所以直线    CD 的斜率为(y   +2)(y −2) (y +2)(y −2) = 4(y −y ) =− 1(定值)
                    2  1 − 1 2     1 2
                     4      4      4

②设点   E,F 的横坐标分别为xE,xF

                                   (y +2)(y −2)
由①知,直线      CD 的方程为:y     − y =− x + 1 2  + 1
                            1         4

                      (y +2)(y −2)
令  y =− 2 得,x = 2 + y + 1 2  + 1
             F     1     4

                          4
又直线   AB 的方程为:y     − y1 =   (x − x1)
                         y1+y2

                   (y +2)(y +y )
令  y =− 2 得,x = x − 1  1 2
             E  1     4

           (y1+2)(y1+y2) (y1+2)(y2−2)
    x +x x1−     +2+y1+    +1 4x −y 2−2y −y y −2y +8+4y +y y +2y −2y −4+4
所以   E F =    4         4    =  1 1  1 1 2 2   1 1 2 2 1
     2            2                         8

  4x −y 2+8
=  1 1  = 1 所以 T 是线段   EF 的中点.
    8

21.

          1     1−ax
(1)f'(x) = − a =  ,x  > 0,
          x      x

        当 a ≤ 0 时,f'(x) > 0,f(x)在(0, + ∞)上单调递增,无极值;

                         1                 1
        当 a > 0 时,x ∈  (0, ), f'(x) > 0,f(x)在(0, ),上单调递增;
                         a                 a

                       1                    1
                   x ∈ ( , + ∞), f'(x) < 0,f(x)在( , + ∞),上单调递减,
                       a                    a

                      1
        函数有极大值      f( ) = a − lna − 1,无极小值.
                      a

(2)由(1)可知当        a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调增,不可能有两个零点;

                        1
当  a>0 时,函数有极大值        f( ) = a − lna − 1,
                        a

                                        1  x−1
       令 g(x) = x − lnx − 1(x>0), g'(x) = 1 − = ,
                                        x   x

       x ∈ (0,1),g'(x) < 0,g(x) < 0 在(0,1)上单调递减;
       x ∈ (1, + ∞),g'(x) > 0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,

       函数  g(x)有最小值    g(1) = 0.

       要使若函数     f(x)有两个零点时,必须满足          a > 0 且 a ≠ 1,

       下面证明    a > 0 且 a ≠ 1 时,函数有两个零点.

       因为  f(1) = 0,

       所以下面证明      f(x)还有另一个零点.

                        1
       ①当  0 < a < 1 时,f( ) = a − lna − 1 > 0,
                        a

         1            1 −2alna+a2−1 2alna−a2+1
       f( ) =− 2lna + a − =     =−       ,
        a2            a     a         a

       令 h(a) = 2alna − a2 + 1(0 < a < 1),h'(a) = 2(lna + 1) − 2a = 2(lna − a + 1) < 0,

                                             1
       h(a)在(0,1)上单调递减,h(a)    > h(1) = 0,则 f( ) < 0,
                                             a2

                 1 1                   1
       所以  f(x)在( , )上有零点,又      f(x)在( , + ∞)上单调递减,
                 a a2                  a

                 1 1
       所以  f(x)在( , )上有惟一零点,从而         f(x)有两个零点.
                 a a2

                     1
       ②当  a > 1 时,f( ) = a − lna − 1 > 0,
                     a

         1          1        1
       f( ) =− a − a × + a =− a × < 0,
        ea         ea        ea

                      1  1
       易证ea  > a,可得    < ,
                     ea  a

                 1 1                  1
       所以  f(x)在( , )上有零点,又      f(x)在( , + ∞)上单调递减,
                 ea a                 a

                 1 1
       所以  f(x)在( , )上有惟一零点,从而         f(x)有两个零点.
                 ea a

       综上,a   的范围是(0,1)   ∪ (1, + ∞).

(3)证明:f(x1)    − f(x2) = lnx1 − lnx2 + a(x2 − x1),

         f(x )−f(x ) x − x +a(x −x ) x − x
      k = 1  2 = ln 1 ln 2 2 1 = ln 1 ln 2 − a,
          x1−x2     x1−x2     x1−x2

             1     1−ax  x +x   2
      又f'(x) = − a = ,f'( 1 2 ) =  − a,
             x      x     2    x1+x2

        x +x      2    x − x  1  2(x −x ) x
      f'( 1 2 ) − k = − ln 1 ln 2 = [ 1 2 − ln 1 ]
         2       x1+x2 x1−x2 x1−x2 x1+x2 x2
                        x
                       2( 1 −1)
                   1    x2     x1
                 =    [ x1 − ln ]
                  x1−x2  +1    x2
                        x2

      不妨设   0<x2<x1,    t=   ,则  t>1,
         x
        2( 1−1)
         x2     x1 2(t−1)
      则  x1 − ln =     − lnt.
          +1    x2  t+1
         x2

             2(t−1)
      令 h(t) =   − lnt(t > 1),
              t+1

               (t−1)2
      则 h'(t) =−   < 0,
               (1+t)2t

因此  h(t)在(1,+∞)上单调递减,所以          h(t)<h(1)=0.

又  0<x2<x1,所以     x1-x2>0,

所以  f ′(     )-k<0,即    f ′(    )<k.
22.

(1)由已知        θ         θ    − ,由     θ       θ    ,消
                  x+y        x y     2       2
           sin  =  2 ,cos  = 2     sin  + cos   = 1
去θ得:普通方程为                  −      ,化简得
                      2      2
                   x+y    x y             2   2
                π  2   +   2   = 1       x  + y = 2
(2)由      ρsin(  -θ)+  =0 知ρ     θ −   θ         ,
                      1                     1
        2       4     2      (cos    sin ) + 2 = 0
化为普通方程为         −        ,
                    1
              x  y + 2 = 0
所以圆心到直线        的距离         ,由垂径定理
                          2                   30
23.           l       h = 4            AB  =  2

(1)当       −  时,          −       −   ,

①当    ≥m  =时,1    f(x) =− |x≤1|,+解|2得x 1≤| ≤ ;
                                           4
    x   1     f(x) = 3x 2   2      1   x   3
②当          时,         ≤   ,解得           ;
    1                            1
    2 < x < 1   f(x) = x  2      2 < x < 1
③当    ≤  时,         −   ≤   ,解得     ≤   ≤  ;
        1                                 1
    x   2    f(x) = 2 3x   2      0   x   2
综上可知,原不等式的解集为                ≤   ≤   .
                                    4
                          x|0   x   3
(2)由题意可知           ≤        在     上恒成立,
                               3
               f(x)  |2x + 1|  4 ,2
当   ∈     时,                    −                −  ≤                ,
       3
       4
从而x 可得  ,2    f≤(x) =,|即x +− m≤| + |2x ≤1| =,|x−+ m− | +≤2x ≤1 −|2,x + 1| = 2x + 1

且  −  − |x + m| − 2,  − 2   x + m,  2   2  x   m    2  x
                11
  (  2  x)max = 4  (2  x)min = 0
因此     ∈  −    .
           11
    m       4 ,0
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